基于微課程的數學分析拓展資源建設探討

楊建雅，張鳳琴

(運城學院 應用數學系，山西 運城 044000)

基于微課程的數學分析拓展資源建設探討

楊建雅，張鳳琴

(運城學院 應用數學系，山西 運城 044000)

主要分析了微課程的發展與現狀，得出微課程作為新型教育資源，學習方式和教學模式雖然受到了人們的重視，但關于它的研究大多只是闡釋理念與應用前景，缺乏對微課程模式實踐進行深入的研究與總結。結合教學實踐分析了數學分析課程難點以及形成學生學習難點的原因，提出了數學分析微課設計與制作的內容與方法。

微課程；數學分析；積分上限的函數

1. 微課程的發展與現狀分析

早在1993 年，美國北愛荷華大學(University of Northern Iowa)的有機化學教授LeRoy A.McGrew認為當時的有機化學教材艱深難懂，為了在一些非正式的場合給大眾普及化學常識，提出了60 秒有機化學課程 ( 60-Second Course)，并認為他的60 秒課程可以應用到其他領域用以普及自己的專業知識。1995年，英國納皮爾大學(Napier University)的Terence Kee教授為了鍛煉學生對特定主題掌握核心概念的能力，提出了一分鐘演講(The One Minute Lecture, 簡稱OML)概念。這些課程在當時雖沒有稱之為微課，但卻是微課的雛型。直到2008年，美國新墨西哥州胡安學院(San Juan College)的高級教學設計師、學院在線服務經理戴維·彭羅斯(David Penrose)正式提出了微課這一概念，他指出微課并不是指為了微型教學而開發的微內容，而是指運用建構主義方法形成的、以在線學習或移動學習為目的的實際教學內容。

我國微課程的相關研究是從2011年開始的，2011年發表的與微課程相關的文章有關中客的《微課程》和廣東省佛山市教育局胡鐵生的《微課：區域教育信息資源發展新趨勢》[1]等，前者闡述了國內外“微課程”概念的源，并指出微課程不可能適用所有的課程，適用哪些課程哪些教學內容需要我們通過實踐檢驗；后者論述了微課的概念、組成、特點及分類，并結合佛山市微課資源庫建設實踐，總結了區域微課資源庫開發的步驟及途徑，展望了微課在教育教學中的應用前景。此后微課程逐漸引起眾多學者的關注，如梁樂明的《微課程設計模式研究——基于國內外微課程的對比分析》[2]，文中引用了胡鐵生關于“微課”的定義：“微課”是指按照新課程標準及教學實踐要求，以教學視頻為主要載體，反映教師在課堂教學過程中針對某個知識點或教學環節而開展教與學活動的各種教學資源的有機組合。并指出相比Penrose提出的微課程，胡鐵生從教育信息資源的角度深化了微課程的概念。再如余毅的《基于微課程模式的資源共享課建設探討》[3]，該文針對微課程如何設計和制作才能更好地服務于資源共享課建設進行了探討和總結，并針對微課程建設提出一些建議。由上所述可以看出：微課程作為新型教育資源、學習方式和教學模式雖然受到了人們的高度重視，但是目前關于微課程的研究大多仍在闡釋其理念與應用前景，缺乏對實踐中的微課程模式進行深入的研究與總結。本文結合數學分析教學實踐，對微課的內容選擇、微課的設計與制作等方面進行研究。

2. 數學分析微課的內容選擇

微課按其用戶和用途的不同，可分為教學型微課和學習型微課。其中，教學型微課的用戶是教師，用途是教師專業研修；學習型微課的用戶是學生，用途是學生自主學習。以下主要研究針對學生自主學習的學習型微課，所選內容主要是學生學習有困難的知識點。

