蒙特卡羅方法在金融衍生品定價上的應用

洪鐵松

(上海財經大學浙江學院，浙江 金華 321000)

20世紀70年代初，布萊克(Fisher Black)、斯科爾斯(Myron Scholes)和默頓(Robert Merton)取得股票期權定價問題上的一個突破。他們的成果就是在金融工程上具有里程碑意義的 Black－Schloles(或 Black－Schloles－Merton)模型。隨后在這基礎上有更多更復雜的模型，被開發出來用于金融衍生品價格的計算。譬如局部波動率模型(local volatility model)、概率波動率模型(stochastic volatility model)、跳躍模型(jump model)等。但當資產價格變動的概率過程為復雜模型時，其求衍生品價格的解析解的難度就大幅上升。不僅如此，對于一些有著復雜的損益計算函數或者收益依附于標的證券的歷史數據(路徑依賴型)的奇異期權等金融衍生品來說，至今人們還沒得出定價的解析解。于是，隨之產生的就是使用各種數值方法來對衍生品進行定價。隨著計算機技術的快速發展，數值計算方法之一的蒙特卡羅方法逐漸成為使用最方便最廣泛的衍生品定價方法。

一、布萊克－斯科爾斯期權定價模型

(一)模型的基本假設

在對股票期權等金融衍生品進行定價的時候，使用最多最有名的股票價格波動模型是布萊克－斯科爾斯模型(Black－Scholes Model)，在其模型當中股票價格假定為服從以下的幾何布朗運動:

(二)風險中性定價

雖然假定股票價格在市場測度P下的概率微分方程式為dSt=μStdt+σStdWt，但是在求期權價格的時候，根據無套利原則，B－S微分方程獨立于風險偏好，也就是不管原資產的漂移率為多少，最終都變為無風險利率。這就是我們所說的風險中性概率測度Q(鞅測度)，在該測度下，資產的價格變動概率微分方程式為dSt=rStdt+σStdWt。如果期權到期時的價值為XT=f(ST)，那么它在今天的價值就是在風險中性概率測度下的期望值的現值X0=e－rTEQ［f(ST)］。譬如歐式看漲期權到期時的價值為max{ST－K，0}，其在目前的價值就是 e－rTEQ［max{ST－K，0}］。

二、蒙特卡羅模擬方法

蒙特卡羅方法是使用隨機數進行數值計算的總稱。在金融領域的實際應用上，蒙特卡羅方法的主要思想就是:反復使用隨機數進行數值實驗，從大量的實驗結果當中求解目標因素。該方法的基本思想就是:首先，使用隨機數表現概率事件(標的資產的價格變化等)。其次，把生成的隨機數帶入概率變量(金融衍生品的價值等)計算實現值。最后，對概率變量的實現值進行集合處理。

在使用蒙特卡洛法計算期權的價格時，其基本方法是:生成隨機數模擬產生標的資產的隨機價格樣本，計算出到期時期權的價值，反復上述步驟，最后以期權價值的平均現值作為該期權的價格。下面給出在Excel VBA上用蒙特卡洛模擬方法實現期權價值計算的過程:

1.生成服從均勻分布的隨機數。使用Excel工作表函數rand()或VBA函數rnd()就能生成服從均勻分布U(0，1)的隨機數。

2.把服從均勻分布的隨機數轉換為服從標準正態分布的隨機數。在使用Excel生成標準正態隨機數時，可以把第一步生成的U(0，1)隨機數代入標準正態分布的逆函數NormSInv()來生成，但這樣的方法需要耗費大量的計算時間。通常我們可以使用Box－Muller法或Moro法更加快速的生成服從標準正態分布的隨機數。

對上述過程進行必要次數的重復，生成大量的風險中性測度下期權價值的樣本值;

