MOOC課程《數學之旅》的實踐與體會

王維克

（上海交通大學，上海　200240）

MOOC課程《數學之旅》的實踐與體會

王維克

（上海交通大學，上海200240）

MOOC對數學教學來講，因為功利性刺激減弱，如何吸引學生，同時還不失數學的深刻性，這是對每個數學教師的挑戰.從《數學之旅》課程中挑選3個典型案例，試圖用講好故事的辦法，圍繞“數學抽象”這個主題展示數學抽象的魅力和強大功效.同時，就提高如何設計課程能提高學生和社會受眾的數學抽象能力和數學涵養談幾點思考.最后，對MOOC課程新的特點的把握和駕馭，以及課程拍攝和課程上線的實踐談幾點體會.

MOOC課程；數學的抽象；拓撲學；距離與空間；布勞威爾不動點定理

MOOC是大規模在線公開課程（Massive Open Online Course）的簡稱，為學習者提供大規模的開放性在線學習課程.MOOC這樣一種課程形式，正以迅猛的速度在發展.MOOC改變了傳統學校傳授知識的模式，提供了一種全新的知識傳播和學習方式，在教育觀念、教育體制、教學方式等方面都有著深刻影響[1].對于傳統教學帶來一系列的變化和挑戰是毋庸置疑的.對于大多數數學教師來講，都是一個新的話題.因為過去的教學，強烈地依賴著考試、學分積累等功利目的來鞭策學生學習，課堂的趣味性、吸引力則是大多是教師不需要著重考慮的問題.但面臨MOOC課程時，原來作為教師所具有的優勢和抓手，都會喪失.但反過來，數學又是一門嚴肅的科學，如果只是講述一些數學故事當然是可以吸引學生的，但是這就已經不是數學，也會違背數學教學的目的.

在這兩難的角色中，應該怎么辦？這里試圖就個人設計和講述《數學之旅》的實踐中碰到的問題，談一些體會和思考.

1　MOOC的挑戰和機遇

首先，對MOOC應該有清醒的認識.MOOC這一形式會在多大程度上來替代傳統教學，這有待時日來檢驗.但如果不認真應對和順應這一潮流，會給教育工作者帶來諸多的問題.為什么這樣說呢，首先，MOOC是互聯網催生出的產物.而互聯網對人類生活的影響，從閱讀形式、娛樂形式、甚至交流形式，還有一些商品購物習慣等帶來的沖擊都是巨大的.甚至有人戲言，人類也以互聯網的熟悉和依賴程度劃分為原居民、移民和難民.這足以看出，互聯網對人類生活的巨大影響.而MOOC在各種公開教育課程里面，依賴于互聯網扮演的角色，應該引起教育工作者足夠的重視.MOOC作為在互聯網課程教學中的一個新角色，比過去的傳統公開課，對于學生來講，更具有吸引力和影響力.

MOOC大致分為兩種形態，一種是針對大眾教育的，一種形態是作為傳統課堂的補充，應用于學校教育.《數學之旅》主要是針對大眾教育的MOOC形式，當然也可以作為一些學校傳統課程的補充.針對大眾的MOOC課程的特點：其一，這類課程的學生具有廣譜性，它包括大眾的方方面面，由于大眾的知識基礎參差不齊，故對教學內容提出了嚴峻的挑戰；其二，MOOC這類課程本身沒有功利性要求，它不像學校的課程，因為有考試等辦法來強迫學生學習.相反，它吸引大眾學習的手段就靠課程本身；其三，這樣的課程由于網絡傳播的需要，一般比較短小，一堂課大約10～20分鐘.這樣碎片化的微課程，也使得教育工作者傳統的教學理念需要改變.

以上這些，對于大多數數學教師來講，都是一個新的話題.因為過去的教學，強烈地依賴著用系統的講授和大量的習題練習、嚴格的考試程序、學分積累的功利目的來鞭策學生學習，課堂的趣味性、吸引力則是大多數教師不需要著重考慮的問題.但面臨MOOC課程時，原來作為教師所具有的優勢，和推動教學的抓手，都會喪失，不強烈地意識到這一點，課程將會是失敗的.但反過來，數學又是一門嚴肅的科學，如果只是講述一些數學故事和羅列數學史上的種種軼事趣聞，當然是可以吸引學生的，但是這就已經不是數學，也會違背數學教師作為“數學傳道士”的初衷.