2.1 數學分析課程難點

數學分析課程是我院數學類各專業的最重要的一門基礎課程，課程組一直非常重視數學分析課堂教學改革，得到了一定的研究成果。如：《數學分析課程教學改革的探索》[4]、《小組合作學習在數學分析課程中的應用研究》[5]、《數學分析課堂教學模式研究》[6]和《數學分析課堂教學改革的實踐與思考》[7]等，并在教學實踐中取得了明顯效果，但在運用微課程教學方面很少進行研究。通過學習、查閱相關微課程的文獻資料，分析微課程的特點與微課程教學的基本要求。結合我院學生實際和數學分析課程的特點，我們認為應該將數學分析課程的難點、和易錯點等引入到微課程教學中。

數學分析課的難點是極限理論中的相關證明、閉區間連續函數性質及其證明、實數理論、定積分可積條件、函數級數的一致收斂性、富里埃級數、含參變量的積分、多重積分計算等。具體來講主要有以下幾種類型:極限、連續和一致連續的定量定義的理解與證明問題，定積分的定義和可積性條件的理解與證明問題，函數級數的一致收斂性的定義和性質的理解與證明問題，富里埃級數的收斂性定理的理解與計算函數的富里埃展開式的問題，參變量的積分定義的理解和斂散性的判別問題，多重積分計算問題以及多種交叉綜合問題等。

2.2 形成學生學習難點的原因

數學分析課程的概念抽象嚴密、推理論證邏輯性強、思想方法轉換多樣。形成學生學習難點的原因比較復雜，但歸納起來，形成學生學習難點的原因主要有以下幾種：首先是所學習的內容的本質屬性比較隱蔽，對學生來講缺乏感性認識。因而難以開展抽象思維活動，不能較快或較好地掌握學習內容，形成了學習難點。如函數的一致連續性概念、函數列和函數項級數的一致收斂性概念等。其次是所學內容新舊知識縱橫交錯，比較復雜，學生在學習新知識時對已知概念、原理掌握不準確、不清晰，在新舊知識的銜接上呈現較大的差距，從而陷入了認知的困境，形成了學習難點。如證明函數在某區間內無界，證明函數的極限不是某定數，證明函數在某區間上非一致連續和有關定積分基本定理的證明問題等。第三是已學過的知識對新知識的負遷移作用壓倒了正遷移作用。在已知向新知的轉化中，注意力集中到了對過去概念、原理的回憶上，而沒有把這些概念、原理運用于新的學習之中，形成了學習難點。如凸函數定義的理解與證明、變上限的定積分的求導及曲線積分、曲面積分問題等。第四是學習內容綜合性強、變化復雜，使學生一時難以接受和理解，形成了學習難點。

3. 數學分析微課的設計與制作

由于學習型微課程最終是面向學生的，所以在微課的設計和制作上要從學生的角度去考慮，突出“學習”的過程，體現以“學生為本，面向學生，為了學生學習”的教學思想。為了精煉、直觀形象、生動有趣的展現課程內容，更好地詮釋知識，引導學生，把握精髓，深入探究，在微課的設計上我們主要運用了以下幾種方法：第一是運用直觀的方法加強學生的感知。第二是創設情境，聯系實際，引導學生的思維由具體到抽象，由特殊到一般。第三是補充材料，化解難點法。第四是對于易混淆的內容，運用對比方法區分各自的特點。第五是分散難點，對于難度較大的問題，把問題按難易程度分解成若干個與之相關的小問題，小坡度式地層層遞進。為了學生視覺聽覺上舒服，通俗易懂，在微課的制作上我們有主題明確的微課名稱、有信息提供的片頭、有邏輯的正文內容、有引導性的片尾等。以下是我們關于積分上限的函數求導一講的微課設計：

首先分析難點形成的原因，對積分上限的函數求導，學生不易掌握，是因為學生對積分上限的函數與被積函數的關系理解不清楚，教材呈現給學生的是積分上限的函數的導數等于被積函數在積分上限處的對應的表達式，積分上限的函數是被積函數當自變量是上限變量時的原函數.如果對積分上限的函數求導，那么根據導數運算與積分運算的互逆關系，應該還原為被積函數。如此反復使學生的思維在數學概念之間打轉，形成學生學習難點。尤其是積分上限的函數中，積分上限是函數的情形，在求導時，要把該積分上限的函數看成復合函數，由于中間變量的位置的特殊性，學生對這種復合關系理解不清楚，進一步形成學生學習難點。

