8課時講完幾何光學

沈為民 郎婷婷 張 艷 沈常宇 李晨霞

（中國計量學院光學與電子科技學院，浙江杭州 310018）

8課時講完幾何光學

沈為民 郎婷婷 張 艷 沈常宇 李晨霞

（中國計量學院光學與電子科技學院，浙江杭州 310018）

為了徹底改變傳統的幾何光學教學方法，筆者借助計算機輔助教學手段對多媒體課件、課堂講授、課外作業、網上輔導等教學環節進行精心設計，在8課時之內讓學生掌握成像系統的初步設計方法，既能計算物像關系，又能初步判斷成像質量．學生的學習手段與方法有較大改變，學習工具從以紙筆為主變為以電腦為主，課外作業從以公式推導為主變為以電腦操作設計為主，學生的學習效率、知識應用能力大大提高．

幾何光學；計算機輔助教學；多媒休課件；微課

近年來，國家推出了卓越工程師計劃、工程教育專業論證等措施，以期提高本科畢業生的工程實踐能力．在強調實踐教學的背景下，理論課學時不斷被壓縮．例如，電子科學與技術專業的“工程光學”簡化為“物理光學”［1］，光學成像理論就不講了．然而，在光電子技術領域光學成像是很重要的，在相關工程中常需要考慮光學成像問題；但現在受總學時限制，又不可能安排太多的學時講光學成像，目前我們只安排了8個學時．按傳統的教學方法，8學時最多講授理想光學系統的物像關系，不可能再講成像質量問題．而實際應用中，不知道成像質量的光學系統是沒有實用價值的．所以，我們的教學目標確定為在8學時之內讓學生掌握成像系統的初步設計方法，既能計算物像關系，又能初步判斷成像質量．

1 以共軸球面系統成像規律為主線重組知識體系

要提高學生的學習效率，必須改變僅以紙、筆為工具的學習方式，更多用計算機為工具進行學習．因此，應當根據計算機應用的特點做好教學設計．

1.1 以可數值求解的問題為核心構建知識單元

計算機容易算出數值結果，而實際應用中最終需要的也是一些數據．將幾何光學教學內容分解成若干個典型問題：單球面問題、多球面問題、理想成像問題、光闌問題、像差問題等，這些問題形成完整的知識鏈，循序漸進，而每個問題又都是單獨可解，可計算出數值結果．

例如，單球面問題涉及球面參數（球面曲率半徑r、球面兩側折射率n和n′）、入射光線參數（物方截距L、物方孔徑角U）、出射光線參數（像方截距L′和像方孔徑角U′）以及入射角I和折射角I′，這9個量借助圖1表示的幾何關系可導出4個

基本公式［2］：

上面4個公式涉及9個量，一般已知其中5個量即可求出其余4個量，而已知量和未知量可以有許許多多不同的組合．不同的組合就構成不同的求解問題，相應地公式就轉換成多種不同的形式．根據式（1）～式（4），由入射光線參數（L、U）可計算出出射光線參數（L′和U′）．反之，也可由（L′和U′）計算（L和U）：先由式（4）求得sinI′＝，再由式（2）和式（3）改寫為sinI＝和U＝U′＋I′－I，最后由式（1）得L＝．這相當于在式（1）至式（4）中將物方量與像方量互換，即L?L′、U?U′、I?I′、n?n′．類似這樣的公式推導、變換、簡化、說明等是當前教與學的主要內容．但是，在基于數值計算的計算機輔助教學中，不一定需要用公式的形式將未知量用已知量表示出來，也可以用數值搜索等辦法找到滿足一定精度要求的待求變量的值．對于搞理論研究的人來說，沒有得到對問題解的直接公式是不完美的，而對于搞工程應用的人來說，需要的是實際可用的數據，公式等只不過是獲得數據的工具．

由式（1）～式（4）可知，不同的U對應的L′是不同的，但畫出L′與U的關系曲線，可以發現在U＝0附近L′變化很小，此L′記作l′，稱為理想像距，此時圖1中相應的A′點就是理想像點．在式（1）至式（4）中角度量用sinx≈x近似，可導出此式為理想成像公式．理想成像公式大大簡化了計算，特別是對多個球面構成的復雜成像系統，不僅可以大幅度減少計算量，而且能引入基點（主點、焦點）和基面（過主點并與光軸垂直的平面）來描寫系統的成像特性．用基點和基面表示的理想成像系統（稱之為光組）具有線性組合的特點，即任意兩個光組的組合可簡化為一個光組．而兩個實際球面的成像是不能簡化為一個球面的．所以，常規的幾何光學教學中是以理想成像為教學重點的，講解的知識結構如圖2所示．

