關于均勻帶電球面上電場強度的求解

蔡莉莉 張曉燕

（華北科技學院基礎部物理教研室，河北廊坊 065201）

關于均勻帶電球面上電場強度的求解

蔡莉莉 張曉燕

（華北科技學院基礎部物理教研室，河北廊坊 065201）

由于均勻帶電球面上的電場強度無法用高斯定理求出，現行大部分大學物理基礎教材在討論均勻帶電球面產生的場強分布時，只用高斯定理求出了該帶電系統內外空間電場的分布，并沒有給出球面上場強的計算方法，只是指出在球面上場強值不連續．文章利用疊加原理和電容器能量的變化兩種方法分別導出了均勻帶電球面上任一點的場強值，驗證了均勻帶電球面的場強是不連續的，兩種方法思路截然不同，但得到的結果完全相同，該結果使得高斯定理求出的均勻帶電球面在空間電場分布的結論更加完整．

均勻帶電球面；高斯定理；電場強度；疊加原理；電容器能量

在靜電學中求解電荷在空間激發的場強是靜電場的基礎，當電荷呈對稱分布時其所激發的電場也呈對稱分布，這時只要選取恰當的高斯面就較容易地求出場強分布［1］．例如求半徑為R的均勻帶電量為q的球面電場強度分布問題，用高斯定理不難求出球面內外的場強為

該結論沒有給出球面上任一點（即r＝R）的電場強度，大部分大學物理教材中只是指出在球面上場強值不連續或有一突變［2，3］，但并未給出其具體值，這是由于球面上的場強既不能用兩邊取極限的辦法求出，也無法用高斯定理求解．如果把球面本身作為高斯面就無法確定電荷是在面內還是在面外，由于電荷的面分布是一種理想化的電荷分布模型，實際的帶電面總有一定的厚度［4］．對于理想化的均勻帶電球面上的場強如何求解是初學者經常會提出的疑問，以下我們總結了求均勻帶電球面上任一點場強的兩種方法．

1 疊加原理求球面上一點的電場強度

關于球面上場強的求解最直接的方法就是用疊加原理通過積分的方法計算，即把均勻帶電球面看作是由無限多個以場點與球心的連線為軸、半徑不同的圓環帶組成，應用均勻帶電圓環軸線上的場強公式結論來計算，該法簡單，也容易接受．

圖1所示為一個半徑為R的均勻帶電球面，帶電量為q，求解球面上任一點P點的場強．可將球面分割成無限多個半徑不同的無限窄的環帶，在球面上取如圖所示的圓環帶微元，該環帶可近似看成是圓環，其環面垂直于軸線OP．所有帶電圓環的場強在P點的疊加形成該點的總場強．其中球面的電荷面密度為

所取環帶面積

環帶所帶電量為

將式（1）、式（2）代入式（3）得

根據帶電圓環在其軸線上的場強公式的結論［5］

可得該圓環帶在球面上P點產生的場強大小為

P點場強方向沿x軸正向，根據疊加原理，帶電球面上P點的場強是所有這些帶電環帶在該點產生的場強dE的矢量和．因為各個小圓環產生的場強方向都相同，矢量和變為代數和，所以合場強為

根據圖1中的幾何關系可知

將式（4）、式（6）、式（7）代入式（5），得

2 用球形電容器的能量變化求解球面場強

利用疊加原理雖然容易理解，但是涉及積分的計算，計算量比較大，以下利用球形電容器能量的變化這一模型來計算球面上的電場強度大小．設想將球形電容器的外殼移動dR，根據能量守恒原理，外力克服靜電力所做的功等于球形電容器靜電勢能的變化，從而求出球形電容器極板所受的靜電場力，進而求出極板上的場強．設球形電容器內外球殼的電荷各為＋q和－q（如圖2所示），球殼的內外半徑分別為R1和R2，則球形電容器的電容可表示為［6］

由于兩球殼之間的距離d＝R2－R1很小，因此R1≈R2＝R，則上式可化簡為

電容器中電場儲存的能量為［7］

式（9）代入式（10）得

根據能量守恒定律，當內球殼發生虛位移dR時，外力克服靜電力F所做的功Fdr轉化為電容器所儲存的靜電能，則有

3 結語

通過上述兩種方法的計算，給出了半徑為R均勻帶電量為q的球面上任一點的電場強度的確定值，得出其具體表達式為，其值恰好等于從帶電面外無限接近帶電面時的電場強度與帶電面內電場強度為零之和的一半，這也驗證了均勻帶電球面的場強是不連續的，場強在球面處確有一間斷點．在教學中，可簡要引入計算方法，便于加深學生對均勻帶電球面產生電場規律的認識，同時啟發學生的發散思維，糾正學生認為面上場強為零或為的錯誤認識，從而形成面內、面上、面外的整體認識．

［1］ 趙凱華，陳熙謀．電磁學［M］．北京：高等教育出版社，2003：24－25．

［2］ 梁燦彬，秦光戎，梁竹健．電磁學［M］．2版．北京：高等教育出版社，2004：21－22．

［3］ 張三慧．大學基礎物理學：下冊［M］．北京：清華大學出版社，2003：349－350．

［4］ 白俊彪．均勻帶電球面上電場強度的計算［J］．思茅師范高等專科學校學報，2005，21（3）：79－80．

［5］ 吳百詩．大學物理：上冊（第三次修訂本）［M］．西安：西安交通大學出版社，2008：116．

［6］ 程守洙，江之永．普通物理學：第2冊［M］．4版．北京：高等教育出版社，1995：273．

［7］ 劉景世．“均勻帶電球面上的電場強度如何計算”的再討論［J］．河南教育學院學報（自然科學版），2011，20（4）：32－33．

SOLUTION ABOUT ELECTRIC FIELD INTENSITY ON UNIFORM CHARGED SPHERICAL SURFACE

Cai Lili Zhang Xiaoyan

（Foundation Department，North China Institute of Science and Technology，Langfang，Hebei 065201）

Electric field intensity on uniform charged spherical surface cannot be calculated with the Gauss theorem．Most of the current college physics textbooks only show the distribution of electric field intensity inside and outside spherical surface with the Gauss theorem when the electric filed intensity produced by the uniform charged spherical surface are discussed．But how to calculate the electric field intensity on spherical surface is not provided，except pointing out that the intensity value is discontinuous on the spherical surface．This paper gives the specific numerical of electric field intensity on spherical surface using superposition principle and capacitor energy variety．It is also verified that the electric field intensity on uniform charged spherical surface is discontinuous．With completely two different methods，we obtain the exactly identical results，which makes the results solved by Gauss theorem on the spatial distribution of electric field intensity produced by uniform charged spherical surface more complete．

uniform charged spherical surface；Gauss theorem；electric field intensity；super－position principle；capacitor energy

2014－07－04

蔡莉莉，女，講師，主要從事大學物理教學工作，研究方向為半導體物理．lily2004c＠163．com