品出“數學味”，雕出“藝術品”

華應龍曾經說過：“課不潤人死不休！”在本節課中，華老師從引用比爾·蓋茨選擇“找次品”題目招聘員工開始了一場精彩的數學學習之旅。我有幸三次聆聽了華老師的《找次品》一課，每一次都帶來了很多的思考和美的享受。

師：比爾·蓋茨在招聘員工的時候出過一道題。

課件出示：假定你有81個乒乓球， 其中只有1個球比其他球稍重。如果只能利用沒有砝碼的天平，請問你最少要稱幾次才能保證找到較重的這個球？

師：請把你的想法寫在練習本上。

（學生思考并寫出要稱的次數，教師巡視并記錄學生的解題情況）

師：我看到很多同學都有自己的思考，誰來匯報一下？

生1：我覺得要稱81次。

生2：我覺得是80次。

師：還有不同的想法嗎？

（有的學生搖頭）

師：剛才我看到閆××同學寫的是1次，你們覺得他是怎么想的？

生3：我覺得他是湊巧了，1次就拿到了重球。

師：同學們都有自己的想法，比較剛才同學們的回答，對你理解題目有沒有什么幫助？你覺得題目中最重要的是什么？

生4：我覺得題目中的“最少要稱幾次才能保證找到”最重要。

師：剛才有同學說的1次就能找到是不是最少？

生齊答：是。

師：但是能不能保證？

生齊答：不能。

師：不過考慮稱1次的同學也很厲害，要最少不就是1次嗎？但要考慮保證的話，必須從……

生5：從最壞的角度去想。

師：對，從運氣最不好的情況去想，那剛才覺得是81次和80次的同學，他們的考慮是不是可說從運氣最不好的情況下考慮的？

（學生點頭示意同意）

師：所以，我覺得大家想的都挺好。通過剛才的分析，這道題真是值得我們好好研究。

反思

在解決問題之前，首先要“弄清問題”，也就是審題。華老師在處理審題時顛覆了以往的順序，先是尊重學生的已有認知經驗，讀題后嘗試解決，然后交流大家的想法，發現同學們的想法不一致，再回過頭來看題目，用問題來幫助學生理解“最少”和“保證”。學生在互動交流的過程中，充分理解了問題是什么，體會“最不利原則”。這樣的審題方式真可謂另辟蹊徑！

另外，這樣的處理方式也充分體現了華老師的融錯思想。首先，容錯，錯是錯。利用學生生成的差錯——有稱81次的，有稱80次的，還有稱1次的——充分暴露學生在學習新知識前的認知起點。其次，“融”錯，錯不是錯。在華老師的引導下，學生充分暴露了他們的思維過程，分析差錯背后的真正原因。比如：1次就能找到的是運氣好，如果運氣不好還是1次嗎？這樣就不能保證1次找到重球。第三，“榮”錯，錯還是錯。在華老師的評價中有這樣的話：“考慮稱1次的同學也很厲害，要最少不就是1次嗎”“剛才覺得是81次和80次的同學，他們的考慮是不是可說從運氣最不好的情況下考慮的”，雖然學生錯了，但是華老師能從差錯中智慧地找到正確的地方，激勵學生的同時，也將教學活動引向了深入。

【賞析二】數學教學不僅僅是教知識，更應該關注數學的思想和方法

師：剛才發現有的同學沒有動筆寫答案，是不是覺得難？

（學生點頭認可）

師：你們覺得怎么辦？

生1：我覺得這道題可以簡化一下，第一句話就是假定你有81個乒乓球，我覺得81太多了，可以簡化成最簡單的，比如假定你有3個乒乓球需要稱幾次。

師：你們覺得這個回答怎么樣？

（學生鼓掌表示贊同）

師：太棒了！就像老子說的。

課件出示：天下難事，必作于易。——老子

師：那咱們就從簡單的開始，想從幾個開始？

生2： 3個。

師：還有再簡單的嗎？

生3： 2個。

師：行，2個里面有1個重球，怎么把它找出來？

生4：直接稱。

師：怎么直接稱？

生4：把2個球放在天平的兩端，離地面比較近的就是重球。

生5：就是2個球放在兩邊，一定有一邊下沉，下沉的就是重球。

師：“一定”用得真好！2個球里找1個重球，最少幾次就能保證找到？

生齊答：1次。

師：3個球中找1個重球，要找幾次？

生6：應該是兩次。先拿出1個球，再把另外2個球放上去，如果2個球平衡了，剩下1個沒有放的球了，然后呢，如果不平衡了（自己感覺說得不對，看到有人舉手，就請生7發言）……