另外一方面，數學作為學生培養和大眾文化素質提高具有其它學科教育不可替代的作用，這方面數學界很多同仁作了大量工作，也有很好的見解[2～6].而MOOC這種形式的網絡課程，是數學教師應該重視的戰略契機.只有熟悉這種形式，駕馭這種形式，就可以借MOOC這種形式，更好地將數學作為一種文化形態傳授給學生和大眾，提高大眾的數學涵養.

2　數學的抽象

首先，一個好的MOOC課程要有目的和主線，或者說，要有一種想達到某一種目的的激情和沖動.沒有了這一種原始的激情和沖動，勉為其難地去做一個MOOC課程，可能會事倍功半，無功而返.設計《數學之旅》這門課的一個原始沖動是在當今數學學習中，很多學生從中學進入到大學學習數學時碰到數學抽象性的問題.初學大學數學都會遇到兩類困難：一類是有些題目不會解，這類困難會使學習者越戰越勇，一般不會嚴重地打擊學習積極性；還有一類痛苦是他們根本不知道這本數學書試圖說什么事情，或者不知道老師在講什么，在抽象的數學描述面前完全不知所云，而這類困難，足以使得學習者喪失對數學的興趣.這就是數學的抽象帶給廣大數學學子的一個致命性的困難.

但另一方面，數學的抽象正是數學所有的功能中最重要也最具美感的特性.從錯綜復雜的事物里面抽象出與問題相關的本質的特性，找到解決問題的途徑，這正是數學的巨大功能和魅力所在.所以為數學的抽象正名，講清數學為什么會這樣抽象就十分重要.《數學之旅》這門課，試圖通過一些具體實例，讓學生在自己手上形成一些抽象的概念，同時從一些簡單的、有趣的事例，通過數學抽象，找到一般性的數學定理，從而得到非常令人興奮的應用，讓學生感受數學抽象所表現人類心智的榮耀和解決問題時所展現的威力.

所以，這門課程設計是對受眾展示數學抽象的魅力所在，同時在不知不覺中讓受眾了解一些學習數學抽象的思想和方法，知道“數學的游戲規則”，從害怕數學到有點喜歡數學，并且可以一定程度上駕馭數學，學會用數學思維的方式解決問題.

有了一個明確的目標之后，為了達到目的，需要采用一些親和的講法，設計一些故事場景，吸引學生.同時，故事引入的數學思想也應該是深刻而有用的.講故事的方法有很多種，比如從時間軸入手，從過去講到現在，再到未來，這樣的敘事方式，在講述數學歷史或者某些研究的發展史時非常有效.比如在講“微積分的發展”這一節中，采用了沿時間敘事手法，從圓的面積開始談起，之后開始談到歐多克索斯的“窮竭法”，劉徽的“割圓術”，阿基米德對窮竭法的深入，再開始引入了卡瓦列里的“不可分量原理”，笛卡爾的圓法”，沃利斯的“無窮算數”，介紹了一系列的一般的積分問題，帶領大家看前人從不同的方向想微積分的大門靠近，之后英雄的序曲響起——引出了最重要的牛頓的“流數術”和萊布尼茲的微積分，介紹了牛頓和萊布尼茲殊途同歸的工作，從而得到了牛頓—萊布尼茲公式.在這之后，繼續講故事”——介紹了伯努利兄弟、歐拉、柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯等人對于分析的嚴格化所作出的工作，再進一步地，延伸到了康托爾和勒貝格，又引出了勒貝格積分.通過這樣的對歷史人物小故事的串聯，一步一步引導大家看完了微積分發展路程上的風景.但更多的場景不是沿時間展開，下面介紹一下有典型性的3個“旅程”，這些“旅程”的故事有的應該是大眾熟悉的，但講述故事的角度和得到的啟示未必是熟悉的.

