基于HPM視角數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)后學(xué)生的認(rèn)知研究

夏芳

基于HPM視角數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)后學(xué)生的認(rèn)知研究

夏芳

數(shù)學(xué)歸納法是證明數(shù)學(xué)命題的一種方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時也是教學(xué)的難點。有些學(xué)生能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，做到舉一反三，真正理解數(shù)學(xué)歸納法并將其深記于心；有些學(xué)生只會死記步驟，而不會具體應(yīng)用。近年來，隨著中學(xué)教育的改革，HPM理念逐漸應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中。本文以數(shù)學(xué)歸納法為載體，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)中，對學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)行研究。

HPM；數(shù)學(xué)歸納法；學(xué)生認(rèn)知

一、研究背景

數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)上通常是用來證明與自然數(shù)N有關(guān)命題的一種特殊方法，主要研究的是與正整數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用來證明等式成立或數(shù)列通項公式的成立。數(shù)學(xué)歸納法歷來作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點，僅有極少數(shù)的學(xué)生能夠真正掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理、發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律并將其應(yīng)用于不同形式的數(shù)學(xué)問題中。大多數(shù)學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的掌握僅限于死記硬背公式及解題步驟的生搬硬套，沒有真正理解，不能做到靈活應(yīng)用。

近年來，HPM在我國數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展迅速，許多關(guān)于HPM的研究性文章及綜述性文章出現(xiàn)于HPM領(lǐng)域，基本上包括了HPM的研究現(xiàn)狀及未來的發(fā)展趨勢。本文主要從HPM的視角對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)，進(jìn)而研究教學(xué)后學(xué)生的認(rèn)知。

二、學(xué)生在數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)過程中的難點

數(shù)學(xué)歸納法作為數(shù)學(xué)教學(xué)的難點，讓每位教師又愛又恨，愛的是數(shù)學(xué)歸納法證明題規(guī)律的巧妙性，恨的是使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的原理是多么的困難。數(shù)學(xué)歸納法證明一般包括運用所掌握的數(shù)學(xué)歸納法知識進(jìn)行的基礎(chǔ)步驟和運用數(shù)學(xué)歸納法對規(guī)律進(jìn)行的遞推步驟。對學(xué)生能力的要求較高，即在掌握一定數(shù)學(xué)歸納法知識的基礎(chǔ)上證明基礎(chǔ)步驟的能力，在掌握了數(shù)學(xué)歸納法一般規(guī)律及相關(guān)原理的基礎(chǔ)上證明遞推步驟的能力，在兩者的基礎(chǔ)上將題目的答案以正確形式展示出來的能力。鑒于以上種種能力要求，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的過程中出現(xiàn)很多困難和錯誤，導(dǎo)致對數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)知水平存在較大差異。

首先，對數(shù)學(xué)歸納法的概念理解困難。很多學(xué)生對于由P（k）推導(dǎo)P（k+1）的概念不理解，經(jīng)常會出現(xiàn)“若不知道P（k）能否成立，又怎樣去推導(dǎo)P（k+1）”這樣的問題。相關(guān)研究表明，很多學(xué)生認(rèn)為遞推就是把一個關(guān)于n的等式，在等號的兩邊添加某些項使其變成一個關(guān)于n+1的相似等式。因此，他們將數(shù)學(xué)歸納法理解為由單個數(shù)學(xué)例子得出一個一般化結(jié)論的技術(shù)性操作。在解題過程中，大多數(shù)學(xué)生并不能理解數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)涵，只是單純地套用一個例子的模式。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的概念時，不能理解從P（1）跳躍到P（k）進(jìn)而推導(dǎo)出P（k+1），解題過程中常常漏掉這一步，而丟掉這一步證明得到的結(jié)果是錯誤的。

其次，有些學(xué)生具有基礎(chǔ)步驟理解的能力，可以理解第一步n=1的情況，但是對于復(fù)雜一點的情況卻不能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法給予證明。第二步是數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)中的難點，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中容易形成思維定式，認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法就是由P（k）成立去推導(dǎo)P（k+1）也成立，而沒有意識到這種情況有時候是不成立的，有些題目是由P（k）成立去推導(dǎo)P（k+2）也成立，這些疏忽會給學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)帶來一定的困難。

再次，部分學(xué)生不能正確使用總和符號，不能正確使用基本代數(shù)論證，他們在遞推步驟中，應(yīng)用n去代替k+1的過程中出現(xiàn)困難。除了上述提到的困難之外，Ernest把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時出現(xiàn)的錯誤理解分為6大類。我國學(xué)者認(rèn)為，這些困難與相關(guān)錯誤出現(xiàn)的主要原因是學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的原理理解不夠透徹，而且在遞推步驟的證明過程中存在多變、不易操作及學(xué)生對歸納假設(shè)存在疑慮等原因，導(dǎo)致在使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行數(shù)學(xué)題證明的過程中常常出現(xiàn)錯誤。