生7：我覺得不應該是兩次，一次就行了。像他說的那樣先拿出2個，如果平衡了，那么剩下的那個就不用稱了，一定是重球，所以就不用再比了，只比一次就行了。

（學生鼓掌表示同意）

師：我特別欣賞他說的一個詞——如果，那么。（板書：如果……那么）把兩個球放在左右兩邊的托盤上，如果平衡，那么——

學生齊答：剩下的那個就是重球。

師：如果不平衡呢？

學生齊答：那么下沉的就是重球。

師：請問幾次？

學生齊答：1次。

師：剛才有同學提出平衡的情況，然后，后面一個人補充了不平衡，不平衡重不重要？

學生齊答：重要。

師：那我們一會再說的時候，如果能把這兩種情況一起都說了，就表明你的思考很全面。誰能試一試？

生8：拿出1個球，稱另外的兩個球，如果天平平衡了，那么剩下的一個是重球；如果天平不平衡，下沉的那個是重球。

師：說得真清楚！從3個球中找1個重球至少需要稱幾次就能保證找到重球？

學生齊答：1次。

師：現在請看（在板書上標注出2個球要稱的“1次”，3個球要稱的“1次”），你有什么問題嗎？

生9：為什么還是1次？

師：是啊，多了1個球，為什么還是1次啊？

生10：我認為，第二次有3個球，稱的時候先拿出1個球，剩的2個球去稱，就又和第一次稱一樣了。

生11：我來為你補充，我發現第一次和第二次的方法不一樣，第一次就是直接看誰是重的誰是輕的，第二次就有思考了，用排除法，只有1個重球，平衡了，剩下的就是重球，所以是通過思考來判斷只有一次的。

（學生鼓掌表示贊許）

師：太棒了！雖然多了一個球，但是稱的時候仍然稱兩個，第三個球不用稱了，我們可以思考，可以推斷出來哪個是重球。那我們想想，這第三個球是不是相當于放在了第三個盤子里面了。（課件出示用虛線畫的托盤）天平有兩個盤子，我們都能看到，如果能看到第三個盤子就是高手！

反思

華羅庚先生曾經說過：“學習數學就要勇敢地退，退到最原始而又不失去重要性的地方，這是學習數學的好方法。”這么好的學習方法怎樣才能讓學生感受深刻？是老師直接給出簡單數據嗎？在課堂上，學生遇到復雜的問題后，華老師并沒有直接告知怎樣解決，而是引導學生把復雜的問題簡單化，在簡單的數據中進行研究，探索出方法后再去解決復雜問題，加上老子的“天下難事，必作于易”，錦上添花。所以，數學教學不僅僅是知識方面的教學，更應該關注數學的思想和方法。

解答“找次品”這道題很難，理解解決“找次品”的方法更難！難在哪里？是不是難在了為什么要“一分為三”？為什么要“盡量平均”？我們看到的天平只有兩個托盤，學生自然就會想到“一分為二”，而“一分為三”的方法需要學生的推理和想象。在華老師的課堂上，先是通過對“2個球中找重球”和“3個球中找重球”的結果進行比較，引導學生關注托盤外的部分，再借助直觀而又“虛擬”的“第三個盤子”，來幫助學生理解“一分為三”的方法，并鼓勵學生“能看到第三個盤子的就是高手”。這樣，在比較、推理和想象的過程中初步理解了“一分為三”的方法。

