一類非線性R-L分?jǐn)?shù)階積分微分方程的數(shù)值解法

張盼盼,任正杰

(1 寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,寧夏 銀川，750021；2 甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué))

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一類非線性R-L分?jǐn)?shù)階積分微分方程的數(shù)值解法

張盼盼1,2,任正杰2

(1 寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,寧夏 銀川，750021；2 甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué))

利用Adomian多項(xiàng)式將分?jǐn)?shù)階積分微分方程中的積分項(xiàng)離散化,進(jìn)而得到原方程解的級(jí)數(shù)表達(dá)形式,數(shù)值算例驗(yàn)證了該分解方法的有效性。

Adomian多項(xiàng)式;分?jǐn)?shù)階積分微分方程;數(shù)值解

分?jǐn)?shù)階微積分是一古老而新鮮的概念。早在17世紀(jì)末,就有像L’Hospital,Leibniz等數(shù)學(xué)家開始考慮分?jǐn)?shù)階微積分,但由于缺乏應(yīng)用等眾多原因的支撐,使得分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展相對(duì)滯后。近年來,越來越多的分?jǐn)?shù)階微積分方程廣泛出現(xiàn)在各大工程領(lǐng)域。例如,PID控制理論、粘彈性材料及混沌現(xiàn)象等反常問題[1,2],其中有些問題建模后得到的方程大多數(shù)都是非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程。由于分?jǐn)?shù)階微積分復(fù)雜的定義,增加了分?jǐn)?shù)階方程的求解難度,分?jǐn)?shù)階積分微分方程的求解對(duì)眾多學(xué)者來說更是挑戰(zhàn)。目前關(guān)于分?jǐn)?shù)階積分微分方程數(shù)值解的文獻(xiàn)已有一些,主要是用小波的方法求解 Fredholm或Volterra型的分?jǐn)?shù)階積分微分方程[3～6]。LI Huang等[7]采用Taylor級(jí)數(shù)的方式求解了線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程。然而,關(guān)于非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程數(shù)值解的文獻(xiàn)甚少。

利用Adomian分解法求解代數(shù)方程具有強(qiáng)大的優(yōu)越性，其解為級(jí)數(shù)形式、收斂快、計(jì)算方便且容易在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。它的核心思想是：把方程拆成n個(gè)部分，把解拆成n個(gè)項(xiàng)，同時(shí)非線性項(xiàng)用一種特殊的多項(xiàng)式An進(jìn)行替代，然后由低階解分量逐漸向高階解分量逐一解出，從而得到方程的近似解析解，也可以得到精確解。該方法無需進(jìn)行任何變換，很好的保持了原方程的物理性質(zhì)。在實(shí)際生活中不僅會(huì)遇到線性問題和確定問題,而且經(jīng)常會(huì)遇到非線性問題甚至是隨機(jī)問題。對(duì)于這些非線性問題,通常的辦法是將其線性化近似處理或采用擾動(dòng)技術(shù)。然而,這些方法在求解時(shí)無形中改變了原問題,得到的解往往不能滿足實(shí)際需要。Adomian分解法不會(huì)存在這樣的問題,計(jì)算量很小，而且很快就能收斂到真解。所以,Adomian分解法是求解非線性方程的有力工具[8,9],筆者利用Adomian多項(xiàng)式將R-L分?jǐn)?shù)階積分微分方程離散化,得到原方程解的級(jí)數(shù)表達(dá)式,并使用數(shù)值算例證明該算法的有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義[1]設(shè)f(x)∈L[a,b],α>0。則稱

(1)

為Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分,其中t∈[a,b], Γ(α)為Gamma函數(shù)。

2 主要結(jié)果

設(shè)

(2)

(3)

由Adomian分解法知,設(shè)

(4)

其中

將(4)式代入(3)式,整理得

(5)

(6)

(7)

3 解的收斂性

唯一性定理 方程(2)有唯一解?0<γ<1,其中γ=λML/Γ(α+2)。

證明:設(shè)

則有

由方程(2)的條件得

=γ‖x-y‖

易見,當(dāng)γ∈(0,1)時(shí),H即為壓縮映射。由引理知,H中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn),即方程(2)有唯一解。

收斂性定理 方程(2)的解收斂?g(t)有界且0<γ<1,其中γ=λML/Γ(α+2)。

=γ‖Sp-1-Sq-1‖

所以

‖Sp-Sq‖≤γ‖Sp-1-Sq-1‖≤γ2‖Sp-2-Sq-2‖≤…≤γq‖Sp-q-S0‖

令p=q+1,則有

‖Sp-Sq‖≤γq‖S1-S0‖

‖Sp-Sq‖ =‖Sq+1-Sq+Sq+2-Sq+1+…+Sp-Sp-1‖

≤‖Sq+1-Sq‖+‖Sq+2-Sq+1‖+…+‖Sp-Sp-1‖

≤[γq+γq+1+…+γn-1]‖S1-S0‖

因?yàn)間(t)有界,由(5),(6)式知,x1(t)有界,因此當(dāng)γ<1,q→∞時(shí),‖Sp-Sq‖→0,即函數(shù)列{Sp}是Banach空間B上的柯西列。

4 數(shù)值算例

例1 求解分?jǐn)?shù)階積分微分方程

其初始條件為x(0)=1。這類方程的解析解一般不易求得,但由文獻(xiàn)知,當(dāng)α=1時(shí),此方程的解析解為x(t)=et。因此,以α=1為例檢驗(yàn)筆者算法的有效性。

圖1 非線性R-L分?jǐn)?shù)階積分微分方程的數(shù)值解與精確解的比較

表1 非線性R-L分?jǐn)?shù)階積分微分方程的數(shù)值結(jié)果及誤差(α=1)

例2 求解分?jǐn)?shù)階積分微分方程

圖2 分?jǐn)?shù)階積分微分方程的數(shù)值解與精確解的比較

表2 α=1時(shí)分?jǐn)?shù)階積分微分方程的當(dāng)數(shù)值解與精確解的比較

[1] 陳文,孫洪廣,李西成.力學(xué)與工程問題的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模[M].北京：科學(xué)出版社,2010.

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(責(zé)任編輯：朱寶昌)

Numerical Solution of a Class of Nonlinear R-L Fractional Integro-differential Equation

ZHANG Pan-pan1，2,REN Zheng-jie2

(1 Department of Mathematics and Computer Science,Ningxia University, Yinchuan, 750021;2 The First High School of Yongchang, Yongchang Gansu;China)

In this paper, Adomian polynomial is used to discrete fractional integro-differential equation to obtain solution of the original equation, numerical examples show that this method is effective to approximate the numerical result.

Adomian polynomials;fractional integro-differential equations;numerical solution

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.010

2015-04-02; 修改稿收到日期: 2015-05-24

O241.8

A

1672-7983(2015)02-0047-05

張盼盼(1986-),男,碩士研究生。主要研究方向：復(fù)分析在力學(xué)中的應(yīng)用。