基于代理模型和DE算法的天線優化設計

李 哲

(中國船舶重工集團公司第723研究所，揚州 225001)

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基于代理模型和DE算法的天線優化設計

李 哲

(中國船舶重工集團公司第723研究所，揚州 225001)

在對天線進行優化設計時，直接使用HFSS等仿真軟件進行參數掃描往往需要大量的時間。為解決這一問題，將代理模型法與差分進化(DE)算法相結合，減少了優化過程中的精確電磁仿真次數，顯著減少了優化所需時間。隨后，使用該方法優化設計了一個準八木天線，結果表明，在10～11 GHz頻段內，天線反射系數小于-27 dB，驗證了算法的有效性。

差分進化；代理模型；克里金插值

0 引 言

一般的商業電磁仿真軟件都能夠根據建立好的天線模型給出相應的電磁特性，如阻抗帶寬、增益、方向圖等。但是，要根據預先設定好的性能指標設計出相應的天線結構與尺寸卻不是一件容易的事情。雖然一般的電磁仿真軟件都會內置一些參數掃描功能，但直接在電磁仿真軟件中進行參數掃描不僅效率很低，而且在面對涉及較多參數的復雜綜合問題時，往往難以得到最優化的參數。

由于天線綜合問題常常可以歸屬為黑箱優化問題，各種進化算法的出現使得非遍歷尋求最優解在天線設計中成為可能。

與其它進化算法相比，差分進化(DE)[1-2]算法具有簡單易用、魯棒性好、全局搜索能力強、對控制參數的依賴性小的優勢，不但在工程實踐中得到廣泛使用，在國內外進化計算大賽中也屢獲殊榮。因此本文選用差分進化算法作為優化算法中的全局搜索引擎。

雖然各種進化算法已經成功應用于天線設計的很多場合，但是在提高天線設計的效率方面，還有很多工作要做。全波電磁仿真在天線設計中常常是必不可少的，然而一組數據的仿真所需要的時間一般從幾分鐘到十幾分鐘不等，而一些復雜模型常常需要幾個小時到十幾個小時。而一個基于進化算法的天線綜合問題可能需要上千次計算(電磁仿真)才能找到符合要求的解。顯然，如何在不犧牲天線性能的前提下提高進化算法的工作效率成了當務之急。

為了解決上面的問題，本文引入了代理模型法。它使用一個代理模型對所求函數值進行估計，避免了在優化問題中直接對函數值進行精確計算，以減小計算成本。隨著在這方面研究的深入，出現了很多優秀的代理模型，例如克里金插值(Kriging Interpolation)[3]，人工神經網絡(ANN)[4]，支持向量回歸(SVR)[5]，徑向基函數(RBF)[6]。與其他代理模型相比，使用克里金插值法建立的代理模型不但具有良好的精度，而且建立時不需要過多的控制參數。最重要的是，它在提供某點的估計值的同時，還能給出估計的誤差，這與本文中使用代理模型對新一代個體進行篩選的思想相契合。因此本文使用克里金插值法來建立代理模型。

1 DE算法與克里金插值法簡介

1.1 差分進化算法

差分進化(DE)[1-2]算法是一種基于群體差異的啟發式隨機搜索算法，于1995年由Storn和Price兩位學者提出。在連續空間優化問題中，相比其他一些遺傳算法，差分進化算法解的質量和收斂速度方面有顯著的優勢。

與其它進化算法相似，DE算法開始于一個隨機選擇的初始種群，主要過程包括變異、交叉和選擇3個步驟。DE算法的基本流程如圖1所示。DE的基本思想是從某一組隨機產生的初始種群開始，隨機選擇2個不同的個體向量相減生成差分向量，將差分向量賦予權值后與第3個隨機選擇的個體向量相加，產生變異向量。然后將變異向量與預先確定的父代個體向量按一定的規則交叉產生試驗向量。若試驗向量的適應度值優于父代個體向量的適應度值，則選用試驗向量進入下一代，否則保留父代個體向量。通過不斷的進化，保留優勝的個體，引導搜索過程向最優解逼近。

圖1 DE算法主要流程

1.2 克里金插值法

克里金(Kriging)插值法[3]又稱為空間自協方差最佳插值法，它是以南非礦業工程師D·G·Krige的名字命名的一種最優內插法。克里金插值法廣泛地應用于地下水模擬、土壤制圖等領域，是一種很有用的地質統計網格化方法。它首先考慮函數值在空間位置上的變異分布并確定對一個待插點值有影響的范圍，然后用此范圍內的采樣點來估計待插點的值。該方法在數學上可對所研究的對象提供一種最佳線性無偏估計。在數據點多時，其內插的結果可信度較高。

這里使用普通克里金法來對一個未知點的值進行估計。這種估計具有以下形式：

fp(x)=μ+ε(x)

(1)

式中：μ為響應函數在周圍基點的均值；ε為以0為期望值的誤差，誤差值以一個相關函數的形式給出，該相關函數由所求點與周圍基點的距離確定。

這里使用的是以下形式的高斯相關函數：

(2)