根據以上分析，我們確立了這一課的教學思想：借助于數學符號，讓上述各種關系體現在數學符號之間的轉換，使各函數之間的關系更具體，更直觀，達到學生對概念及公式更好的理解和應用的目的.在這一教學思想的指導下，將這一講的內容進行分類，從最基本的積分上限的函數的求導數開始，到被積表達式中含有上限變量的積分上限的函數的求導，再到積分上限是的函數的積分上限的函數的求導，最后學習計算積分上、下限都是的函數的函數的導數和含有積分上限的函數的式子的極限；由易到難，層層梯進，分解難點，圍繞主題。教學過程如下：

3.1 基本類型

把積分上限的函數的自變量與積分變量區分開來，積分上限的函數的自變量是上限變量，對積分上限的函數求導是對上限變量求導，與積分變量沒有關系。弄清上限變量后，再根據積分上限的函數的求導公式計算就可以了。舉例如下：

3.2 被積表達式中含有上限變量

對于這種情況，我們應該先想辦法把積分變量從被積表達式中分離出來，然后再進行求導。

3.3 積分上限是x的函數

積分上限的函數還有一種重要的類型，那就是積分上限是x的函數，以下我們舉例說明如何求這一類積分上限的函數的導數。

下面舉例說明以上公式的應用

3.4 拓展延伸

利用計算積分上限的函數的導數的方法，還可以計算積分下限的函數的導數和函數的極限等。以下舉例說明。

3.5 作業

計算下列函數的導數

總之，我們主要研究的是針對學生自主學習的學習型微課，所選內容主要是學生學習有困難的知識點，我們的教學特色主要體現在：由淺入深，分層次有坡度地設計教學過程，分解難點，圍繞主題。滿足學生對知識點的個性化學習的需求；加深學生對教學內容的理解；培養學生用聯系的觀點思考分析問題，形成正確的思維方法；激發學生的學習興趣；訓練學生的發散性思維和創新思維等。

[1] 胡鐵生.微課：區域教育信息資源發展新趨勢[J].電化教育研究,2011(10).

[2] 梁樂明,曹俏俏,張寶輝.微課程設計模式研究——基于國內外微課程的對比分析[J].開放教育研究，2013(1).

[3] 余毅.基于微課程模式的資源共享課建設探討[J].中國教育信息化，2014(5).

[4] 楊建雅.數學分析課程教學改革的探索[J].運城學院學報，2008(2).

[5] 楊建雅.“小組合作學習”在數學分析課程中的應用研究[J].運城學院學報，2010(5).

[6] 張鳳琴,楊建雅.《數學分析》課堂教學模式研究[J].教育理論與實踐，2010(36).

[7] 楊建雅，張鳳琴等.數學分析課堂教學改革的實踐與思考[J].運城學院學報，2012(2).

【責任編輯 馬太來】

Discussing on the Expansion Resources Construction of Mathematical Analysis Based on the Micro Course

YANG Jian-ya, ZHANG Feng-qin

(DepartmentofAppliedMathematics，YunchengUniversity，Yuncheng044000,China)

This paper analyses the development and current situation of the micro course. The micro course draws people’s great attentions as the new education resource, the model of learning and teaching. While the most researches still stay in the interpretation of the thought and the application prospect, which lack the deep research and conclusion in practical teaching model. According to teaching practice, this paper analyzing the difficulties of mathematical analysis course and the reasons of affecting students’ learning, and proposing the making content and the designing method about the micro course of mathematical analysis.

Micro course; Mathematical analysis; Function of integral upper limit

2015-10-11

山西省高等學校精品資源共享課程項目； 運城學院教育教學研究項目(XK-2014034)

楊建雅(1962-)，女，山西臨猗人，運城學院應用數學系教授，研究方向為數學教育與生物數學。

O171

A

1008-8008(2015)06-0001-04