兩維電場和電流的可視化

邱為鋼 張 萍

（1湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州 313000；2北京師范大學(xué)物理學(xué)系，北京 100875）

在兩維平面存在一個區(qū)域D，里面有電荷分布，一般情況下是點(diǎn)電荷體系，或者有電流分布，為保準(zhǔn)電流守恒，注入的總電流等于流出的總電流.在區(qū)域D的邊界B上，電勢為零或電流垂直邊界的分量為零.區(qū)域D上的電勢解析表達(dá)式，可以用鏡像電荷法[1]或保角變換法[2-4]求解.這種方法的關(guān)鍵之處是，存在解析形式的保角變換，把區(qū)域D變換到上半復(fù)平面W，譬如常見的圓盤形，以及文獻(xiàn)[2～4]中的大小圓相切的月牙形、圓弧與弦組成的弓形等.由保角變換的性質(zhì)可知，區(qū)域D的等勢線（電場線）和上半復(fù)平面W上的等勢線（電場線）存在一一對應(yīng)關(guān)系，只要一個區(qū)域上等勢線有解析表達(dá)式，就能方便地利用數(shù)學(xué)軟件畫出另一個區(qū)域上的等勢線.利用文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]上保角變換，我們給出了點(diǎn)電荷在正方形（正三角形）中心時，正方形（正三角形）上的等勢線（電場線）的圖形，也給出了電流從正方形（正三角形）一個頂點(diǎn)流入，從另一個頂點(diǎn)流出時，正方形（正三角形）上的等勢線（電流線）的圖形.為統(tǒng)一符號，區(qū)域D上的坐標(biāo)為z＝x＋iy，上半復(fù)平面W上的坐標(biāo)w＝u＋iv.

下面分3種情況進(jìn)行討論.

（1）存在一個保角變換w＝f（z），把區(qū)域D映射到上半復(fù)平面W，把區(qū)域D的邊界B映射為W平面上的實(shí)軸，電荷所在點(diǎn)z0映射到w0＝f（z0）.取電荷密度和其他物理常數(shù)為歸一化單位，則滿足邊界上電勢為零，即Dirichlet邊界條件的復(fù)勢是

設(shè)電流注入（流出）位置為za＝xa＋iya，電流強(qiáng)度為Ia（正號代表注入，負(fù)號代表流出），取電流密度和其他物理常數(shù)為歸一化單位，則滿足垂直邊界電流分量為零，即Neumann邊界條件的復(fù)勢是

式（1）或式（2）的實(shí)部為常數(shù)的就是等勢線，虛部為常數(shù)的就是電場線或電流線.我們直接用數(shù)學(xué)軟件表示和處理式（1）、式（2），一是數(shù)值運(yùn)算的對象本來就是復(fù)數(shù)，所有的函數(shù)都能對復(fù)數(shù)作運(yùn)算；二是給出f（z）的表達(dá)式，紙面上寫出式（1）、式（2）的實(shí)部和虛部費(fèi)很大空間，數(shù)學(xué)軟件一行代碼就能處理，這也是本文很少給出具體表達(dá)式的原因；三是不少數(shù)學(xué)軟件有畫等值線的直接指令，方便拿過來使用.我們給出一個簡單例子，電流從圓盤邊界上一點(diǎn)z1＝1注入，電流強(qiáng)度為I1＝1.在邊界上兩點(diǎn)z2＝exp 2πi／（ 3）和z3＝exp-2πi／（ 3）流出，電流強(qiáng)度為I2＝I3＝-1／2.取單位圓到上半復(fù)平面的保角映射為f（z）＝i（1-z）／（1＋z），代入式（2），得到圓盤上的等勢線（虛線）和電流線（帶箭頭）如圖1所示.

由圖1可以看出，靠近圓盤邊界處，電流平行于邊界，即垂直邊界的電流分量為零，等勢線垂直于電流線，這符合電流分布的物理規(guī)律.

圖1 邊界上有電流注入（流出）圓盤上的等勢線和電流

（2）從上半復(fù)平面W到區(qū)域D上的保角變換存在解析表達(dá)式.這樣，只要給出上半復(fù)平面W上的等勢線（電場線）的參數(shù)表達(dá)式，保角變換就能把它們映射到區(qū)域D上的等勢線和電流線.如果上半復(fù)平面W上只有單個電荷，電勢在實(shí)軸上為零，或者兩個電流源只分布在實(shí)軸上，那么等勢線上的點(diǎn)到鏡像電荷所在點(diǎn)距離之比為常數(shù)；電場（電流）線上的點(diǎn)到鏡像電荷所在點(diǎn)輻角之差為常數(shù).由中學(xué)解析幾何知識可知，這兩組線是正交的圓.假定鏡像電荷所在點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-a），（0，a），那么等勢線的參數(shù)方程是

其中，λ＜1是等勢線的參數(shù)，0＜t＜π是參數(shù)角.電場線的參數(shù)方程是

其中，θ是電場線的參數(shù)，0＜t＜π是參數(shù)角.假定鏡像電荷所在點(diǎn)的坐標(biāo)是 （-a，0），（a，0），那么等勢線的參數(shù)方程是

其中，λ是等勢線的參數(shù)，0＜t＜π是參數(shù)角.電場線的參數(shù)方程是

其中，θ是電場線的參數(shù)，-θ＜t＜θ是參數(shù)角.

