Szász-Baskakov-Durrmeyer算子導數的完全漸進展開

崔 瑜，張春茍，張靈敏

(1 河北科技師范學院數學與信息科學學院，河北 秦皇島，066004；2 首都師范大學數學科學學院)

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Szász-Baskakov-Durrmeyer算子導數的完全漸進展開

崔 瑜1，張春茍2，張靈敏1

(1 河北科技師范學院數學與信息科學學院，河北 秦皇島，066004；2 首都師范大學數學科學學院)

主要研究了Szsz-Baskakov-Durrmeyer算子導數的漸進展開問題，即同時逼近的漸進展開問題，建立了該算子導數的點態完全漸進展開公式。

SBD算子；導數；Durrmeyer變形；漸進展開

算子的構造方法多種多樣，比如有積分變形、組合迭加、推廣修正、加權求和等等，而算子的積分變形主要有Kantorovich變形和Durrmeyer變形等兩種，Durrmeyer變形就是如下的一種構造新算子的方法：

設有算子

其Durrmeyer變形定義為

這里被積函數所加的權函數lnk(t)與算子的基函數lnk(x)通常是一致的。如果不一致，就是所謂的異權。文獻[2]正是基于這種方法引入了Baskakov-Szsz-Durrmeyer算子(簡稱為BSD算子)如下:

算子以及算子導數的漸進展開是算子逼近的一種表現形式。一方面直觀展現了算子的逼近性質，另一方面也是深入研究算子逼近性質的準備。因此，算子以及算子導數的漸進展開問題是算子逼近的一個重要的研究方向，尤其是完全漸進展開，這方面已有大量的文章進行研究[4～16]。

定理A 設q∈N,x∈[0.tif,+∞)，則對于每一個函數f∈K[2q;x]，有

這里f∈K[2q;x]表示函數f在x點2q階連續可導，且f∈Wγ[0,∞)，即f在[0,∞)上局部可積且存在實數γ，使得f(t)=O(tγ)(t→+∞)。系數

其中

1 引 理

對于任意非負整數p,在此記

則有如下關鍵性引理：

引理1 設f(p)∈Wγ[0,∞)，則對于n>p有

證明 約定Sn,-1(x)=0，則由

可得

再由歸納法可得

證畢。

記em(x)=xm(m=0,1,2,…)，ψx(t)=t-x。則運用文獻[1]中的引理1～引理3的方法，可得本次研究的：

引理2

這里

=O(n-[r+1/2])

引理3[4]設q∈N,x∈I,An:L∞(I)(I上本性有界)→C(I)(I上連續)是一個具有如下性質的正算子序列

則對于任意f∈L∞(I)在x上2q階可導函數，有漸進關系

如果f(2q+2)(x)存在，那么上式中的o(n-q)能被O(n-(q+1))替換。

引理4(局部化定理) 當x>0時，假設f∈Wγ(0,∞)，且在x的某鄰域值為0，則對任意的q>0有

2 主要結論

定理B設p=0,1,…，且f(p)∈K[2q;x]，則

其中

證明 記g=f(p)，則g∈K[2q;x]。據引理4，不失一般性可設g在[0.tif,+∞)上有界，則

由引理1，引理2和引理3可得

這里

定理得證。

顯然，p=0時，定理B化為定理A。

(2S(p+2,p+1)-S(p+1,p)-S(p+3,p+2))x2]f(p+2)(x)。

這里S(k,j)表示第二類Stirling數，其定義如下

取q=1，則由定理B可得如下Voronovskaja型漸進展開式：

推論 設x∈(0,1),f∈K[2+p;x]，則對于p=0,1,…有

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(責任編輯：朱寶昌)

Complete Asymptotic Expansion of Derivative of the Szász-Baskakov-Durrmeyer Operator

CUI Yu1，ZHANG Chun-gou2，ZHANG Ling-min1

(1 School of Mathematics & Information,Hebei Normal University of Science & Technology,Qinhuangdao Hebei，066004;2 School of Mathematical Sciences,Capital Normal University；China)

In this paper, we will study this operator asymptotic expansion of derivative and establish a complete expansion formula in point wise form.

Operator; Durrmeyer’s modification; Asymptotic expansion

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.003

2015-03-26; 修改稿收到日期: 2015-05-27

O174

A

1672-7983(2015)02-0012-04

崔瑜(1982-)，女，講師，碩士。主要研究方向：函數逼近論。