以數學寫作為例談開放題教學評價

【摘要】開放題的數學寫作能挖掘學生的內在思維，這是傳統的紙筆評價不易做到的。在寫作中，學生需經過一系列的回顧、探索、省思與整合過程，并學習把自己的思維過程以文字、符號、圖表等方式記錄下來，這些將有助于教師讀懂學生并將其作為調整教學的依據。

【關鍵詞】開放題；數學寫作；思維；評價

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）05-0017-02

【作者簡介】何鳳珠，臺灣臺南市鹽水小學（臺灣臺南，73746），曾獲臺灣師鐸獎，2011年臺灣教學卓越金質獎。

何謂“數學寫作”？簡單地說，就是以“寫作的活動”來帶動數學的學習，它是一種主動的學習過程。學生也往往在寫作的時候才發現自己在想什么，學到了什么，什么是重要的。所以，教師可以用寫作來輔助他們進行數學教學，讓學生在數學記錄本上解釋、省思、回顧、組織或聯結相關的數學知識與經驗，以幫助學生創塑具有數學意義的活動，這種活動稱為“數學寫作活動”。數學寫作可以為學生提供回顧、省思和整合所學知識的機會，促進他們理解數學概念；也可以作為教師與學生溝通的平臺，促進教師優化他們的教學。數學寫作的類型有數學日志、解釋錯誤的寫作、創作性的寫作、開放題寫作等。我在課堂上常以開放題寫作來輔助教學，下面以一個案例來與大家進行分享：

【環節一】出示問題1：就長方形來說，周長增加，面積就會跟著增加嗎？你是怎么想的？請用大家能理解的方式來說明你對這個問題的看法，圖文不拘！

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生1：我用假設法，把長與寬都增加2cm，周長增加了，面積也增加了。（如圖1）

生2：會增加，因為周長是邊長的總和，所以周長增加就等于邊長加長，當然面積也增加了。

師：看來你們都認為周長增加，面積也會增加，且都舉了例子來說明，能不能找出一個反例呢？

生3：我找到反例了，若將原長方形的寬3cm、長4cm，改為寬1cm、長7cm，那么周長增加了，但面積變小了。

生4：也可能周長增加，面積不變。（如圖2）

一個開放題可以看到很多學生不同的思維，大多數學生直接將長和寬同時“加長”或“加倍”處理，只有少數學生去思考“什么是周長增加”。周長增加有哪些可能？可以是長和寬都加長，也可以是長加長、寬縮短，或長縮短、寬加長，思維是否縝密由此細微處可見一斑。教師適時地追問學生能否找到反例，再次引導學生進行深入的思考，以探究所有的可能性。

【環節二】有了前面的寫作后，接著出示相似的兩道題，讓學生進行再思考。問題2：請你舉出周長一樣，但面積不一樣的兩個長方形。問題3：請你舉出面積一樣，但周長不一樣的兩個長方形。

師：怎樣才能畫出周長一樣，但面積不一樣的長方形呢？

生1：可以先設定周長，再將其分解成不同的長與寬，即能形成面積不一樣的長方形。要畫出面積一樣但周長不一樣的長方形，也可以使用同樣的方法。（如圖3）

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生3：我將周長分半，拆成兩個不一樣的數來繪制長方形……

師：觀察你畫出的各種長方形，其面積的變化與周長的變化有何關系？

生5：我各舉了三個例子，發現面積愈大，周長不一定愈長；反之，周長愈長，面積也不一定愈大。

生7：我發現周長一樣時，面積愈大就愈接近正方形，也就是長和寬的長度很接近。

生6：我發現周長一樣時，面積愈小長方形就愈細，即長多寬少。（如圖4）

要學生依條件畫出指定的長方形，難度不大。但聚焦“面積的變化與周長的變化之間的關系”就有分歧了，有的只關注如何畫出指定的長方形，有的則關注畫出的長方形有什么變化，只有少數學生與問題1進行聯結，發現周長的變化與面積的變化之間的關系不唯一。

【環節三】最后再出示一道題，讓學生在認知沖突中進行歸納及反思，并檢視問題1，重新修正想法。問題4：教師給定一個長方形，請畫出3個長方形，其周長要比教師給定的長方形的周長長，面積卻比它的小，看看你有何發現。

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生6：當長方形呈長條時，周長可以達到十分大，面積卻比原來的小。（如圖5）

師：和你先前對問題1的預設有沒有不同呢？

生6：我原先只考慮到長和寬同時增加，沒有注意到當長和寬差距大形成細長狀時，面積就可能相對減少。

生4：我覺得周長不要增加太多，否則面積就會縮小。

師：周長增加一點點，面積就會縮小嗎？

生4：不是這樣的，我是指要將寬度減一半，然后長度增加一些，面積就變小了，如由4cm×6cm變為2cm×9cm。

從前面的“周長變長，面積就變大”，到此題“周長變長，但面積卻要變小”，學生普遍專注于完成指定的任務，有一小部分學生未感知此題與問題1有矛盾之處，需通過追問及對話才能省悟。這讓我意識到，要埋設一道思維的導火線，果真不容易，若再重新設計問題單，我會留下一個空白處，讓學生有重新審視的機會，如：回頭想想問題1，你還會認為周長增加面積也增加嗎？你當初考慮時遺漏了什么呢？

我采用開放性問題單，鼓勵學生將自己的想法寫下來并畫圖來輔助說明，能清晰地觀察到學生解決問題的思路，并適時加以評價與指導。學生在這一過程中學會了整理自己的思路，并能有條理地呈現出來，讓別人看得懂。當然，這樣的學習歷程，需要教師等待和欣賞。只要學生愿意動筆寫，哪怕是寫得七零八落，都是值得鼓勵的。因為，他們只是孩子，一切尚在學習中。■