先討論上半復(fù)平面到矩形的保角變換，由文獻(xiàn)[5]可知，

其中，F(xiàn)（φ，k）是第一類不完全橢圓積分.這個變換把上半復(fù)平面W變換為z平面上的矩形，特別是把上半復(fù)平面W實(shí)軸上（-1，1，1／k，-1／k）4個點(diǎn)變換為 （-K，K，K＋iK′，-K＋iK′），即矩形 的 4 個 頂 點(diǎn)，其 中K＝F（π／2，k），K′＝這個變換還把零映射為映射為iK′／2，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射為iK′.為簡單美觀，我們?nèi)≌叫危c(diǎn)電荷位于中心，此時，把式（3）、式（4）代入式（7），得到正方形上中心處點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的等勢線和電場線如圖2所示.

由圖2可以看出，越靠近電荷，原點(diǎn)附近的等勢線越接近圓形，越靠近邊界，等勢線越接近于正方形；電場線垂直于等勢線，特別在邊界處，電場線垂直于正方形，電勢（場）線具有正方形對稱性.這些圖形性質(zhì)，符合正方形上中心點(diǎn)電荷所產(chǎn)生電勢的分布規(guī)律.

正方形的頂點(diǎn)上注入和流出電流，設(shè)注入點(diǎn)為（-K，0），流出點(diǎn)為 （K，0）或 （K，K′），取a＝1或把式（5）、式（6）代入式（7），得到正方形上電流產(chǎn)生的等勢線和電場線如圖3、圖4所示.

圖2 正方形中心處點(diǎn)電荷的等勢線和電場線

圖3 正方形上電流產(chǎn)生的等勢線和電流線

圖4 正方形上電流產(chǎn)生的等勢線和電流線

由圖3、圖4可以看出，越靠近電流流入（出）點(diǎn)，等勢線越接近圓形，在邊界處，等勢線垂直于邊界；越靠近邊界，電流線越接近于邊界，電流線與等勢線垂直，電流線具有對稱軸鏡像對稱性.這些圖形性質(zhì)符合從頂點(diǎn)流入流出正方形上的電流（勢）分布規(guī)律.

（3）上半復(fù)平面到三角形的保角變換，由文獻(xiàn)[6]可知以下變換

把w上半復(fù)平面變換為z平面上的三角形，把w復(fù)平面上兩點(diǎn) （0，1）變換到z復(fù)平面上兩點(diǎn)（0，B（α1／π，α2／π） ），3 個 內(nèi) 角 分 別 為（α1，α2，π-α1-α2），其中B（w，p，q）是不完全貝塔函數(shù).為簡單美觀起見，我們?nèi)≌切危藭rα1＝α2＝π／3，保角變換B（w，1／3，1／3）把點(diǎn)exp（iπ／3）映射到正三角形的中心.把式（3）、式（4）代入式（8），得到正三角形上中心點(diǎn)電荷產(chǎn)生的等勢線和電場線如圖5所示.

由圖5可以看出，越靠近電荷，原點(diǎn)附近的等勢線越接近圓形，越靠近邊界，等勢線越接近于正三角形；電場線垂直于等勢線，特別在邊界處，電場線垂直于正三角形，電勢（場）線具有正三角形對稱性.這些圖形性質(zhì)，符合正三角形上點(diǎn)電荷電勢的分布規(guī)律.

設(shè)電流從正三角形一個頂點(diǎn)注入，從另一個頂點(diǎn)流出.把式（5）、式（6）代入式（8），得到正三角形上電流產(chǎn)生的等勢線和電場線如圖6所示.

圖5 正三角形中心點(diǎn)電荷的等勢線和電場線

圖6 正三角形上電流的等勢線和電流線

由圖6可以看出，越靠近電流流入（出）點(diǎn)，等勢線越接近圓形，在邊界處，等勢線垂直于邊界；越靠近邊界，電流線越接近于邊界，電流線與等勢線垂直，電流線具有對稱軸鏡像對稱性.這些圖形性質(zhì)符合從頂點(diǎn)流入流出正三角形上的電流（勢）分布規(guī)律.

正方形或正三角形中心電荷所產(chǎn)生的電勢（場），由于對稱性，也可以用鏡像電荷法做.這種情況下，鏡像電荷有無窮多個，雖然電勢表達(dá)式可以明顯表示，但這種無窮求和式不大容易得到有限的解析表示，直接用它來數(shù)值求值，收斂速度慢，精度不夠.文獻(xiàn)[2-4]所給的保角變換和反變換，都可以用初等函數(shù)（或組合）得到，所以本文的第一種和第二種方法都可以使用.矩形或者三角形的保角變換涉及第一類不完全橢圓積分和不完全貝塔函數(shù)，其反變換解析表達(dá)式很難求出或者根本沒有，就不能用文獻(xiàn)[2-4]的方法來求等勢線.我們將在另文中繼續(xù)討論數(shù)值求解保角反變換的例子.

[1]周凌燕，陳鋼，鄭潔梅.電像法求解線電荷與帶有半圓柱凸起的接地平板導(dǎo)體形成的電勢和電場[J].大學(xué)物理，2013，32（1）：14-16.

[2]王福謙.用保角變換法制作二維第一類格林函數(shù)[J].大學(xué)物理，2010，29（1）：26-29.

[3]王福謙.求解二維靜電場邊值問題的一種方法[J].大學(xué)物理，2013，32（10）：24-26.

[4]王福謙.復(fù)雜形狀單連通區(qū)域二維第一類格林函數(shù)的制作[J].大學(xué)物理，2013，32（5）：20-23.

[5]高本慶.橢圓函數(shù)及其應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社，1991.

[6]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.