基于齒側(cè)間隙的非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模及仿真

汪 雷，楊家軍，胡 偉，鄧家輝，黃 圣

(1 華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074； 2 荊門楚大機(jī)電有限公司，湖北 荊門 448000)

仿真分析

基于齒側(cè)間隙的非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模及仿真

汪 雷1，楊家軍1，胡 偉1，鄧家輝2，黃 圣2

(1 華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074； 2 荊門楚大機(jī)電有限公司，湖北 荊門 448000)

對(duì)單級(jí)斜齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與數(shù)值分析求解，針對(duì)齒側(cè)間隙非線性問題采用連續(xù)的雙曲正切函數(shù)來代替，把難于處理的非線性問題轉(zhuǎn)換成線性問題。新的求解方法提高了數(shù)值穩(wěn)定性，通過比較齒側(cè)間隙對(duì)齒輪傳動(dòng)嚙合力的影響，分析齒輪傳動(dòng)過程中外載下的位移響應(yīng)曲線，為提高齒輪傳動(dòng)精度提供依據(jù)。

斜齒輪； 數(shù)值分析； 間隙非線性

斜齒輪作為機(jī)械傳動(dòng)中的一種常用減速機(jī)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于機(jī)械產(chǎn)品中。由于傳動(dòng)過程中嚙合間隙的存在往往會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)噪聲，影響傳動(dòng)精度，以往對(duì)間隙問題采用非線性分段函數(shù)表示，雖然可以表達(dá)間隙非線性問題，但是在數(shù)值求解過程中只有采用較小的步長來提高求解精度，不利于數(shù)值穩(wěn)定性，對(duì)于復(fù)雜的問題增加了求解時(shí)間，而采用雙曲正切函數(shù)來代替原分段間隙函數(shù)，能很好地解決上述的問題。本文最后給出了二級(jí)斜齒輪在給定齒側(cè)間隙情況下的響應(yīng)曲線，并比較了齒側(cè)間隙對(duì)嚙合力波動(dòng)造成的影響。

1 齒側(cè)間隙模型

齒輪的齒側(cè)間隙是指相互嚙合的齒輪齒面接觸時(shí)，在非工作齒面之間形成的間隙。為補(bǔ)償安裝誤差以及熱變形，并保證齒輪的充分潤滑，所有相互嚙合的齒輪齒間必定存在空隙，。在齒輪的嚙合過程中存在三種不同的嚙合狀態(tài)，分別為無沖擊嚙合、單邊沖擊嚙合和雙邊沖擊嚙合[1]。

高速軸橫向與軸向的嚙合力

式中：βA為表示高速軸的嚙合角；bA為高速軸嚙合的齒側(cè)間隙；f(z)，f(y)為表示橫向與軸向的嚙合力；同理可得低速軸的嚙合力，只要把齒側(cè)間隙換成相應(yīng)的低速軸即可。

圖 1 齒側(cè)間隙模型

對(duì)于此類問題的處理，可以直接利用分段函數(shù)來代替齒輪的嚙合間隙，但在數(shù)值仿真過程中會(huì)帶來數(shù)值穩(wěn)定性的問題，所以必須采用較小的步長來代替，但同時(shí)會(huì)增加問題求解的時(shí)間。為了解決這類問題，文獻(xiàn)[2]提出利用多尺度法利用三次多項(xiàng)式來對(duì)間隙函數(shù)擬合。

為提高求解的精度，可將間隙擬合為七次多項(xiàng)式[2]。利用多項(xiàng)式對(duì)間隙函數(shù)進(jìn)行嚙合可以代替原來的分段函數(shù)，理論上多項(xiàng)式的階次越高，擬合的精度就越高，但分析問題也會(huì)越來越困難，同時(shí)會(huì)帶來多項(xiàng)式擺動(dòng)問題。

因分段函數(shù)f是造成齒輪強(qiáng)非線性的主要因素之一，在求解過程中可以近似用一個(gè)連續(xù)函數(shù)代替，為了簡化計(jì)算

1)雙曲正切函數(shù)[3]

g1(x)=xh(σx)；

(1)