三、HPM視角下數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)

為使學(xué)生更好地理解掌握數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)知識，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決數(shù)學(xué)問題的能力，應(yīng)將數(shù)學(xué)知識的歷史演進(jìn)脈絡(luò)（數(shù)學(xué)史）有效融合到數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)中，使學(xué)生在理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，更加科學(xué)準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)。將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)中，可以使教學(xué)更加符合學(xué)生的認(rèn)知水平，避免數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)原理抽象地出現(xiàn)在學(xué)生面前，更利于他們對數(shù)學(xué)歸納法的理解，提高其學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)探索數(shù)學(xué)知識的情趣，增強自信心。

融入HPM的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案例。

引入歷史，呈現(xiàn)問題：在印度，有一個古老的傳說，大梵天創(chuàng)造世界的時候做了三根金剛石柱子，在一根柱子上從下往上按照大小順序摞著64片黃金圓盤。大梵天命令婆羅門把圓盤從下面開始按大小順序重新擺放在另一根柱子上。并且規(guī)定，在小圓盤上不能放大圓盤，在三根柱子之間一次只能移動一個圓盤。教師拿出課前準(zhǔn)備好的漢諾塔模型，通過游戲引導(dǎo)學(xué)生探索問題，并進(jìn)行歸納猜想，尋找其中的規(guī)律。

教師提出是否可以運用比較簡單的方式來代替這個煩瑣的遞進(jìn)關(guān)系，進(jìn)而運用遞推證明教師所提出的一般性規(guī)律。首先驗證n=1時規(guī)律的成立，再假設(shè)n=k時規(guī)律也成立，這時k大于等于1，由n=k時成立我們推導(dǎo)出n=k+1時也成立，那么得出該規(guī)律對于所有的正整數(shù)都成立。

提出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行猜想驗證：比較n2與2n的大小。首先讓學(xué)生進(jìn)行歸納猜想，老師通過引導(dǎo)使學(xué)生對猜想進(jìn)行驗證。

通過以上的教學(xué)及學(xué)生思考，教師對數(shù)學(xué)歸納法的原理進(jìn)行敘述。根據(jù)以上的解題思路，可以將其分為兩步，一是基礎(chǔ)步驟，也就是n取第一個值的時候，這里需要注意的是n的第一個取值不一定都是1，咱們將其設(shè)為n0，這時命題成立；二是遞推步驟，也就是假設(shè)n=k時，命題成立，n=k+1時，命題也成立，這時k必須滿足k大于等于n0，且屬于自然數(shù)，這時就可以將該命題從n=n0開始都成立，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法。

最后通過練習(xí)來鞏固數(shù)學(xué)歸納法。

四、基于HPM視角數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)后學(xué)生認(rèn)知的研究

把古老的漢諾塔傳說引到數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)中，可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及強烈的探知欲望，極短的時間內(nèi)就可以讓學(xué)生經(jīng)歷挫折的沮喪及成功的喜悅，親身體驗從猜想到結(jié)論規(guī)律論證的整個過程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度及發(fā)散思維。課程融入數(shù)學(xué)史之后，學(xué)生普遍對數(shù)學(xué)歸納法的原理掌握較好。學(xué)生通過探究問題認(rèn)識到了數(shù)學(xué)的價值，認(rèn)識到數(shù)學(xué)問題存在于日常生活之中，來自于平凡的生活，也應(yīng)用于平凡的生活，認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的靈活性。同時也了解到歷史上的先人早就在應(yīng)用這些知識，可以有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望。在課堂中教師運用古代傳說引出問題，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜想，使課堂上的每一位學(xué)生都激情四射，積極進(jìn)行思考。同時，也有利于其在日常生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心，增強數(shù)學(xué)邏輯思維能力；融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)在一定程度上促進(jìn)學(xué)生的情感態(tài)度及價值觀念的發(fā)展。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)及固定模式的題型，教給學(xué)生的只是標(biāo)準(zhǔn)的答案，使學(xué)生在問題解答的時候，只能依照固定的答題步驟，生搬硬套，不利于他們個性的發(fā)展及優(yōu)勢的發(fā)揮。而融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)方法，可以使學(xué)生展開想象，真正感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、樂趣與價值，體會數(shù)學(xué)知識與日常生活的聯(lián)系，在獲得成功經(jīng)驗的同時，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

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責(zé)任編輯：蘇航

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A

1671-6531（2015）23-0094-02

夏芳/鎮(zhèn)江高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校講師（江蘇鎮(zhèn)江212001）。