新課標下大學數(shù)學與中學數(shù)學脫節(jié)內容的銜接研究

湯 瓊，劉羅華，鄧勝岳，陳正元

湯瓊/湖南工業(yè)大學理學院教授 （湖南株洲412008）；劉羅華，鄧勝岳/湖南工業(yè)大學理學院講師 （湖南株洲412008）；陳正元/湖南湘鋼一中 一級教師(湖南湘潭411101）。

一、引言

近年來，我國基礎教育改革不斷深入，2003年教育部頒發(fā)了普通高級中學數(shù)學課程標準，新課標下的高中數(shù)學教材在知識內容的安排，教材的組織形式等方面都做了很大的改革，課程體系有了大的調整，加強學科整合并設置綜合課程。反觀大學教育，雖然各高校也在積極進行改革[1-2]，包括建設精品課程等，但大學數(shù)學教學內容與教學體系相比新課標變化較少，我國近年來出版的大學數(shù)學教材未能根據目前高中數(shù)學教學內容的變化做出相應的調整。隨著高中數(shù)學課程改革的推進，現(xiàn)有的大學數(shù)學和新課標下的高中數(shù)學脫節(jié)問題變得日益突出，這給大學數(shù)學教育造成了一定的負面影響，引起了較多的關注。[3-7]一些大學數(shù)學教學內容下移,微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等部分大學數(shù)學內容進入高中學習階段，如導數(shù)的計算、微積分基本定理等內容安排在高中數(shù)學選修2-2；古典概型、離散型隨機變量等安排在高中數(shù)學必修3、選修2-3。這樣的安排使得一方面，高中數(shù)學與大學數(shù)學之間交叉重復的內容增多，另一方面又出現(xiàn)了部分脫節(jié)現(xiàn)象，原部分高中內容刪去或涉及較淺，如反函數(shù)、反三角函數(shù)沒有涉及，極坐標、參數(shù)方程、復數(shù)等在選修課中介紹，三角函數(shù)的和差化積等內容相對較淺等。很多文獻都一致認為應考慮大學數(shù)學與中學數(shù)學交叉重復與脫節(jié)部分的教學，包括教學內容和教學方法等，但脫節(jié)部分在教學中具體應如何銜接研究較少。本文主要針對新課標下大學數(shù)學與中學數(shù)學內容的銜接問題進行研究，避免大學和高中兩頭不管，出現(xiàn)脫節(jié)問題，影響大學數(shù)學教學質量。

二、脫節(jié)內容的銜接研究

本文主要就人民教育出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書》A版[8]和同濟大學數(shù)學系編的《高等數(shù)學》（第六版）的內容，研究在新課標下大學數(shù)學與中學數(shù)學在高等數(shù)學教學中應如何銜接。

1.反函數(shù)部分的銜接。高中數(shù)學沒有涉及反函數(shù)概念，基本初等函數(shù)只涉及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)4類。《高等數(shù)學》涉及反函數(shù)的內容較多，如上冊§2.2節(jié)函數(shù)的求導法則中推導反函數(shù)的求導法則、§2.4節(jié)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)、§4.2節(jié)關于第二類換元公式推導、§9.5節(jié)隱函數(shù)的求導公式、第十章重積分、第十一章曲線積分與曲面積分的計算等都利用了反函數(shù)相關知識。《高等數(shù)學》§1.1節(jié)介紹了反函數(shù)概念，反函數(shù)與原函數(shù)圖像之間的關系，但比較抽象。且由于第一節(jié)內容較多，大多數(shù)授課老師以為學生在高中已學過，所以不會花較多時間講解反函數(shù)，造成學生不能很好理解反函數(shù)與原函數(shù)關系。建議這部分內容可先舉例講解如何求初等函數(shù)如冪函數(shù)的反函數(shù)，反函數(shù) x=f-1（y）或 y=f-1（x）與原函數(shù)y=f（x）圖像之間的關系，加深學生對函數(shù)概念的理解，再講解反函數(shù)概念，更有利于學生接受和理解，可參考第四版反函數(shù)部分內容。

2.反三角函數(shù)部分的銜接。高中數(shù)學沒有涉及反三角函數(shù)概念，《高等數(shù)學》中有關函數(shù)的極限、連續(xù)性與間斷點、導數(shù)、微分、積分等都涉及反三角函數(shù)相關知識。建議這部分內容在《高等數(shù)學》§1.1節(jié)講解初等函數(shù)時結合三角函數(shù)和反函數(shù)知識補上反正弦、反余弦、反正切、反余切函數(shù)定義、性質及其圖像，可參考第四版反三角函數(shù)部分內容。

3.三角函數(shù)部分的銜接。高中數(shù)學對三角函數(shù)部分比較重視，在必修4第一章、第三章及必修5第一章講解了任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)定義、性質及圖像，三角函數(shù)的誘導公式等知識，但余切、正割、余割函數(shù)定義、性質及圖像，積化和差公式，萬能公式都沒涉及。《高等數(shù)學》有關函數(shù)的極限、連續(xù)性、導數(shù)、微分、空間解析幾何與向量代數(shù)、無窮級數(shù)、微分方程都涉及以上內容，建議在《高等數(shù)學》§1.1節(jié)講解5類基本初等函數(shù)中的三角函數(shù)這一塊時補上余切、正割、余割函數(shù)定義、性質及圖像，三角函數(shù)積化和差公式，萬能公式。可結合多媒體列出高中已學過的三角函數(shù)的誘導公式，兩角和與差公式，二倍角公式，正弦和余弦定理，加深其理解和對公式的記憶，可參考第四版三角函數(shù)部分內容。

4.極坐標、極坐標與直角坐標的轉換、參數(shù)方程的銜接。坐標系與參數(shù)方程屬高考選考內容，高中數(shù)學選修課4-4“坐標系與參數(shù)方程”中涉及極坐標、參數(shù)方程，部分中學生沒有選修該部分內容，即使部分選修了也由于高中時間緊內容多，這一部分內容也學得不好。《高等數(shù)學》在第六章計算平面圖形面積、平面曲線的弧長，第十章利用極坐標計算二重積分、利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分等知識點涉及極坐標和坐標系的轉換；在曲率的計算公式、推導多元函數(shù)在點P沿方向l的方向導數(shù)計算公式、對弧長的曲線積分的計算法、對坐標的曲線積分的計算法等知識點涉及參數(shù)方程。這部分內容的補充建議在《高等數(shù)學》§1.1節(jié)最后部分給以補充，以平面坐標系為主，包括平面直角坐標系、極坐標系、曲線的參數(shù)方程，以例題形式講解極坐標與直角坐標、參數(shù)方程和普通方程的互化。為下冊的重積分、曲線曲面積分涉及極坐標和參數(shù)方程部分打基礎。

5.復數(shù)部分的銜接。高中數(shù)學選修2-2的第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入僅涉及復數(shù)概念、幾何意義及代數(shù)形式的四則運算，沒有涉及復數(shù)的三角表示。由于課時不多，大多學生對復數(shù)的掌握不是很好。《高等數(shù)學》§12.5函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用中關于歐拉公式的第二種表達式推導利用了復數(shù)的三角形式，§7.7節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程推導二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解、§12.8節(jié)一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)中傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式推導利用歐拉公式等。故建議在《高等數(shù)學》§1.1節(jié)集合部分補講復數(shù)的三角表示、歐拉公式及復數(shù)域內求代數(shù)方程的根，更有利于學生掌握求解常系數(shù)線性微分方程的解、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式等方法。

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