對于多個球面組成的復雜成像系統，每個球面的成像關系都是類似的，只要將數據整理有序，則大量計算就變成一些重復性過程，而重復性工作最適合計算機做．所以在計算機輔助教學中單球面作為成像基本單元，式（1）～式（4）反復被應用，而光組及理想成像公式是輔助工具，講解的知識結構如圖3所示．

1.2 8課時任務分配

8課時分為4講，每講兩課時．第一講講單球面成像，內容有：物與像的基本概念、符號規則、光路計算公式、應用軟件進行計算與畫圖及制作動畫的方法、物像反轉與光路可逆性、單球面的球差與色差；第二講講多球面成像與理想成像，內容

有：各球面成像時的過渡公式、球面參數的排列方式與界面設計、理想像點與理想光線、基點和基面、高斯公式、兩光組的組合、透鏡；第三講講光闌與像差，內容有：孔徑光闌、視場光闌、漸暈光闌、像差的基本概念、球差、色差、慧差、場曲、畸變；第四講是典型光學系統簡介，內容有：人眼的光學模型、放大鏡、顯微鏡、望遠鏡．

從上面列舉的講課內容看，與傳統的幾何光學教學沒有大的區別，但實際講課的重點與方法有很大的不同——從重視對像的描述轉變為重視對光線的描述．常規的幾何光學教學中較多關注中間像的特征如像的位置、大小、虛實等，我們則更多關注光線的軌跡（如光線的投射點、方向偏轉關系等），畫出從最初的物到最后的像之間的光線，而中間像并不重要，重要的是成像光束受到的限制．說到底“像”是由“光線”形成的，光線的特征決定了像的特征．“實際像”是由實際的光線形成的，在共軸球面系統中，光線依次在各球面轉折，變換關系由式（1）～式（4）決定．光線在小角度范圍所成的完善像對應于“理想像”，但我們常常在大角度范圍討論成像問題，所以應該引入“理想光線”的概念，它能用于任意角度范圍的討論（圖4）．

單球面折射理想光線滿足：

（1）光線在通過球面頂點并垂直于光軸的平面上折射；

（2）折射關系：l tanu＝l′tanu′，其中l為軸上物點的物距，l′為理想成像公式l′＝確定的像距．

上述理想光線的定義雖然只涉及軸上物點，但同樣能用于軸外物點：由軸外物點引一光線與光軸相交，此交點可看作軸上物點，故可求出對應的折射光線，并且可以證明，同一軸外物點引出的不同理想光線，在像方交于同一點．因此，無論對軸上點還是軸外點，理想光線的成像過程嚴格遵循點物成點像，與光線角度無關．理想成像時的物像關系、基點、基面、光闌對成像光束的限制等都應該用理想光線來畫圖，目前教材中的孔徑、視場、漸暈系數的計算也只適用于理想光線．最重要的是，追蹤實際光線與理想光線的軌跡，很容易理解各種像差，使學生掌握像差概念和像差計算更加簡單．

2 “以學為主”設計解決方案

教學改革的方向之一是“以教為主向以學為主轉變”．上課學時大幅減少但學習內容減少不多，教師應更多從“學”的角度設計問題的解決方案．

2.1 選擇較簡單的應用軟件

要讓學生學得輕松，應當選用學生學過的軟件工具來計算和畫圖，如許多學校必修的程序設計課程用Matlab或VB，這都是合適的軟件工具．本專業和其他工科專業一樣，為方便與硬件打交道選擇C語言程序設計為必修內容，但C語言用于畫圖、做動畫等很不方便．Excel是微軟公司Office辦公軟件的一個組件，可以用來制作電子表格，完成許多復雜的數據運算及分析，具有強大的圖表功能，也能用來制作動畫等多媒體課件．Office軟件是最常用的軟件，學生比較熟悉，所以我們選擇Excel用于輔助教學，其方法也具有較強的適用性．

Excel也可用來做動畫，實際上Excel是根據表格數據畫曲線或圖形，當表格中的參數連續變化時圖形跟著變化，就形成了動畫．所以，Excel文檔也可用于多媒體教學．設置數值調節鈕來改變參量的取值是比較方便的辦法，例如表1中就用兩個數值調節鈕分別調節L和U的取值，每次點擊調節鈕引起的變化量可自行設置，表中長度量的單位是mm，角度量的單位是ral．

數值調節鈕在做動畫或數值搜索法求解中都很有用，其做法很簡單：在“視圖”菜單上，指向“工具欄”，再單擊“控件工具箱”；出現“控件工具箱”后，單擊數值調節鈕的圖標，再在頁面中適當的位置上畫出；在“控件工具箱”中，單擊“屬性”圖標，設置Max＝2，Min＝0，Value＝1；雙擊“控件”會自動跳出代碼窗口，在自動生成的“Private Sub SpinButton1＿Change（）”和“End Sub”之間插入兩行代碼，Range（"D10"）＝Range（"D10"）＋Range（"C10"）＊（SpinButton1．Value－1）和SpinButton1．Value＝1．這里假設"D10"單元格存放變量（如物距L），而"C10"單元格存放每次變化的步長．