（1）七橋問題.首先，重溫一下“七橋問題”.這是講述數學抽象的絕好案例.18世紀初在普魯士的哥尼斯堡城有7座橋跨在普列格爾河上，它們將河中兩島和兩岸相互連接.當地居民熱衷于一個難題：是否存在一條路線，可以不重復地走遍7座橋.利用普通數學知識，每座橋平均走一次，那么7座橋走法有5 040種，而這么多的情況，要一一試驗，這將會是很大的工作量.

在1735年，有幾名大學生寫信給當時正在俄羅斯彼得斯堡科學院任職的天才數學家歐拉，請他幫忙解決這一問題.歐拉在親自觀察了哥尼斯堡七橋之后，認真思考走法，但是始終沒能成功，最后他證明了七橋問題無解，并且得到和證明了一個更為廣泛的“歐拉定理”，在解答問題的同時，也開創了一個數學的新分支——圖論和拓撲學.

七橋問題的本質在哪里呢？應該如何抽象出來呢？這個問題相信許多人親自去試驗過，在問題思考過程中就會發現，橋有多長，橋是石頭的還是木頭的，這些和問題都沒有關系，都不是研究者需要的屬性.而這個問題最關鍵的要害在哪里？需要的本質屬性是什么呢？歐拉就完美地運用了數學的抽象解決了這個問題.首先，他把每一個島都變成了一個點，還“大逆不道”地把一大片岸也變成了一個點，而把橋在變成了兩點之間的連線時，為了區別兩座橋，把本身是直的橋用一條彎曲的曲線代替.為什么可以這樣呢？關鍵是考慮七橋問題時，關鍵的屬性是點和線的連接，點或者是“一大片岸”，直線或者曲線對問題沒有任何影響！這個問題的要害就在于不能產生新的連接和斷開.將這些不需要的屬性丟掉，看到問題的本質屬性之后，就可以看到問題化為了一個所謂的“一筆畫的問題”，然后就可以用數學方法去解決它.細細品味這其中的訣竅，就可以體會到抽象出問題的本質屬性是解決問題的關鍵所在.

（2）距離與空間.第二個故事是關于“距離與空間”，這個旅程的設計是帶受眾進行一次抽象的親歷體驗.先看“距離”，這是非常熟悉的一個概念.在三維空間中一說到距離，首先想到的就是兩點連接直線的長度.但是在生活中，有時候距離的概念不那么簡單.比如在海上航行，海上要講距離，就不應該畫直線，而應該畫大圓來求距離.不僅兩個點之間的距離定義不簡單，還有許多別的事物之間的距離，比如兩個函數之間的距離，甚至更加玄妙地提到兩個人心與心之間的距離等，那么這樣的距離又應該怎么來定義呢？

當把任何事物都看成兩個點（或者說兩個元素）的時候，就會考慮，有沒有一個通用的距離，可以忽略具體的對象.這時關鍵的屬性是什么呢？也就是說，不具體指明它是什么，而是指明這一對象具有什么樣的關鍵屬性！舉個例子，比如蘋果和水果.在《現代漢語詞典》中：“蘋果，指的是落葉喬木，葉子橢圓形，花白色帶有紅暈，果實圓形，味甜或略酸，這是蘋果.”但是水果它就不能夠這樣具指了，因為水果太多了，梨是黃的，蘋果是紅的，那么怎么來描繪它？用它的屬性，將它抽象出來——“可以吃的，水分較多的植物果實的統稱”，這是水果的定義，為了更清楚可以再舉例子，例如蘋果、梨、桃.所以當不具指的時候，需要抓住的是它本身的屬性.

那么距離最重要的屬性是什么？可以想到，需要滿足大于等于零的正性，需要有對稱性，并且需要滿足三角不等式.在得到了這些抽象出來的必要屬性之后，就可以得到一個抽象的距離的定義了.即給定一個集合，再對集合的每兩個元素，規定一個實數與之對應，并且滿足正性、對稱性和三角不等式.則這樣的規則規定的實數，就稱之為距離.

