磁場中三維各向異性諧振子哈密頓量的對角化

李鳳敏

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

磁場中三維各向異性諧振子哈密頓量的對角化

李鳳敏

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

當三維各向異性諧振子處在一個任意方向的磁場中后，諧振子之間出現耦合．這些耦合諧振子的海森伯運動方程能夠寫成類似于薛定諤方程的形式．通過一定的變換可以使海森伯運動方程解耦合，利用這些結果也可以使哈密頓量對角化，進而得到系統的能量本征值和體系的本征態．同時給出了坐標和動量的矩陣元以及量子漲落．

量子力學；諧振子；磁場；海森伯運動方程

在量子力學中，求解薛定諤方程時往往需要將哈密頓量對角化．例如對于耦合諧振子體系，許多文獻中就進行了相關的研究［1－6］．在這些研究中，直接運用一些變換使哈密頓量對角化．但是對于復雜的耦合情況，尋找變換的形式有時比較困難．哈密頓量的對角化意味著運動方程的對角化．因此，我們也可以從量子力學的海森伯運動方程出發，研究體系的對角化問題．先將耦合的運動方程解耦合，然后再對哈密頓量對角化．與直接對哈密頓量進行數學變換使之對角化的方法相比，這種手段會更加突出處理問題的物理圖像，并且手段也會變得比較普適．諧振子勢在許多方面都有重要的應用，例如低溫下的玻色愛因斯坦凝聚［7，8］，分子振動［9］，量子光學［10］等．除了諧振子之外，帶電粒子在磁場中的運動也是十分重要和基本的問題．帶電粒子在磁場中的運動會產生霍爾效應，以及量子霍爾效應［11］．本文討論磁場中的三維各向異性帶電諧振子．磁場的存在可以使諧振子之間產生耦合，形成耦合體系．

1 磁場中的三維各向異性諧振子

考慮磁場中3個質量相同，頻率不同，各向異性帶電諧振子量子系統．其哈密頓量表達式為

式中，A＝（A1，A2，A3）＝B0×r／2；r＝（x1，x2，x3）是磁場的矢勢；B0是均勻磁場的磁感應強度；q是粒子所帶的電荷；m，ωj（j＝1，2，3）分別是諧振子的質量和頻率．這里p1，p2，p3是正則動量算符．坐標算符與正則動量算符之間的對易關系為（j，k＝1，2，3）：［xj，xk］＝0，［pj，pk］＝0，［xj，pk］＝ihδjk．為簡化計算，引入符號P1＝p1－qA1，P2＝p2－qA2，P3＝p3－qA3，得到的對易關系

由于各量P1，P2，P3之間非對易，由此看出磁場的存在形成非對易空間．當勢能不顯含時間，由海森伯運動方程［12］dF／dt＝［F，H］／（ih），可得

顯然海森伯運動方程可以寫成矩陣形式．引入符號：y1＝mω1x1，y2＝mω2x2，y3＝mω3x3，矩陣的具體形式如下

可以看出該方程與薛定諤方程形式類似，其中矩陣

不難看出A為厄密矩陣，即滿足A?＝A．設A的本征值方程為：Aχ＝λχ．本征值λ滿足：，其中I為單位矩陣．根據線性代數理論，通過解下列行列式即可求得本征值λ的數值，

經過一定的運算，得到本征值滿足的方程

當磁場不存在，即B0＝0時，可得本征值λ1＝－λ2＝ω1，λ3＝－λ4＝ω2，λ5＝－λ6＝ω3，即系統退化為3個自由諧振子．而當ω1＝ω2＝ω3＝0時，由方程（7）可得λ＝±qB0／m，此即為帶電粒子在磁場中的回旋頻率．

令β＝λ2，方程（7）能夠寫成

其中，常量a，b，c的取值分別為

由代數知識可知其解［13］為

其中，j＝1，2，3．根據式（7）、式（9）得到矩陣A的6個本征值為：．下面分別求出對應于λj，j＝1，2，3，4，5，6的本征矢．設矩陣A的本征矢為：＝（A1j，A2j，A3j，A4j，A5j，A6j）．將χj代入本征值方程Aχj＝λjχj，得到各系數之間的關系

解上述聯立方程組（11）可得

矩陣Λ是對角化的形式，Λ的矩陣元是矩陣A的本征值．將該式代入方程（4），可以使運動方程解耦合．應用式（14），海森伯運動方程（4）成為如下形式

各算符a?j，aj之間已經沒有耦合，換句話說原來的海森伯運動方程已經解耦合．經過一定的運算，哈密頓量H可以寫成

其中，量子數nj取值為：nj＝0，1，2，3，…．算符a＋j，aj作用在相關本征態上的結果為

計入時間演化因子后，體系的本征態為

其中能量本征值為

接下來，利用得到的本征態計算坐標和動量的矩陣元，并且討論相應的經典近似．

2 坐標和動量的矩陣元及經典近似

在討論量子與經典的對應問題時，常用到玻爾對應原理及海森伯對應原理．玻爾對應原理指出，當量子數很大時，量子體系的行為過渡到經典體系的情況．而海森伯對應原理則指出，在大量子數極限下，量子力學的矩陣元是經典物理量的傅里葉展開系數．換句話說，物理量可能矩陣元之和給出經典運動方程的解，即如果定義一個量那么該量在經典近似下應當給出經典解．式中，F是物理量所對應的厄米算符．下面應用海森伯對應原理討論磁場中的三維各向異性諧振子的坐標和動量的矩陣元及量子經典對應關系，同時計算坐標和動量的量子漲落．

