一個新的具有指數項的混沌系統分析

毛學志，楊曉靜，馬會泉，周建良

(1 河北科技師范學院數學與信息科技學院，數學與系統科學研究所，河北 秦皇島，066004；2 河北昌黎第一中學)

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一個新的具有指數項的混沌系統分析

毛學志1，楊曉靜1，馬會泉1，周建良2

(1 河北科技師范學院數學與信息科技學院，數學與系統科學研究所，河北 秦皇島，066004；2 河北昌黎第一中學)

構造了一個與Lorenz混沌系統、Chen混沌系統和Lü混沌系統等經典混沌系統不同的新混沌系統。該系統含有3個參數、1個乘積形式和1個指數形式的非線性項。利用數值仿真、平衡點分析、Lyapunov指數譜和分岔圖、Poincaré映射圖等對系統的復雜動力學特性進行了分析。

混沌系統；Lyapunov指數；Poincaré截面；指數函數

1963年，美國學者Lorenz[1]在研究氣象問題時提出了第一個混沌吸引子，此后的50年中，混沌理論的研究和應用在物理、數學、信息學、密碼學等許多領域中受到了廣泛關注，成為非線性科學研究領域的熱點問題之一。 Chen系統[2]、Lü系統[3，4]、Qi系統[5]以及一些其他的新的混沌系統[6～15]相繼被提出。近年來，人們開始用指數項代替非線性項，構造了一些新的混沌系統[10～15]，進一步豐富了混沌動力學理論。筆者構造了一個新的具有指數函數形式非線性項的混沌系統。該系統含有3個參數，第1個方程含有乘積非線性項，第2個方程是一個線性方程，第3個方程含有一個指數函數的非線性項。系統具有2個平衡點，與傳統的Lorenz混沌系統、Chen混沌系統以及Lü混沌系統等是拓撲不等價的。相對于文獻[10～15]，新構造的混沌系統進行了一些項數的增減和更改，改變了線性方程中兩個線性項系數相同的模式。利用數值仿真、平衡點分析、Lyapunov指數譜以及分岔圖、Poincaré映像等對系統復雜的動力學特性進行了研究，同時也對系統的混沌屬性進行了驗證。

1 新混沌系統模型

本次研究構造的具有指數形式的混沌系統的動力學方程為：

(1)

其中a，b，c為正常數。當系統參數a=1.8，b=10，c=3時，系統存在一個混沌吸引子(圖1)。相圖的形狀和類型與Lorenz混沌系統、Chen混沌系統和Lü混沌系統等經典的混沌系統是不同的，因此是拓撲不等價的。

2 新混沌系統的基本動力學特性

2.1 對稱性

系統(1)具有鮮明的對稱性，對系統做變換(x,y,z)→(-x,-y,z)后，系統(1)的狀態方程保持不變，說明此系統是關于z軸對稱的，并且該對稱性對全部系統參數都成立。

2.2 耗散性

2.3 平衡點

令系統(1)的右端等于0，即yz-y=0,x-ay=0,b-cexp(xy)=0,當a，b，c均正且b>c時，系統具有2個平衡點：

將系統在平衡點處線性化，可得Jacobian矩陣為

(2)

當參數a=1.8，b=10，c=3時，對于平衡點S1和S2，由|λI-JS|=0可得JS所對應的特征值均為λ1=-2.671 0,λ2=0.435 5+j2.970 8,λ3=0.435 5-j2.970 8。此時λ1具有負實部，λ2,λ3是一對含有正實部的共軛復根，所以平衡點S1,S2全部是不穩定鞍焦點。

圖1 參數a=1.8, b=10, c=3，時系統(1)的相圖 (a) xyz三維空間相圖，(b) xy二維平面相圖，(c) xz二維平面相圖，(d) yz二維平面相圖

2.4Lyapunov指數(LE)譜與分岔圖

Lyapunov指數是描述系統軌線相互吸引和相互排斥特征的定量指標，最大Lyapunov指數更是判斷系統是否為混沌的一個重要依據。本次研究采用Jacobian矩陣的方法計算系統的最大Lyapunov指數，求得a=1.8,b=10,c=3時系統(1)的3個Lyapunov指數分別為LE1=0.368 2,LE2=0,LE3=-2.162 9，表明此時系統為混沌的。系統(1)的Lyapunov維數為

(3)