在得到抽象的距離的定義之后，就可以再定義范數——強化”了的距離，以及內積、拓撲等，而通過這些，又可以和現實空間比較，發現還有一個結構也是十分重要的——維數！而維數的本質就是線性結構.進一步地，就可以引出拓撲空間、度量空間、賦范空間和內積空間，再引出到巴拿赫空間和希爾伯特空間等.

（3）不動點原理.這是一次從抽象到應用的旅程.從攪動咖啡這一日常生活行為中生發，開篇先提出問題：“在攪拌一杯咖啡過程中，是否有一個不動點呢？”接著將一根繩子來回折疊后還放回原來的位置，是否有不動點呢？從這里引出了一維不動點定理，再將其拓展到高維，最后到了無窮維的不動點定理.這是“由小及大”的故事展開辦法，通過身邊的小事生發出問題，容易引發受眾的思考.隨后推出了數學上深刻的布勞威爾不動點定理，也更易于讓受眾理解和接受.最后，再次講述不動點定理在數學、生活和其它學科中的應用，如在經濟學中的應用等，可以用于價格均衡體系中，并且該方向的研究學者——美籍法裔的經濟學家G. Debreu因使用數學解析的辦法解決這一問題而獲得了1983年的諾貝爾經濟學獎.而他的數學定理本質上和布勞威爾不動點定理是一致的.“攪動咖啡”和“諾貝爾經濟學獎”之間，存在實實在在的數學聯系，這是容易讓人興奮和記憶深刻的.而從中表現數學抽象的魅力就會潛移默化地影響受眾了.

事實上，身邊的趣味問題很多，在提出之后也更容易讓大家踴躍思考，比如可以通過思考“天氣預報為什么不準？”而引出混沌現象，通過“海岸線到底有多長？”引出分形，等等.

3　MOOC課程的體會

MOOC的課程的制作其實很多時候都像拍攝微電影.它的難點在于：首先，在制作上沒有真實的學生，講課者只是面對鏡頭在講，缺乏了課堂的真實感.其次，MOOC的課程會分多次拍攝，有時候由于場地時間等原因，課程并不會按照邏輯和計劃的課程順序一節節進行拍攝，而有可能會跳躍性或是顛倒地拍攝，連續的兩次拍攝之間可能沒有很強的邏輯聯系，這就要求講課者的思維極快地轉換并進入下一節課的思維狀態中，這對于大腦來說也是高強度的工作.與此同時，課程的拍攝往往時間較緊，一節課結束，馬上開始拍攝下一節課，往往整個課程會在三五天內全部拍攝完，這本身也是高強度的連續工作，對于精力的集中也要求頗高.最后，為了保證課程的質量，還要求講課者本人要對課程的講授內容有很好的駕馭能力，在講課時需要有自己的狀態.

在拍攝前期和拍攝過程中，講課者和團隊需要做大量的工作.以研究者為例，在講課前，首先自己再次觀看了之前所拍攝的一些視頻課程，讓自己對課程再一次熟悉，同時也再次做好面對鏡頭的準備.在拍攝之前，研究者需要和團隊人員討論拍攝方案，包括拍攝地點，拍攝細節，展現的內容等，不同的課程可能需要在不同的地點進行拍攝，如講解不動點定理一節，由于采用了從攪動咖啡生發出問題的方式進行講解，故該節的拍攝就在咖啡館進行；而在講解混沌現象一節中，則牽涉到天氣問題，從而在草地上進行拍攝；與此同時，還在圖書館、辦公室等進行過拍攝，當然，在攝影棚中的拍攝也是必不可少的.這些拍攝的設計、內容等，都在拍攝前需要做好詳細的腳本.在實施拍攝的過程中，需要有內行在旁邊旁聽，以免講解中出現一些口誤或者紕漏等.詳細的腳本可以幫助主講人在兩次拍攝之間的準備時間里，再次熟悉下一節課的內容，調整思維等.

在拍攝完成之后，后期的制作也同樣有大量工作.在視頻剪接等完成后，還需要多次反復觀看和檢查課程視頻，以免出現講課過程中由于疏忽而導致的錯誤、口誤等，對課件也需要反復檢查和修改，并且按照統一的格式要求進行修訂.同時還需要制作高質量和合理數量的習題.在這些工作完成之后，需要進行上線測試，在測試過程中需要有人實時監測，一旦發現問題則馬上進行修改，包括重新制作課件、重新上傳課件、習題甚至重新拍攝等.在測試完成后，課程才可以正式上線運行.