對方程（14）兩邊左乘矩陣S可得如下結果：

由此容易得到

下面計算坐標算符y1和動量算符P1的可能矩陣元之和

由于y1（t）和P1（t）是厄米算符，所以有ak1＝a＊k2，ak3＝a＊k4，ak5＝a＊k6，k＝1，2，3，…，6．利用此關系，式（26）可以簡寫為

顯然當n1，n2，n3→∞時，坐標y1和動量算符P1可能的矩陣元之和變成如下形式

同樣可以得出當n1，n2，n3→∞時，y2，y3和P2，P3可能的矩陣元之和的表達式．從式（27）、式（28）可以看出，當量子數n有限時，坐標和動量的矩陣元均為復數．但是，當n→∞時，二者都變成實數，即體系從量子態過渡到經典諧振子系統．經過一定的運算可以驗證，經典近似的結果滿足經典運動方程．

對于本征態式（22），相關物理量的量子漲落為

作為特例，當磁場不存在時，即B0＝0，由方程（11）及可求得當λ1＝ω1時，＝（2n1＋1）／2，同樣可以算出其他兩個坐標和動量的漲落．由此看出當外磁場不存在時，諧振子之間的耦合消失．

3 結語

對于任意方向磁場中的三維各向異性諧振子，得到了對角化的哈密頓量形式以及體系的能級和本征態．磁場的存在使得3個諧振子耦合了起來．求解耦合諧振子的薛定諤方程時，很多做法是直接將哈密頓量對角化．為了突出物理圖像，本文從運動方程出發對哈密頓量對角化．耦合諧振子的海森伯運動方程能夠寫成類似于薛定諤方程的形式．然后采取一定的變換使海森伯運動方程解耦合，進而實現哈密頓量的對角化，最后得到薛定諤方程的解．文章同時對體系的量子和經典對應問題進行了討論．在經典近似情況下，量子力學的矩陣元給出經典解．

［1］ 凌瑞良，馮金福．質量與頻率均含時的耦合諧振子的嚴格波函數［J］．物理學報，2010，59（2）：759－764．

［2］ 徐世民．三模坐標動量耦合量子諧振子哈密頓量對角化的新方法［J］．大學物理，2008，27（3）：11－13．

［3］ 徐秀緯，任廷琦，劉姝延．多維耦合受迫量子諧振子的普遍解［J］．物理學報，2006，55（2）：535－538．

［4］ 雷嘯霖．關于二次型哈密頓量的對角化定理［J］．低溫物理，1983，5（3）：264－266．

［5］ 凌瑞良，馮金福，胡云．含時二維雙耦合各向異性諧振子的嚴格波函數［J］．物理學報，2010，59（2）：759－764．

［6］ 逯懷新，王曉芹．n模二次型哈密頓量對角化的一種簡單方法［J］．大學物理，2000，19（11）：7－9．

［7］ 閆珂柱，譚維翰．簡諧勢阱中具有吸引相互作用原子體系的玻色－愛因斯坦凝聚［J］．物理學報，2000，49（10）：1909－1911．

［8］ 宋宇，劉占偉，鐘寅，等．諧振勢阱中有限粒子玻色－愛因斯坦凝聚的數值計算［J］．蘭州大學學報，2008，44（6）：131－134．

［9］ 吳國楨．分子振動光譜學原理與研究［M］．北京：清華大學出版社，2001．

［10］ 彭石安，郭光燦．光子湮沒算符高冪的本征態及其性質［J］．物理學報，1990，19（1）：51－59．

［11］ 張禮．近代物理學進展［M］．北京：清華大學出版社，1997．

［12］ 曾謹嚴．量子力學卷二［M］．3版．北京：科學出版社，2000．

［13］ Zait R A．Nonclassical statistical properties of a three－level atom interacting with a single－mode field in a Kerr medium with intensity dependent coupling［J］．Phys．Lett．A，2003，319（5）：461－474．

DIAGONALIZATION OF THE HAMILTONIAN FOR THREE DIMENSIONAL ANISOTROPIC HARMONIC OSCILLATOR IN A MAGNETIC FIELD

Li Fengmin

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222）

When the three dimensional（3D）anisotropic harmonic oscillators are exposed to a magnetic field，coupling appears among the harmonic oscillators．The Heisenberg equations of motion for these coupled oscillators can be written as the form similar to Shr?dinger equation．Through certain transformations，these Heisenberg equations of motion can be decoupled，and the Hamiltonian can be diagonalized by using these results．Furthermore，the energy eigenvalues and eigenstates of the system are obtained．Meanwhile，the matrix elements of the coordinate and momentum are given．The quantum fluctuations are also calculated．

quantum mechanics；harmonic oscillator；magnetic field；Heisenberg equation of motion

2014－10－10

天津市科委資助項目（11JCYBJC26900）．

李鳳敏，女，教授，主要從事物理教學．leemsy＠sina．com