2)反正切函數(shù)

(2)

式(1),(2)的逼近精度與正則化因子σ的選擇有關(guān)：當(dāng)σ取較小數(shù)值時(shí)，可以減少計(jì)算時(shí)間，提高結(jié)果的收斂性；相反，σ取的數(shù)值較大時(shí)，可與逼近的目標(biāo)函數(shù)更好逼近；當(dāng)σ取值非常大時(shí)候(如106)，逼近結(jié)果會(huì)非常好，但會(huì)影響數(shù)值的不穩(wěn)定，尤其對(duì)于本文中的間隙非線性函數(shù)而言。當(dāng)σ=200時(shí)，擬合精度達(dá)到計(jì)算的要求[3]。圖2對(duì)間隙b取得0.1mm，對(duì)比以上2個(gè)函數(shù)與真實(shí)函數(shù)的嚙合。

圖 2 分段線性函數(shù)的近似平滑曲線

2 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

不同于直齒輪，斜齒輪因嚙合角的存在而會(huì)產(chǎn)生軸向力的分量?；诖?，斜齒輪的振動(dòng)產(chǎn)生不同于直齒輪的振動(dòng)形態(tài)，即彎曲—扭轉(zhuǎn)—擺動(dòng)的耦合振動(dòng)。而本文考慮高速級(jí)與低速級(jí)中間軸的扭轉(zhuǎn)剛度與軸向剛度的影響，從而高速級(jí)與低速級(jí)又同時(shí)相互耦合，在此基礎(chǔ)上建立了二級(jí)斜齒輪減速器的完全耦合模型。單級(jí)分析時(shí)忽略摩擦力等一些因素的影響，僅考慮軸承的支撐剛度與軸承阻尼的影響，以及傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)變形、嚙合阻尼、齒側(cè)的間隙等影響。

每個(gè)齒輪在空間中有4個(gè)自由度，且沿著軸向的彎曲振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，沿著水平方向的扭擺振動(dòng)、軸向振動(dòng)(圖3)。本文采用集中參數(shù)法對(duì)單級(jí)斜齒輪動(dòng)力學(xué)建模，采用三維空間的動(dòng)力學(xué)模型[4]，整體的自由度數(shù)為8個(gè)。

上式中的下標(biāo)“1”、“2’分別代表齒輪1與齒輪2；字母“y”、“z”分別代表y，z軸的方向；ki(i=y,z)代表y，z方向的嚙合剛度；ci(i=y,z)代表y，z方向的嚙合阻尼；ci,j(i=1,2j=y,z)代表各軸承在y，z方向的支撐阻尼；ki,j(i=1,2j=y,z)代表軸承在y，z方向上的支撐剛度；mi,j(i=1,2j=y,z)為齒輪1，2沿著坐標(biāo)軸方向上的平移質(zhì)量；Ii,j(i=1,2j=y,z)為齒輪1、2在y，z方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。T1d為輸入軸的轉(zhuǎn)矩。

yA(t)=y1+θ1zR-(y2+θ2zR2)

zA(t)=z1-(y1+θ1zR1)tanβ-z2

+(y2-θ2zR2)tanβ

圖 3 單級(jí)齒輪傳動(dòng)的原理圖

2 仿真參數(shù)

2.1 驅(qū)動(dòng)力矩與阻力矩

齒輪系統(tǒng)的名義功率為8kW；輸入轉(zhuǎn)矩為Td1(單位為N·m)，在正常狀態(tài)下基本是恒定的，且

式中，n為高速級(jí)轉(zhuǎn)速，1000r/min。阻力矩

z1,z2為主從動(dòng)輪的齒數(shù)，分別為75，20。

表1 軸系支撐軸承的剛度與阻尼值

表 2 齒輪傳動(dòng)的尺寸參數(shù)