那么，基于克里金插值的代理模型Rs可以定義為：

(3)

(4)

式中：R0為基點間的相關矩陣：

(5)

2 代理模型/DE算法

2.1 代理模型/DE算法的核心思想

代理模型法的核心并不是簡單的使用代理模型替代電磁仿真來進行適應度計算。要想使用代理模型完全替代電磁仿真來判斷一個新個體的好壞，需要代理模型在整個設計空間中具有極高的精確度，而代理模型的精確度越高，需要的采樣數據也就越多，在建立模型的時候需要進行更多的電磁仿真。這無疑需要消耗更多的時間，代理模型的優勢也就不明顯了。如果初始采樣點取得太少或是位置不夠理想，真實問題的一些特性可能無法在模型中體現出來。

為了解決這個問題，這里并不簡單地使用代理模型代替電磁仿真，而是使用代理模型對新產生的子代個體進行篩選，挑選出其中適應度較小的個體，再使用精確電磁仿真對該個體進行驗證。也就是說，把代理模型作為一種篩選工具，選出“最有希望”的個體，然后對其進行驗證。為此使用置信下限預篩選方法(LCB)[7]。LCB法是基于估計誤差的一種篩選方法，它的目的是在可能出現最優解卻未被詳細探測的區域增加采樣點，以彌補僅僅在最初的最優解周圍取值所導致早熟的可能性。在克里金插值法中，某個新個體x的預測誤差可以用下面的形式描述：

s2(x)=σ2{I-rT(x)R-1r(x)+ [I-rT(x)R-1r(x)]2(ITR-1I)-1}

(6)

根據預測誤差，LCB方法使用下面的式子來判斷一個新個體的好壞：

(7)

式中：y(x)為使用代理模型計算得到的x的函數值；ω為預先設定好的控制參數。

在LCB方法中，一個個體的ylcb值越小，代表該個體成為最優解的可能性越大。增大ω可以擴大搜索范圍，讓模型在整個設計空間都有一定的精確度；減小ω可以讓算法重點搜索最優解附近的區域，可以增加算法收斂的速度，但卻有陷入局部最優解的可能。根據文獻[7]的建議，這里取ω=2，以期在全局搜索和局部搜索中取得平衡。

對于每一代的新個體，先使用代理模型計算其適應度值，然后使用LCB方法，按ylcb從小到大對所有新個體進行排序。接著，選取排序后的第1個個體(也就是ylcb值最小的個體)，判斷該個體是否已包含在數據庫內(如果是，則選取第2個個體，如果第2個個體仍已包括在數據庫內，則選取第3個個體，依此類推)，如果該個體未包含在數據庫中，則使用HFSS對該個體的參數進行仿真，并將結果加入到數據庫中。這樣做的好處有：(1)不斷有新的仿真數據加入到已有的數據庫中，而代理模型是使用數據庫建立的，因此代理模型將會越來越精確；(2)每一代只對一個個體進行精細仿真，所需的時間較少。

2.2 代理模型/DE算法步驟

Step1：設置問題的基本參數：包括待優化向量中所含參數的個數n，待優化向量的上下限[Xmin，Xmax]，DE算法的一些參數如尺度因子F，交叉概率RC，種群規模PN，算法終止條件(達到最大代數或是所需要的優化結果)。

Step2：在[Xmin，Xmax]n內隨機抽取α個采樣點，并使用精確電磁仿真求得其對應的α個響應，在天線綜合問題中，這些響應可能是反射系數、增益或是方向性等電參數中的一個。這樣就有了一個由采樣點和響應構成的原始數據庫。

Step3：判斷終止條件是否滿足，如果滿足，則輸出數據庫中的最好結果；如果不滿足，算法繼續，進入Step4。

Step4：對數據庫中所有的解根據適應度值進行排序，更新目前得到的最好結果，然后取β個最好的解構成一個種群P。這里，β=min(α+G,PN)，G表示當前代數，初始G=0。

Step5：對上一步中產生的種群P進行DE算法的交叉變異操作，產生β個子代向量。

Step6：使用當前數據庫中最新的λ個采樣點和其對應的響應建立一個代理模型，這里λ=min(α+G,τ)，這里設置τ∈[80,120]，可以根據所優化參數的個數進行調整。

Step7：使用代理模型計算Step5中生成的β個子代向量的適應度值，并使用LCB法對這β個子代向量進行排序。

Step8：記錄用LCB法篩選得出的最好的個體，使用精確電磁仿真計算其響應，并將該個體和它對應的響應加入到數據庫中去，然后返回Step3。

2.3 代理模型/DE算法的參數設置

(1)DE算法控制參數：包括尺度因子F，交叉概率RC和種群規模PN。根據文獻[8]的建議，尺度因子應在[0.4,1]中選取，而交叉概率在區間 [0.5,0.95]中選取比較有效。種群規模根據所優化參數的個數而定，假設要優化的參數為n個，則PN在[4n,10n]的范圍內選取比較合適。

