轉化思想在數學中的應用

左秋碩

(牡丹江市衛生學校，黑龍江牡丹江157011)

著名的美國數學教育家波利亞認為：“在教學中，技能比僅僅掌握一些知識重要得多。所以，在中學給學生傳授一定數量知識的同時，也應該使學生具備一定的解題技能。”葉圣陶先生也說過：“教是為了不教”。要達到這個不教的目的，其中有一個非常重要的環節，就是要把數學思維方法中的靈魂——“轉化”思想傳授給學生。

一、轉化思想的內涵

轉化思想是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。轉化可以是條件和結論的形式或數學各分支甚至跨學科的轉化。一般將陌生的轉化為熟悉的復雜的轉化為簡單的，抽象的轉化為直觀的或遵循正難則反，條件結論和諧等原則。轉化思想在中學數學中無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利于強化解決數學問題中的應變能力和思維能力。

數學解題實際上是在熟練掌握概念與定理公式的基礎上解決矛盾，完成從“未知”向“已知”的轉化。同時，還要注意知識形成過程無處不隱含著人們在教學活動中解決問題的途徑、手段和策略，無處不以數學思想、方法為指南。在解答數學題實質上就是通過因導果或執果索因，確立題中條件與問題或條件與結論邏輯上的必然聯系，實現由已知向未知的轉化，最終達到已知與未知的統一。對于一些結構簡單的問題，通過適當的聯想就能找到合理的解題途徑，但許多問題如果直接從問題的條件出發往往陷于困境，甚至事倍功半，這時運用數學的轉化思維，把原問題轉化成新問題。通過對新問題的分析考察，探究解題思路，從而順利解決原問題，以下舉例分析轉化思想在解數學題時的應用。

二、常見的轉化方法及其應用

（一）一般與特殊的轉化

一般與特殊的轉化是中學數學中常見的轉化思想。它包含兩方面的含義：一是由特殊轉化為一般；二是由一般轉化為特殊。首先我看由特殊轉化為一般，由于從一般問題入手可使我們的視野更為廣闊，避免在枝節上糾纏，容易觸及問題的本質，所以當我們遇到某些特殊問題感到很難解決時，不妨適當放寬條件或改變一些條件的限制，把待解決的問題放在一個更為廣泛的視角上，看下面這道例題：

例 1已知 x2+2x-5=9，y2+2y-5=0求 的值。

分析：若直接求出x，y代入 求值，是相當麻煩的，但是若能看出所給方程的一般形t2+2t-5=0，而x，y是該方程的兩個根。

則由韋達定理可知 x+y=-2，xy=-5

由例1可看出，由一般問題入手去解決某些特殊問題，可以發現本質，進而把問題解決。

（二）常量與變量的轉化

在有幾個變元的問題中，若轉換思考問題的角度，可消除一些討論問題中的分類因素，通過變更主元的方法來求解。

例2已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中的a的為正整數，問a取何值時此方程至少有一個整數根。

分析：把x看作常量，用x表示a，再利用x為整數，a為正整數的條件進一步確定a的取值。

解：原方程可變形為：

因為x=-2不是原方程的解，所以x+2≠0

又因為a為正整數，所以a≥1

由此可解得：-3≤x≤-1

又因為 x是整數且 x≠-1所以 x=-3，-1，0，1。

把他們分別代人原方程得

故當a=1或a=5時，原方程至少有一個整數根。

例2采用的方法是變換主元的方法，它主要體現了函數思想，即把題中的某個量或某些量看作是常量，而其它的量則看作為變量，用常量表示出變量，然后再根據已知條件進一步求解。

數學中轉化思想的應用十分廣泛，除了以上幾個方面的轉化，還有高次向低次的轉化，無限向有限的轉化等。各種轉化的共同本質是變中有不變。轉化是手段，揭示其中不變的東西才是目的，為了不變的目的去探索，轉化的手段就構成解題思路。只要我們在作轉化時，要注意數學題的特點遵循熟悉化、簡單化、和諧化、直觀化的原則，就可在直接求解原問題難以入手時，把問題作適當的轉化，使之變成幾個比原問題簡單，難度低易于解答的新問題，并通過對新問題的分析，發現原問題的解題思路，最終達到解決問題的目的

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