福建省2015年三角函數解法探究

吳明庭

（福建石獅石光中學）

三角函數歷來都是高中數學的重要組成部分，是高考中的重點和難點，同時也是必考內容，三角函數在考試中的比重和分值較大。函數的求值問題實質就是三角轉換的基礎內容，通常包括三種類型：非特殊三角函數式求值、解三角形求值以及位置角的三角函數式求值。對于這類問題的解答，需要熟練掌握三角函數的基本公式以及變換形式，與此同時，還會運用到相應的技巧與方法，才可以簡潔、迅速又準確地對式子化簡求值。2015 年福建省高考試卷中就包含典型的三角函數試題，本文摘取了其中的試題，通過這幾道題的解法，來探究和感悟三角函數的求值方法。

一、考試原題：2015 年高考福建卷理科第II 卷，第19 題

已知函數f（x）的圖像是由函數g（x）=cosx 的圖像經如下變換得到：先將g（x）圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2 倍（橫坐標不變），再將所得到的圖像向右平移個單位長度.

（Ⅰ）求函數f（x）的解析式，并求其圖像的對稱軸方程；

（Ⅱ）已知關于x 的方程f（x）+g（x）=m 在［0，2p）內有兩個不同的解a，b.

（1）求實數m 的取值范圍。

（一）點評

此題主要通過考查學生對三角函數中圖像與性質、三角恒等式轉換等基礎知識，重點測試了學生綜合解題能力，包括運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力等多種能力，同時還考查了學生函數與方程思想、分類與整體思想、轉化與規劃思想、數形結合運用能力等多種綜合學習能力及思想。

（二）試題解析

（Ⅰ）縱向伸縮或平移：g（x）→kg（x）或g（x）→g（x）+k；

橫向伸縮或平移：g（x）→g（ωx）（縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍），g（x）→g（x+a）（a＞0 時，向左平移a 個單位；a＜0 時，向右平移a 個單位）；

解法一：

（Ⅰ）將g（x）=cosx 圖像上所有點y 軸坐標伸長到原來的2倍，x 軸坐標不變；

于是，得到y=2cosx 圖像，然后將y=2cosx 的圖像向右平移個單位長度；

（1）（fx）+g（x）=2sinx+cosx

解法二：

（1）參照解法一

（2）①參照解法一

所以cos（a+j）=-cos（b+j）

于是：

此方法重點考查的是三角函數圖象性質及其變化公式，同時考查了輔助角公式以及誘導公式。通過證明對比，不難看出，福建高考數學試題具有明顯的開放性，問題的答案也不是唯一的，解答此題需要具備統籌思想，將想象、聯想、分析、類比、整合以及推理有效地應用到解題過程匯總，以此鍛煉學生的思維探究能力，因此具有很高的價值，值得以后模擬訓練及探究性學習。

二、考試原題：2015 年高考福建卷文科第I 卷，第21 題

（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；

（1）求函數g（x）的解析式；

（2）證明：存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得g（x0）＞0.

（一）點評

想要證明存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得g（x0）＞0，可解不等式g（x0）＞0，只需解集的長度＞1，此時解集中一定含有整數，由周期性可得，一定存在無窮多個、且互不相同的正整數x0.

（二）試題解析

所以g（x）=10sinx-8.

三角函數主要考查的是三角函數的單調性、周期性、奇偶性以及最值問題，同時還結合三角函數的圖像、三角恒等變換、函數模型的應用、正余弦定理及其應用以及平面向量及其應用。結合以上考試中的常見問題，可以回顧以往高考試卷中關于三角函數的相關試題。

三、問題回顧

例1.若x 是三角形的最小內角，則函數y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是 （ ）

分析：三角函數的最值問題是三角函數常見的考查內容之一，主要是利用正余弦定理的有界性，通過換元或是其他方法的三角恒等變換來轉化問題。本題中三角形的最小內角是不大于的，而（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，可通過換元解決.

點評：涉及sinx±cosx 與sinxcosx 的問題時，通常用換元解決.

（1）求實數a，b 的值；（2）求函數f（x）的最大值及取得最大值時x 的值.

分析：利用待定系數求a，b，可以利用倍角公式和降冪公式進行問題的轉化.

解析：函數f（x）可化為f（x）=asin2x+bcos2x+b.

綜上所述，三角函數問題是高考中的常見問題，在解題過程中會運用多種相關知識，這些問題綜合性強，方法靈活多樣，并且問題本身并不是割裂和獨立的，而是相互聯系和依存的，通過不同的解題方法，動態地、辯證地看待解決問題，充分利用和調動相關知識，在熟練掌握公式的基礎上，融入一些數學思想，輔以一些解題技巧，運用綜合分析，嘗試從多角度解答問題，拓展思路，發散思維，不斷積累經驗，關鍵時刻問題就能迎刃而解。由此可見，對2015 年福建省高考試卷中的三角函數進行剖析和探究，可以集思廣益、舉一反三，觸類旁通，同時引導學生加強合作交流，積極探索并分享經驗，可以提高學生的學習效率，為以后的學習和考試打下堅實的基礎。