基于Matlab的勢壘貫穿透射系數研究

柯常青 丁益民

（湖北大學物理與電子科學學院，湖北 武漢 430062）

1 問題的提出

解薛定諤方程能很容易地得出這樣一個結論：當粒子透過勢壘時，其透射系數與勢壘寬度、粒子能量E和勢壘高度U存在著一定的比例關系.若粒子能量與勢壘高度保持恒定，粒子穿過勢壘時對同樣寬度的勢壘進行兩種透射方式：直接透射和n重依次透射（即讓粒子直接透射寬度為n＊a的勢壘和讓粒子依次透射n個寬度均為a的勢壘）.那么在這兩種方式下透射系數有怎樣的差別呢？

2 問題的分析

對于以上兩種方式下勢壘貫穿透射系數的研究用常規的解析方法比較復雜，且隨著透射重數n的增加計算的復雜程度會很明顯地加大，這就使得到的結果會出現明顯的偏差，不方便對最后結果的比較，為此我們采用Matlab來模擬.

從Matlab模擬出的透射圖形中可以通過直觀地對比得出單重勢壘貫穿和多重勢壘貫穿的規律.

由勢壘透射系數D的公式[1]：

可知：（1）當E＞U時，若滿足k2a＝nπ，則D＝1，此時入射波完全透射，稱為共振透射.（2）透射波的振幅在勢壘中的衰減并不是線性的，即透射波振幅隨勢壘寬度的增大呈非線性關系，由此容易看出直接透射和n重透射的透射系數一般情況下并不相同，用數學解析的方法很難比較兩種透射方式的透射系數，而用 Matlab則很容易解決.

3 原理與實現

我們知道，在研究勢壘貫穿透射系數時，粒子能量與勢壘高度的關系可分為以下兩種情況：

（1）粒子能量高于勢壘高度

先設定入射波函數的振幅為1，此時的透射系數等于透射波振幅｜C｜2.反射波振幅為A，透射波振幅為C，則A和C滿足以下關系式

通過鍵盤輸入，在程序中可設定為m＝5.因為下面對于m值的應用都體現在k值上，而k又是與x（x為水平坐標）以積的形式出現，若假定粒子為電子，且其能量以eV形式表述，則k值約為10的9次冪，而在程序中的x是以nm為單位的，剛好產生一個10的-9次冪.ka量綱之積在轉化為國際單位制時前面系數剛好為1.

（2）粒子能量低于勢壘高度

反射波的振幅C滿足以下方程

由透射振幅易知：透射系數隨勢壘的加寬或加高而急劇減小.

4 程序設計

（1）設置手動輸入量：

e＝input（'請輸入粒子能量（E／U0）＝'）；

a＝input（'單個勢壘寬度（＊10^-9）＝'）；

n＝input（'勢壘的重數n＝'）；

（2）當粒子能量等于勢壘高度時，則利用語句if e＝1e＝1-eps；

將其轉化為粒子能量低于勢壘高度的情況進行計算.

（3）利用式（1），式（2），式（3）運算得出經過寬度為n＊a的單個勢壘時的透射波振幅C1和n個寬度為a的勢壘時的透射波振幅C2.

5 模擬結果

1）粒子能量大于勢壘高度的情況

（1）由透射系數的表達式很容易看出：若k2a＝nπ時則會出現透射系數為1的情況，即共振透射.運算 Matlab程序：輸入e＝E／U＝2，a＝π／5，n＝10時，C1＝C2＝1，即兩種情況都出現了共振透射現象.

（2）當k2＊n＊a滿足共振透射條件而k2a不滿足時，輸入e＝2，a＝π／50，n＝10時，C1＝1，C2＝0.9424.輸出如圖1所示.

圖1 輸出圖像

此時可看出其透射系數就存在著明顯的差別：n＊a勢壘仍為共振透射，而n重a勢壘并不完全透射.

（3）隨機輸入兩組數據e＝3，a＝0.1，n＝20；e＝1.5，a＝1，n＝25時；得出透射波振幅分別為C1＝0.9798，C2＝0.840 03和C1＝0.972 96，C2＝0.549 22.

對于上述粒子能量大于勢壘高度的3種情況的結果：在E／U＞1的情況下，寬度為n＊a的勢壘的貫穿系數一般較n重寬度為a的勢壘的貫穿系數大.

2）粒子能量小于勢壘高度的情況

運算 Matlab程序，輸入e＝0.5，a＝0.1，n＝10時，得到C1＝0.058 237，C2＝0.542 05.

輸入e＝0.5，a＝0.5，n＝10時，得到C1＝4.2045e-8，C2＝1.161 52e-5.

輸入e＝0.1，a＝0.1，n＝10時，得到C1＝0.010 451，C2＝0.076 23.

對于上述粒子能量小于勢壘高度的幾種情況的結果：在E／U＜1的情況下，寬度為n＊a的勢壘的貫穿系數一般較n重寬度為a的勢壘的貫穿系數小（此時透射系數隨勢壘的加寬或加高而急劇減小）.

6 結語

一般情況下，寬度為n＊a的勢壘貫穿透射系數與n重寬度為a的勢壘貫穿透射系數不同：在E／U＞1的情況下，寬度為n＊a的勢壘的貫穿系數較n重寬度為a的勢壘的貫穿系數大（當兩者都滿足共振透射條件時相等）；在E／U＜1的情況下，寬度為n＊a的勢壘的貫穿系數較n重寬度為a的勢壘的貫穿系數小.

[1]周世勛.量子力學教程[M].2版.2012：36-38.

[2]周群益，候兆陽，劉讓蘇.Matlab可視化大學物理學[M].2011：501-506.