由此可見，系統的維數為分數維數，進一步驗證了系統是混沌系統。

下面用Lyapunov指數(LE)譜和系統分岔圖分析參數變化對系統狀態的影響。

情況1：固定參數b=10，c=3，改變參數a，a∈[0,2]。

當a在[0, 2]范圍內變化時，圖2給出了系統的LE譜。當a∈[0, 0.44]時，最大LE有時等于0，有時大于0，此時系統為周期運動與混沌運動相互交替出現；當a∈(0.44, 2]時，除個別點最大LE等于0，系統為周期運動，其他點處均有1個大于0的LE，1個等于0的LE和1個小于0的LE，系統是混沌的。當a在[0, 2]變化時，x的分岔圖如圖3所示，由分岔圖也可以判斷出類似上面分析的結果。

圖2 當a變化時系統的LE譜 圖3 當a變化時x的分岔圖

情況2：固定參數a=1.8，c=3，改變參數b，b∈[0, 12]。

當b在[0, 12]變化時，系統的LE譜和分岔圖如圖4所示。由圖4(a)可以看出，當b∈[0, 3]或[4.5, 5.9]時，最大LE等于0，此時系統為周期運動；當b∈(3, 4.5)時，最大LE有時等于0，有時大于0，此時系統為周期運動與混沌運動相互交替；當b∈(5.9, 12]時，有1個LE大于0， 1個LE等于0，此時系統為混沌的。由圖4(b)也可得出相同的判斷。

圖4 當b變化時系統的LE譜及關于x的分岔圖 (a) LE譜，(b) 關于x的分岔圖

情況3：固定參數a=1.8，b=10，改變參數c，c∈[0, 15]。

當c在[0, 15]變化時，系統的LE譜和分岔圖如圖5所示。由圖5(a)可以看出，當c∈[0, 7.8]時，1個LE大于0， 1個LE等于0，此時系統為混沌的；當c∈(7.8, 8.7]或[10, 15]時，最大LE等于0，此時系統是周期的；當c∈(8.7, 10)時，最大LE有時等于0，有時大于0，此時系統為周期運動與混沌運動交替出現。由圖5(b)也可得出相同的判斷。

圖5 當c變化時系統的LE譜及關于x的分岔圖 (a) LE譜，(b) 關于x的分岔圖

2.5Poincaré截面

系統復雜的混沌動力學行為也可以由Poincaré截面法進行直觀有效的觀察和分析。當參數a=1.8，b=10，c=3時，系統(1)有一個LE大于0，可知系統處于混沌狀態，圖6展示了此時系統在xoy截面上的Poincaré映像。由圖6可以清晰地看到，Poincaré截面上的點連成線狀或形成片狀，并且可以清晰地看見吸引子的葉片，進一步說明系統處于混沌運動狀態。

固定參數a=1.8，b=4.5，c=3，系統有一個LE等于0，另外2個LE小于0，可知系統為周期的，圖7展示了在這組參數下系統在y=0這個截面上的Poincaré映像。從圖7可以看到，截面上僅有6個孤立的點，說明此時系統處于周期運動狀態。這從系統的LE譜也得以驗證。

圖6 參數為(2)式時Poincaré映像 圖7 當a=1.8, b=4.5, c=3時的Poincaré映像

3 結 論

本次研究了一個新的帶有指數函數形式非線性項的三維自治混沌系統。該系統具有3個參數，2個非線性項，其中1個非線性項為指數函數形式，其吸引子的形狀與Lorenz混沌系統、Chen混沌系統、Lü混沌系統等傳統混沌吸引子是不同的。通過數值仿真、平衡點分析、Lyapunov指數譜和分岔圖、Poincaré截面圖等幾個方面，對系統復雜的動力學特征進行了研究，系統豐富的混沌特性得到了驗證。

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(責任編輯：朱寶昌)

Analysis of a New Chaotic System with Exponential Term

MAO Xue-zhi1，YANG Xiao-jing1，MA Hui-quan1，ZHOU Jian-liang2

(1 School of Mathematics and Information Science & Technology,Institute of Mathematics and Systems Science,Hebei Normal University of Science & Technology,Qinhuangdao Hebei，066004;2 Chang li Huiwen No. 1 Middle School;China)

In this paper, a new chaotic system is constructed, and it is different from the Lorenz system, Chen system and Lü system. The new system includes three parameters, and the nonlinear terms are made up of one product term and one exponential form. The complex dynamic properties are researched by methods of numerical simulation, analysis of equilibrium points, Lyapunov exponent spectrum, bifurcation diagrams and Poincaré section diagrams.

chaotic system;Lyapunov exponent;Poincaré section;exponential function

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.002

河北省自然科學基金資助項目(項目編號:A2015407063)；河北科技師范學院重點學科和科研創新團隊建設經費資助項目(項目編號:CXTD2012-08)。

2015-03-30; 修改稿收到日期: 2015-05-13

O415.5

A

1672-7983(2015)02-0007-05

毛學志(1969-)，男，副教授。主要研究方向：混沌系統，群集系統。