2.2 制作教、學、用三位一體課件

在高校多媒體教學已是課堂教學的主要形式，但教學效果很不理想．特別是對理工科學生，專業理論包含大量的數學，需要許多定量分析，但目前多媒體課件制作時，往往過分追求多媒體課件的外觀，在圖形、色彩、聲音、動畫等方面化上很多精力，而在結合數學問題的處理方面用心不夠，結果是課件華而不實，對學生的分析計算沒有太多的幫助．

以Excel文檔為基礎的教學課件，雖然多媒體形式不夠豐富多彩，但能夠以定量的方式分析問題、解決問題．每一類典型問題至少給學生一個示例文檔，它對應于此問題的一種解決方案，學生能用它預習、復習、做作業等．教師上課時的多媒體素材也是來源于示例文檔，或者是示例文檔的升級版．

例如，一個物點實際的像是一個彌散斑，移動觀察屏則像斑的大小會變化，實驗觀察時需要將觀察屏置于像斑最小的位置．下面做一個動畫來演示調節的過程．

第一步，在Excel工作表中由式（1）～式（4）計算不同入射角度的光線的軌跡參數，每個角度計算的物理量排成一列，由于各列的計算公式是相同的，故在一列輸完公式后其他列可復制完成，在Excel中只需拉動一下鼠標即可完成復制．

第二步，根據計算的光線參數畫出各條光線，如圖5所示．由于折射面對稱于光軸，對于軸上點A發出的任一條光線，可以表示該光線繞軸一周所形成的錐面上全部光線的光路，顯然這些光線在像方應交光軸于同一點，而在觀察屏上形成一個圓，如圖6所示．

第三步，設置一個數值調節鈕調節觀察屏位置，改變代表觀察屏坐標的單元格的數值，則觀察屏會向左或向右移動．圖5或圖6（a）中觀察屏處在U＝0的像點位置，觀察屏向角度較大光線與光軸交點的位置移動時，大角度對應的圓半徑減小而小角度對應的圓半徑增大，整個彌散斑的半徑會減小．彌散斑有一個最小位置，如圖6（b）所示．

在動畫演示時，只要鼠標點住數值調節鈕的右端或左端，觀察屏就會向右或向左移動，代表不同角度光線的圓就會相應變大或縮小．當然，這種動畫與實驗時拍攝的視頻錄像是不同的，說不上逼真，但學生能夠理解，重要的是它來源于理論計算，將理論和實驗關聯起來．

幾何光學中許多難理解的概念及相關計算，如光闌問題、像差問題，學生都可以通過演示動畫及相應的課件來掌握，學生課后在此課件文檔基礎上適當修改，能完成相關問題的分析計算．

3 “學用結合”布置實驗作業

我們將基于計算機應用程序完成的作業稱之為“實驗作業”，學生完成實驗作業需要有一定的操作（計算機操作）和設計，與做實驗相似．實驗作業的內容通常以手寫形式難以表達，主要有數據表格、曲線、圖形、動畫等．這種實驗作業與教師上課時所用課件是緊密相關的，可讓學生進一步體會教師的教學意圖，消化課堂內容．

3.1 實驗作業的設計

我們是按問題為核心來組織教學的，每類問題涉及一組物理量，這些量中有的作為已知量，有的作為未知量，但已知量和未知量可以有多種安排，示例文檔只是對某種安排有一個解法，其他情況可以作為作業留給學生解決．即使同樣的已知量和未知量的安排，也可以設計出不同的實驗作業，例如由入射光線參數L、U求出射光線參數L′、U′，可以只算若干個典型數值，也可以畫出若干條曲線，或者設想有一觀察屏，畫出一定入射光束時觀察屏上的光斑形狀，甚至制作一個動畫演示觀察屏移動時光斑形狀的變化．

編制實驗作業是一項費時費力的工作，因為沒有可參考的資料，且結果常常與預想的不一致，需要反復調整才能編制出合適的題目．實驗作業有一定的綜合性，涉及界面設計、動作設計、算法設計，還有少量的代碼要編寫，也可能有少量的公式推導以及必要的文字解釋，等等．另外，需要按因材施教的原則設計實驗作業，作業難度與學生水平相適應．而難度的控制也可以通過示例文檔的設計來實現，示例文檔越簡略則學生能參考、模仿的內容就越少，做作業的難度就增加．

