一類周期函數(shù)在H?lder空間中的插值逼近

何尚琴，劉繼發(fā)，趙會(huì)娟

(河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院,河北 秦皇島,066004)

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一類周期函數(shù)在H?lder空間中的插值逼近

何尚琴，劉繼發(fā)，趙會(huì)娟

(河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院,河北 秦皇島,066004)

利用一類插值算子，研究了在H?lder空間中以2π為周期的反周期函數(shù)的三角插值的逼近和飽和問題，并討論了其在該空間中的飽和及充要條件。

H?lder空間；反周期三角插值算子；飽和階

插值是很多研究問題討論的對象，插值所面臨的第一個(gè)問題是根據(jù)插值問題的需要來選擇插值函數(shù)類或插值函數(shù)空間。如果選擇的函數(shù)類為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值問題[1]。由于廣泛的理論和實(shí)踐的需要，三角多項(xiàng)式插值的研究在近些年來發(fā)展很快，人們在推導(dǎo)周期函數(shù)的數(shù)值積分、積分方程和奇異積分方程等數(shù)值解的公式時(shí)，三角插值成為必不可少的工具。

關(guān)于2π周期函數(shù)的三角插值問題已有很深入的研究及推廣，Sharma A和Varma A K[2]研究了2π周期函數(shù)的(0,m)三角插值。反周期函數(shù)的三角插值問題，自Delvos F J，Knoche[3]的研究之后，反周期函數(shù)的插值問題受到廣泛關(guān)注[4,5]。

H?lder空間是一類十分有用的函數(shù)空間，研究此空間的性質(zhì)具有重要的意義，在此空間中定義的范數(shù)同樣具有優(yōu)越的性質(zhì)。蔣艷杰[6]研究了在H?lder度量下，一類三角插值多項(xiàng)式的逼近和飽和問題，確定了飽和類和飽和階。隨后侯象乾[7]又研究了在H?lder空間下，雙周期(0,m)三角插值多項(xiàng)式(m為偶數(shù))的逼近與飽和，確定了飽和階與飽和類。筆者研究在H?lder度量下，以2π為周期的反周期函數(shù)的三角插值算子及其在H?lder空間中的逼近問題。

記AC={f|f∈C2π,f絕對連續(xù)}，Hα={f|f∈C2π,f∈Lipα},

1 主要結(jié)論

定理 設(shè)f(x)∈Wm-1Hα,即f(x)是H?lder空間中以2π為周期的反周期函數(shù)，當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，有

2 相關(guān)引理

易知插值算子J2n-1(x)在所取結(jié)點(diǎn)處滿足插值條件：

3 定理證明

充分性的證明。

應(yīng)用m-1次拉格朗日中值定理，

日本作為一個(gè)四面環(huán)海的島國，本土資源貧乏，貿(mào)易立國是其國家戰(zhàn)略，故日本經(jīng)濟(jì)的海外依存度極高，進(jìn)口資源的穩(wěn)定供應(yīng)和貿(mào)易通道的暢通，直接關(guān)系著日本經(jīng)濟(jì)的興衰。據(jù)統(tǒng)計(jì),日本石油進(jìn)口的80%以上和國際貿(mào)易的70%都是經(jīng)由南海航線，[19]日本經(jīng)濟(jì)很容易因周邊海域與海上航道爆發(fā)危機(jī)或遭遇封鎖而陷入癱瘓狀態(tài)，為此，日本基于“保衛(wèi)周邊海域和確保海洋運(yùn)輸安全對日本國家安全至關(guān)重要”這一考慮，而將南海納入其需要關(guān)注的周邊海域和海上交通線，并且從經(jīng)濟(jì)、政治、外交和軍事等方面多管齊下，以增強(qiáng)自身對南海地區(qū)的地緣政治影響力。

f(m-1)(x+θ(m-1)h)]/hα‖c

必要性的證明：

由T2n-1(T2n-1(f))=T2n-1(f)得

綜上，筆者利用插值算子

[1] 謝庭藩,周頌平.實(shí)函數(shù)逼近論[M].杭州:杭州大學(xué)出版社,1998.

[2] Sharma A,Varma A K.Trigonometric interpolation[J].Duke Math J,1965,32:341-357.

[3] Delvos F J，Knoche L．Lacunary interpolation by antiperiodic trigonometric polynomials[J].BIT,1999,39:430-450.

[4] 何尚琴,侯象乾.反周期函數(shù)(0,m)三角插值的收斂性[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2006,27(3):218-220,224.

[5] 何尚琴,李艷坡.反周期函數(shù)的缺項(xiàng)2-周期三角插值[J].河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,37(6):541-548.

[6] 蔣艷杰.在度量下一類三角插值多項(xiàng)式的逼近[J].北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1993,29(1):50-54.

[7] 侯象乾.一類三角插值多項(xiàng)式在度量下的逼近[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2001,22(3):282-283.

[8] Butzer P L,Nessel R J.Fourier analysis and approximation volume 1[M].New Yourk:Birkhauser Basel and Academic Press,1971.

(責(zé)任編輯：朱寶昌)

Approximation of Certain Trigonometric Interpolation in the H?lder Metric

HE Shang-qin，LIU Ji-fa，ZHAO Hui-juan

(School of Mathematics and information Science & Techonology,Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei,066004,China)

By using a class of interpolation operator, the 2π trigonometric approximation and saturation of antiperiodic function were studied on the H?lder Metric, the necessary and sufficient condition were discussed.

H?lder space；antiperiodic trigonometric interpolation operator;the saturation order

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.006

2015-04-15; 修改稿收到日期: 2015-05-26

O174.41

A

1672-7983(2015)02-0027-04

何尚琴(1977-)，女，講師，碩士。主要方向：函數(shù)逼近論。