塊陣群逆的一個注記

張 漢 宇

(1 黑龍江大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱，150080；2 黑龍江省雞東縣第二中學)

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塊陣群逆的一個注記

張 漢 宇1,2

(1 黑龍江大學數學科學學院，黑龍江 哈爾濱，150080；2 黑龍江省雞東縣第二中學)

環(huán);群逆;塊陣;反三角

分塊矩陣的D-逆(群逆)是研究奇異微分方程和差分方程、馬爾可夫鏈等統(tǒng)計問題不可缺少的工具[1～3]。本次研究的目的是把一些原有的結果推廣到更一般的結合環(huán)上。

1 預備知識

本次研究中R是含1的結合環(huán),Rn×n是R上全部n×n矩陣的集合。

定義1 如果存在矩陣X∈Rn×n使得AXA=A, XAX=X, AX=XA，那么X被稱為A的群逆，表示為A#。

如果A#存在，那么它是唯一的，也稱A是群可逆的。如果A是群可逆的，把I-AA#表示為Aπ,這里I是n階單位陣。

本次研究中,R(A)={Ax|x∈Rn}與Rr(A)={xA|x∈R(n)}分別表示A的列值域與A的行值域。

引理1[6]設A∈Rn×n，那么如下條件等價：

(1) A是群可逆的；

(2) 矩陣方程A=A2X與YA2=A在R上有解；

(3) R(A)=R(A2)與Rr(A)=Rr(A2)。

2 主要結果

(1)M#存在當且僅當T=A2+BSπC是可逆的。

M1=AT-1(A+BS#C)T-1A,

M2=AT-1(A+BS#C)T-1BSπ-AT-1BS#,

M3=SπCT-1(A+BS#C)T-1A-S#CT-1A,

M4=SπCT-1(A+BS#C)T-1BSπ-S#CT-1BSπ-SπCT-1BS#+S#。

證明 (1)的必要性證明：由S#存在，易計算

如果M#存在，由引理，在R上存在矩陣X,Y使得M=M2X=YM2。

可設

則由M=M2X=YM2，可得

從而TX1=A, Y1T=A。故

TX1A-1=I=A-1Y1T

(*)

因此，A-1Y1TX1A-1=A-1Y1，即X1A-1=A-1Y1。由(*)知，T是可逆的。

(1)的充分性與(2)的證明：如果T=A2+BSπC是可逆的，令

M1=AT-1(A+BS#C)T-1A,

M2=AT-1(A+BS#C)T-1BSπ-AT-1BS#,

M3=SπCT-1(A+BS#C)T-1A-S#CT-1A,

M4=SπCT-1(A+BS#C)T-1BSπ-S#CT-1BSπ-SπCT-1BS#+S#。

(1)M#存在當且僅當BC是可逆的；

證明 (1)的必要性證明：由C∈Rm×n是左可逆的，B∈Rn×m是右可逆的，易于計算

(**)

注記1 本次研究中的定理1和定理2分別把文獻[4]中除環(huán)上定理3.1的結果與文獻[5]中復數域上推論3.3的結果推廣到一般環(huán)上。

[1] Campbell S L,Meyer C D.Generalized Inverses of Linear Transformations[M].London:Pitman,1979.

[2] Bu C J,Zhang K Z,Zhao J M.Representations of the Drazin inverse on solution of a class singular differential equations[J].Linear and Multilinear Algebra,2011,59(8):863-877.

[3] Wei Y M.Index splitting for the Drazin inverse and singular linear syetem[J].Appl Math Comput,1998,95:115-124.

[4] Bu C,Li M,Zhang K,et al.Group inverse for block matrices with an invertible subblock[J].Appl Math Comput,2009,215:132-139.

[5] Zhou J,Bu C,Wei Y M.Group inverse for block matrices and some related sign anslysis[J].Linear Multilinear Algebra,2012,60:669-681.

[6] Sheng Y Q,Ge Y L,Zhang H Y,et al.Group inverses for a class of 2×2 block matrices over rings[J].Appl Math Comput,2013,219:9 340-9 346.

(責任編輯：朱寶昌)

A Note on the Group Inverse of Block Matrices

ZHANG Han-yu1，2

(1 School of Mathematical Science,Heilongjiang University,Harbin Heilongjiang,150080;2 Group of Mathematical,Jidong second middle school;China)

SupposeRis an associative ring with unity 1.In this paper, We give the necessary and sufficient conditions for the existence and explicit representations of the group inverses of the following two classes block matrices. (1)M=ABCD, whereAis invertible, and (D-CA-1B)#exists; (2)M=ABC0, whereCis left invertible,Bis right invertible. Some examples are given to illustrate our results.

ring;group inverse;block matrix;anti-triangular

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.009

2015-04-13; 修改稿收到日期: 2015-06-16

O

A

1672-7983(2015)02-0043-04

張漢宇(1985-)，男，碩士。主要研究方向：矩陣代數，廣義逆等。