在運行過程中，同樣需要有人進行實時監測，并且擔任助教，在網上回答課程學習者的問題和批改作業等，并發布信息.以《數學之旅》在Coursera平臺上線為例，學生是通過觀看教學視頻、參閱參考書籍進行自學，第一周高峰時段看視頻人數最多，達到9 352人，然后呈現急速下降趨勢，到第三周之后人數趨于平穩.課程學習者完成每周平臺推送的測試題.其中每周的測試題分為客觀題和思考題兩部分.客觀題為15道選擇題，由Coursera平臺自動評分；思考題有4道，評分采用學習者互評方式（Peer assessments）設計.學習者先在規定時間內提交作業，作業提交完成后助教公布思考題參考答案和作業評價標準，由學習者按照互評標準為其他學習者（最少5名）的作業進行評分.這種互評方式的設計是有助于學習者之間進行互相學習，實現思維碰撞.另外，討論區的互動，也是MOOC課程學習的一個重要方式.討論區分成綜合討論區、課程討論區、作業討論區、技術問題區等板塊，話題涉及課程學習內容的交流，疑難問題的探討，學習方法的分享，學習者參與的動機，對課程改進的意見建議等.主講教師和助教也參與了討論區的建設和問題的解答.學習者通過論壇積極交流學習經驗和體會，鞏固所學知識.最后的期末考試由40道客觀題構成，學習者可以自由查閱視頻和參考資料，在規定時間前提交答案.由Coursera平臺根據平時測試成績（占60%）和期末考試成績（占40%）計算總成績，以決定學習者是否能夠完成學業.在這各個教學環節中，教師和助教要作為組織者、參與者，十分緊張地守望著Coursera平臺，按規定時間推出通知、習題、答案，回答網上提問，其中辛苦和興奮是一言難盡的.

[1]MOOCs的挑戰與大學的未來——訪教育部科技發展中心主任李志民[N].中國教育報，2013-9-23（3）.

[2]周遠清.數學文化課程與大學素質教育[J].數學教育學報，2014，23（6）：1-3.

[3]侯自新.將數學文化融入學校文化[J].數學教育學報，2014，23（6）：11-13.

[3]顧沛.為什么數學文化類課程能夠“一呼而起久盛不衰”——在第三屆數學文化課程建設會議閉幕式上的小結[J].數學教育學報，2014，23（6）：17-19.

[4]鄭隆炘，巴英.論齊民友的數學觀與數學教育觀[J].數學教育學報，2014，23（4）：7-12.

[5]張奠宙.中國數學教育拒絕實用主義——從徐光啟、傅種孫到姜伯駒[J].教育科學研究，2014，（12）：5-9.

[6]張奠宙，梁紹君，金家梁.數學文化的一些新視角[J].數學教育學報，2003，12（1）：37-40.

Practice and Experience of MOOC “The Journey of Mathematics”

WANG Wei-ke

(Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

In this paper, we talk about the practice and experience on the design and application of MOOC “The journey of mathematics”. Since the MOOC is weakly utilitarian, it’s a challenge to math teachers how to attract students without loss of depth of mathematics. We choose three typical cases on how to tell a good story around the topic “abstractness” to show the charm and power of mathematical abstractness. Meanwhile, we also introduce our thinking about how to design the course to improve the mathematical abilities of students and other audiences. Finally, we talk about our experience on how to handle the new characteristics of MOOC and some skills of taking the course and putting it online.

Massive Open Online Course; mathematical abstractness; Topology; distance and space; Brouwer’s Fixed Point Theorem

G420

A

1004–9894（2015）06–0047–04

[責任編校：周學智]

2015–09–12

國家自然科學基金重點項目——多物理過程耦合的流體動力學方程（11231006）

王維克（1954—），男，湖北武漢人，教授，博士生導師，主要從事偏微分方程研究．