例如，單球面問題的示例文檔就是畫圖1的Excel文檔．物方截距L和物方孔徑角U作為輸入變量（有數值調節鈕，如表1所示），像方截距L′和像方孔徑角U′作為輸出變量，而球面參數作為設定參數，入射角和折射角作為計算參數．動畫演示是L、U變化引起L′和U′變化．布置給學生的作業有多種變化，如：（1）畫不同孔徑角的多條光線；（2）同時畫理想像點與實際像點；（3）搜索法求解球面參數；（4）由像求物；（5）計算球差曲線；（6）計算色差曲線；（7）反射問題；（8）用光線投射高度表示入射光線；（9）軸外點光線軌跡；（10）球面參量轉為變量的設計（新的數值調節鈕）；（11）模擬觀察屏移動彌散斑的變化；（12）光斑亮度分布等．將作業編成不同的序號，學生要完成的必做題是指定的（學號尾數與作業序號有對應關系），若指定題做不出來可做備選題（備選題是最簡單的一道作業題）．每道題對應的學生數不多（少于10人），結合學生提交作業的時間順序，可以判斷誰是原創、誰是模仿、誰是抄襲，準確評定作業成績．每道作業都有一個評分表，記錄學生完成情況，學生的作業文檔和評分表可以作為存檔材料，方便教學檢查．

實驗作業是教學改革的關鍵，精心構思的實驗作業不僅與教學內容密切相關，而且能夠拓寬學生的思路，提高分析問題解決問題的能力．通過學生完成的實驗作業，教師能夠及時了解學生學習的真實情況（實驗作業是電子文檔形式，完成后即可提交，并有時間記錄），不僅很好檢驗了教學效果，也為“以結果評價為主向結果與過程評價結合轉變”創造了條件．

3.2 作業課外輔導

學生常常認為聽懂了、理解了，但一做作業又不會了，這時就需要有合適的課外輔導．微課錄像是學習指導的新形式，用10分鐘左右的時間講解1個知識點，1種工具應用，1種解題技巧，1種實驗設計，等等．教學改革的重要方向是以教為主向以學為主轉變、以課堂教學為主向課內外相結合轉變，“微課”將在這種轉變中起重要作用．

我們的示例文檔都是用Excel編寫的．學生對Excel有一定的了解，但用來畫圖形、做動畫、解方程等不熟悉，課堂上沒有時間講計算機應用方面的問題，只能課外輔導．所以，每個示例文檔至少配一個微課錄像，不僅讓學生知道示例文檔如何使用，而且還知道它是如何做出來的，掌握一些設計技巧，消除神秘感，增加學習興趣．另外，學生學習中還可能遇到各種問題，如果問題具有普遍性，則也可用微課錄像來輔導．

4 結語

常規幾何光學教學方法主要用公式來討論物像關系以及像的特點，教材中有編號的公式就有數百個．這是因為幾何光學涉及許多煩瑣的計算，為了適應各種情況簡化計算的需要引入了許多公式，但這些公式本身沒有太多的物理意義．采用計算機輔助教學，電腦計算速度很快，不必在簡化公式方面花太多時間．教學中也主要用圖形和動畫說明問題，所以用到的公式數大大減少，學生只需要關注最基本的公式．學生學習方式有較大改變：紙筆用得少了，電腦用得多了；聽課時間少了，練習時間多了；推導公式少了，動手操作多了．

用8課時講完幾何光學，每周課時數不能太多，最好每周兩課時，讓學生有充分的練習時間，也有利于教師根據學生的做作業的情況調整教學策略．當然，如果有更多課時則更好，畢竟教學內容很多，學生消化不容易．適當增加課時，可以有更多的課堂討論，可以舉更多實際例子，這樣學生的理解會更透徹．

［1］ 教育部電子科學與技術教指委分委．電子科學與技術專業教學規范［Z］．2010．

［2］ 郁道銀，談恒英．工程光學［M］．北京：機械工業出版社，2009：5－13．

TEACH GEOMETRICAL OPTICS IN 8LESSONS

Shen Weimin Lang Tingting Zhang Yan Shen Changyu Li Chenxia
（College of Optical ＆Electronic Science and Technology，China Jiliang University，Hangzhou，Zhejiang 310018）

In this paper，the teaching reform of geometrical optics is introduced．By employing the computer assistant instruction to elaborately create and design multimedia courseware，classroom teaching，homework and on－line study，an innovative 8lessons teaching of geometrical optics is proposed to revamp the traditional way．Within 8lessons，students are able to master the preliminary design procedure of imaging systems．They can not only calculate the mathematical relationship between objects and images，but also judge the quality of imaging．The learning technique of students is greatly changed．Pens are replaced by computers as learning tools while formula derivation is replaced by computer programming as homework．The learning efficiency and knowledge application skill are both improved．

geometrical optics；computer assistant instruction；multimedia courseware；mic－rolecture

2015－01－23

浙江省高等教育教學改革項目（jg2013071）．

沈為民，男，教授，主要從事光學與光電子技術的教學與研究．swm＠cjlu．edu．cn