【賞析三】“解決問題”不僅要關注解決問題的結果，更要關注解決問題的過程

師：8個球中找1個重球，怎么把它找出來？

生1：我覺得需要稱三次，先把8個球平均分成2份，左邊4個，右邊4個，看哪邊是重的，然后把這4個再平均分成2份，就變成左邊2個，右邊也2個了，然后再取重的2個，再稱1次就稱出來了。

師：這樣稱行嗎？

個別學生齊答：行。

師：剛才他說“然后”“然后”，開始是4個、4個稱，接下來就是從4個里去找重球，所以，我想和大家分享這句話（板書：“接下來……里找”）接下來是從幾個里找，接來下是從4個里找，接下來是從2個里找。現在看，這樣稱要稱幾次？

生齊答：3次。

師：還有不同的想法嗎？

生2：我覺得稱2次就夠了，先把8個球分成三份，兩個3和一個2，先把兩個3稱一下，第一種可能就是1個3是重的，接下來就從這3個球里找重球，也就是用上面的方法了。

師：上面已經說過了3個球里找重球，我們就不需要再說了，一共需要稱幾次？

生2： 一共兩次。第二種可能性就是兩個3平衡了，那重球就應在剩下的2個球中，接下來就從2個球中找就行了。

師：8個球中要找1個重球最少幾次保證找到？

學生齊答：兩次。

師：怎么分的？

學生齊答：“332”。

師：感謝生2給我們帶來的啟示！我有個疑問，你怎么想到要把8個球分成“332”的？

生2：因為我已經知道了分成三份是比較好的方法，雖然8不能被3整除，但余下來的2也能一次稱完，所以我就這樣想到了。

生3：我們剛才學過了在3個球里找，也學了在2個球里找，所以就把8個分成兩個3和一個2，這樣就好辦了。

師：真好！兩位同學互相補充，珠聯璧合！分成“332”的時候，既考慮到我們之前說的天平有兩個盤子，但是實際上還有第三個盤子，第三個盤子雖然是虛擬的，但你能把它用上就很高明，掌聲送給他們。

（學生鼓掌）

師：8個球我們會找了，如果是9個球怎么找？自己思考，可以在腦子里想，也可以在紙上畫圖想。

（學生獨立思考，然后小組交流）

師：誰來說9個球中找1個重球怎么找？

生4：我認為應該找兩次，先把9個球分成三份，每份3個球，先拿出兩份稱，如果平衡了，說明重球就在剩下的3個球里，接下來就從3個球里找；如果不平衡，重球就在下沉的里面了，再從這3個里面找就行了。

師：在3個里找，還用不用說了？

生齊答：不用。

師：對，這個思維非常好！前面解決過的問題現在就可以直接用它。在9個球中找1個重球至少要找幾次就能保證找到？

生齊答：兩次。

反思

“解決問題”不僅要關注結果，更要關注過程。在上述片段中，生2想到了把8個球分成“332”這樣的三份，是很多學生想不到的方法，在生2匯報后，華老師并沒有只關注他的分法，而是追問學生：“你是怎么想到要把8個球分成‘332’的？” 學生是借助“解決3個球中找重球的方法”想到的“一分為三”，這樣就給其他學生指引了思考的方向——我們可以借助之前的學習經驗來解決新問題，這不就是“學以致用”嗎！

另外，華老師能根據學生回答8個球中找1個重球問題時出現的“然后”“然后”，引導學生發現把8個球分成兩個4，然后把4個球分成兩個2，然后把2個球分成兩個1，可以簡單地用“接下來在4個球里找1個重球”“接下來可以在2個球里找1個重球”，雖然在此環節數學的簡潔美體現得不夠，但在解決球數更多的問題時，就會幫助學生很好地體會數學的簡潔了，這是不是也體現“學以致用”？另外，用“接下來……里找”這句話來描述，也能很好地滲透解決這些問題方法之間的聯系，比如，81個球可以分成“27、27、27”，27個球可以分成“9、9、9”，9個球可以分成“3、3、3”，3個球可以分成“1、1、1”，這樣就能很好體現解決問題的過程，有利于學生總結概括出解決“找次品”這一類問題的方法。