例談合情推理和演繹推理的關系

王 芳

（河北省秦皇島市第十中學）

《義務教育數學課程標準》指出：通過義務教育階段的數學學習，學生能“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰的表達自己的想法。”那么，推理包括哪幾種形式？它們又有什么樣的聯系？

推理是數學的基本思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成；合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論。現舉兩個例子說明一下。

例1.（八年級下冊16.1 二次根式）探究：根據算術平方根的意義填空：

說明：這段教學過程的設計，就是通過學生的自主學習活動，引導學生通過計算、歸納、類比等活動發現規律，猜測結論。這個過程就是一段發展學生合情推理能力的過程。隨著學習的深入，還應該通過實例使學生逐步意識到，結論的正確性需要演繹推理的確認。

例2.命題證明：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等。

說明：通過探索和了解此結論的證明，幫助學生體驗發現結論到驗證結論的過程。

教學中可以參考安排如下的過程：

（1）發現結論。在透明紙上畫出如圖1：設PA，PB 是⊙O 的兩條切線，A，B 是切點。讓學生操作：沿直線OP 將圖形對折，啟發學生交流。學生可以發現：PA=PB，∠APO=∠BPO。

圖1

圖2

說明：這是通過實例發現圖形性質的過程，啟發學生由特殊到一般，通過合情推理推測出切線長定理的結論。

（2）證明結論的正確性。如圖2，連接OA 和OB。因為PA 和PB 是⊙O 的切線，所以∠PAO=∠PBO=90°，即△POA 和△POB 均為直角三角形。又因為OA=OB 和OP=OP，所以△POA 和△POB全等。于是有PA=PB，∠APO=∠BPO。

這是通過演繹推理證明圖形性質的過程。由此可見，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，都是研究圖形性質的有效工具。

說明：證明命題時，應要求證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理。此外，還可以恰當地引導學生探索證明同一命題的不同思路和方法，進行比較和討論，發展學生思維的廣闊性和靈活性。

通過觀察、歸納、推斷得到數學猜想，體驗數學充滿探索性和創造性，得出有理數加法法則并運用法則進行計算，訓練學生獨立分析問題的能力及口頭表達能力。

教學過程可以這樣設計：

運用法則計算，進行演繹推理。

計算：（1）（+4）+（+6）=+（4+6）=+10

（2）（+15）+（-17）=-（17-15）=-2

（3）（-39）+（-21）=-（39+21）=-60

（4）（-6）+0=-6

說明：本教學過程中，前面是通過學生的實際經驗，憑借自己的經驗，歸納得出加法法則。這就是合情推理的過程。后面做每一道題目時，都讓學生經歷觀察、判斷、運用法則的過程，使學生在計算時總是從確定的法則出發進行演繹推理。

總之，推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。推理能力的形成和提高是一個長期的、循序漸進的過程，義務教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調推理的形式。