表3 嚙合剛度與嚙合阻尼

圖 4 高速級(jí)齒輪1的y向振動(dòng)位移曲線

圖 5 高速級(jí)齒輪1的z向振動(dòng)曲線

圖 6 高速級(jí)齒輪2的y向振動(dòng)位移曲線

圖 7 高速級(jí)齒輪2的z向振動(dòng)曲線

上面的圖形為對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程利用simulink[5-6]進(jìn)行了仿真分析的隨著時(shí)間變化的仿真曲線，分別得到齒輪1,2沿著y,z方向振動(dòng)的隨時(shí)間變化的響應(yīng)曲線，初始速度，初始位移全部選擇為0，表示齒輪從啟動(dòng)到瞬態(tài)的情況，可以得到系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。從仿真的結(jié)果可以看出來在仿真的開始出現(xiàn)較大的波動(dòng)，之后得到一個(gè)規(guī)律波動(dòng)的“穩(wěn)態(tài)值”。此現(xiàn)象是由于系統(tǒng)的彈性支撐以及齒輪嚙合的彈性變形引起的。

圖 8 齒側(cè)間隙影響下嚙合力的變化曲線

圖 9 齒側(cè)間隙為0時(shí)嚙合力變化曲線

圖8與圖9對(duì)比了不考慮齒側(cè)間隙情況下與齒側(cè)間隙為2μm情況時(shí)的y向嚙合力分量的變化曲線，從上面的曲線可以得出由于齒側(cè)間隙的存在，在嚙合過程中產(chǎn)生的沖擊現(xiàn)象會(huì)帶來嚙合力的“毛刺”現(xiàn)象，會(huì)影響齒輪傳動(dòng)精度，這種情況在實(shí)際工作中可以通過提高齒輪制造精度與安裝精度來避免。

4 結(jié)束語

本文采用simulink對(duì)單級(jí)斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真求解，對(duì)不容易處理的間隙非線性函數(shù)利用連續(xù)的雙曲正切函數(shù)來代替，這樣數(shù)值仿真上更加容易處理。雖然本文只是針對(duì)簡單的單級(jí)間隙非線性傳動(dòng)系統(tǒng)的處理，這種方法同樣適用于諧波齒輪傳動(dòng)，二級(jí)斜齒輪等傳動(dòng)系統(tǒng)，為齒側(cè)間隙分析提供了一種有效方法。

[1] 王建軍,李潤方. 齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)：振動(dòng)、沖擊、噪聲[M].第一版.北京: 科學(xué)出版社,1997.

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[3]KimTC,RookTE,SinghR.Effectofsmootheningfunctionsonthefrequencyresponseofanoscillatorwithclearancenon-linearity[J].JournalofSoundandVibration, 2003, 263(03): 665-678.

[4] 王 慶. 齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)[M].北京：氣象出版社, 2014.

[5]KarrisST.Introductiontosimulinkwithengineeringapplication[M].OrchardPublications,2010.

[6] 張志涌. 精通matlabR2011a[M].第二版. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社,2011.

[責(zé)任編校： 張 眾]

Modeling and Simulation of Gear System based on the Nonlinear Clearance

WANG Lei1,YANG Jiajun1, HU Wei1, DENG Jiahui2, HUANG Sheng2

(SchoolofMechanicalSci.andEngin.,HuazhongUniv.ofSci.andTech.,Wuhan430074,China)

This article carried out the system dynamics modeling and numerical solution for single-stage helical gear transmission mechanism. Continuous hyperbolic tangent function was used for the backlash nonlinear problem; the difficulty of nonlinear problem was transformed into a linear problem. This new method improves the numerical stability, through comparing the influence of the backlash on the gear meshing force and analyzing the displacement response curve so as to provide the basis for improving the accuracy of gear transmission.

helical gear; numerical analysis; clearance of nonlinear

2015-04-20

汪 雷(1987-)，男，吉林四平人，華中科技大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械振動(dòng)，機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)與

1003-4684(2015)04-0061-04

TH132.413

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