(2) LCB控制參數：在使用LCB篩選時，需要設置控制參數ω，根據文獻[7]的建議，這里設置ω=2。

(3) 初始化數據庫時采樣點的個數α，根據所優化問題的復雜程度，α取[4n,8n]比較合適。

3 準八木天線的優化設計

為了驗證代理模型/DE算法的有效性，使用該算法優化設計了一個準八木天線。需要優化的準八木天線的結構如圖2所示。天線的正面是在金屬表面上蝕刻出的微帶結構，背面的右半部分覆有金屬地板。介質板選用羅杰斯公司的Rogers RT6010，其相對介電常數εr=10.2，厚度為h=0.635 mm。天線使用微帶線饋電。

圖2 準八木天線結構示意圖

需要優化的參數向量為x=[s1s2v1v2u1u2u3u4]，其余的參數由表1給出。表2給出了待優化參數的取值范圍。

表1 準八木天線設計參數(單位：mm)

表2 準八木天線待優化參數范圍(單位：mm)

優化目的是令該天線在10～11GHz的頻段內反射系數盡量小,故優化問題的目標函數可表示為：

(8)

代理模型/DE算法相關的控制參數設置為：初始數據庫采樣點數α=30，建立代理模型時最大采樣點數τ=80。DE算法的基本設置為:選用DE/rand/1策略的標準DE算法，種群規模PN=50，尺度因子F=0.8。交叉概率RC=0.9，進化的最大代數Gm=140。

為了進行準確的電磁分析，采用HFSS和Matlab聯合仿真的策略，具體步驟如下：利用 HFSS-Matlab-Api(一種源自于Matlab軟件的庫函數，能通過腳本接口來控制HFSS)編程，通過該程序生成的VBscript在HFSS中完成天線的模型建立、仿真分析，然后在Matlab主程序中導入仿真結果，這樣就可實現對天線精確的電磁仿真。這樣，以代理模型/DE算法為優化工具，有效地引導算法尋找最優的天線參數組合；HFSS用來計算天線的電磁性能，完成適應度函數的計算。

圖3給出了代理模型/DE算法優化準八木天線的進化曲線圖，從圖中看出，該算法大約在105代找到了最佳的天線設計參數組合。表3給出優化后的參數。由最佳參數構成的天線的反射系數(如圖4)所示，可以看出天線的諧振頻率分別為10.2 GHz和11 GHz，反射系數優于-10 dB的帶寬為3.2 GHz(8.3～11.5 GHz)，在10～11 GHz的頻帶內，反射系數優于-27 dB，較好地達到了優化設計的目標。通過上面的例子可以看出，代理模型/DE算法是一種有效的天線優化設計方法。

表3 優化后的準八木天線參數值(單位：mm)

圖3 優化準八木天線的進化曲線

圖4 優化后準八木天線的反射系數

4 結束語

本文將代理模型法與DE算法結合，為解決天線優化設計效率低的問題提供了一種新思路。最后使用該方法優化設計了一個準八木天線，從優化設計結果可以看出，代理模型/DE算法是一種有效的天線優化設計方法。

[1] Store R，Price K.Differential evolution:a simple and efficient adaptive scheme for global optimization over continuous spaces[M].Berkeley:ICSI,1995.

[2] Store R，Price K.Differential evolution:a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces[J].Journal of Global Optimization,1997,11(4): 341-359.

[3] Queipo N V,Haftka R T,Shyy W,Vaidynathan R.Tucker P K.Surrogate-based analysis and optimization[J].Progress in Aerospace Sciences,2005,41(1):1-28.

[4] Kabir H,Wang Y,Yu M,et al.Neural network inverse modeling and applications to microwave filter design[J].IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,2008,56(4):867-879.

[5] Smola A J,Sch?lkopf B.A tutorial on support vector regression[J].Statistics and Computing,2004,14(3):199-222.

[6] Buhmann M D.Radial basis functions: theory and implementations[M].Cambridge:Cambridge university press,2003.

[7] Dennis J E,Torczon V.Managing approximation models in optimization[J].Multidisciplinary Design Optimization,1997(2):330-347.

[8] 張立.基于差分進化算法的天線優化設計技術[D].西安:西安電子科技大學，2011.

Antenna Optimization Design Based on Surrogate Model and DE Algorithm

LI Zhe

(The 723 Institute of CSIC，Yangzhou 225001，China)

During the optimization design of antennas,directly using simulation softwares such as HFSS,etc.to perform parameter scan may cost a lot of time.In order to solve this problem,this paper combines surrogate model with differential evolution (DE) algorithm,which reduces the times of exact electromagnetic simulation in optimization process so that the optimization time is significantly reduced,then designs a Quasi-Yagi antenna by using this method,the result shows that the antenna reflection coefficient is less than -27 dB within the frequency band of 10～11 GHz,which validates the effectiveness of the algorithm.

differential evolution;surrogate model;Kriging interpolation

2014-09-03

TN823.17

A

CN32-1413(2015)02-0088-05

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2015.02.023