4.計算出所有樣本的期權價值的平均值;用無風險利率折算出期權價值平均值的現在價值就為該期權價格的推測值。

三、應用案例分析

歐式或美式看漲期權和看跌期權這樣的衍生品被稱為標準型產品，通常人們可以在交易所里集中進行交易。除此之外，在場外市場上還存在許多的非標準化產品，人們把它們稱之為奇異期權(Exotic Option)，這類期權的定價過程相對比較復雜，即使存在解析解，也往往與現實存在一定的偏差。回望期權(Lookback Option)就是其中一類奇異期權，它最終的損益依賴于標的資產的價格路徑。回望看漲期權定義為持有者能夠以期權有效期內所能達到的最低價格購買標的資產。同樣的，回望看跌期權的持有者能夠以期權有效期內所能達到的最高價格出售標的資產。

例:考慮一個新發行的基于不支付紅利股票的回望看漲期權，股票當前的價格S_0為50，股票價格的波動率σ為40%，無風險利率r為10%，到期期限T為3個月。

歐式回望期權在連續模型下存在解析解，該看漲期權的價值為8.04。使用蒙特卡羅方法模擬計算該期權價格的過程中，我們需要在風險中性測度下模擬出股票路徑，設置價格觀測點，并對同一路徑不同觀測點上的股票價格進行對比，得出最低股價作為行使價格，從而計算出期權的到期損益Max{ST－Smin，0}。下面為使用蒙特卡羅方法在 Excel VBA上編輯用戶定義函數對回望看漲期權進行數值求解的程序代碼:

主函數當中用到了使用Box－Muller法生成服從標準正態分布隨機數的Excel VBA用戶定義函數，其具體的代碼如下:

在這里，我們對到期時間進行了分割(價格觀測點分為100次和1000次)，以觀測各個時點上的股票價格。具體的模擬計算結果如下:

表1 蒙特卡羅模擬計算結果

圖1 期權價值的收斂過程

回望期權的價值取決于期權有效期內能夠觀測到的標的資產的最低價格或最高價格。連續模型下回望期權的定價存在解析解，這意味著在期權的有效期內，標的資產的價格能夠連續的進行觀測并從中得出最低價格和最高價格。但在現實中，對于標的資產的價格觀測是離散的(譬如每日收盤價格)。由此，連續模型下的定價解析解無非只能看作是現實價格的近似解。一般，隨著觀測頻率的增加，也就是觀測時間的縮短，觀測到更高的最高價和更低的最低價的可能性也隨之上升。因此，回望期權的價格會隨觀測頻率的上升而上升。

四、總結

對金融衍生品的定價除了使用蒙特卡洛模擬運算之外，還有解析解的導出、有限差分法以及使用二叉樹數值計算等各種方法。但是，很多時候從股價模型往往無法導出解析解。在對奇異期權等一些路徑依存型的衍生產品進行定價的時候，原則上只得使用蒙特卡洛數值計算方法。隨著計算機技術的不斷發展，今天我們可以使用最常用的辦公軟件來對金融衍生品的定價進行數值計算。正是因為蒙特卡羅方法在實施上簡易可行，在大學里可用于金融工程的輔助教學，在金融實務應用上也有很大的發展空間。事實上，使用蒙特卡洛法對期權進行定價計算越來越得到重視，同時提高計算效率的各種技術的開發與應用也在不斷地得到深化和推廣。

［1］Black，F.，Scholes，M.1973.“The pricing of options and corporate liabilities”，Journal of Political Economic 81，637－654.

［2］ Boyle，P.P.，1977，“Options:A Monte Carlo Approach，”Journal of Finacial Economics，4:323－38.

［3］徐永春，2013，《蒙特卡羅方法下的期權類衍生產品定價》，《統計與決策》第15期，第161－163頁.

［4］約翰·赫爾，2010，《期權、期貨及其他衍生產品》，北京:人們郵電出版社.

［5］西蒙·本尼卡，2010，《財務金融建?！肊xcel工具(第三版)》，上海:上海人民出版社.