配方法在初中數學解題中的應用

任秀娟

（陜西師范大學成州中學）

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和的形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用得最多的是配成完全平方式：a2±2ab+b2=（a±b）2。配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用非常廣泛，在分解因式、求二次函數的最值、化簡求值、判定幾何圖形的形狀、證明等式、比較大小、推導一元二次方程的求根公式等方面都經常用到它，下面我來例談“配方法”在初中數學解題中的應用。

一、應用于分解因式

例1.分解因式x4＋4

解：原式=x4＋4x2＋4-4x2＝（x2＋2）2-（2x）2=（x2＋2x＋2）（x2-2x＋2）

例2.分解因式a2-4ab＋3b2-2bc-c2

解：原式=（a2-4ab＋4b2）-（b2+2bc＋c2）＝（a-2b）2-（b＋c）2＝（a-b＋c）（a-3b-c）

二、應用于求二次函數的最值

例3.已知x 是實數，求y＝x2-4x+5 的最小值。

解：由配方得y＝x2-4x＋4-4＋5=（x-2）2＋1

∵x 是實數，∴（x-2）2≥0，當x-2=0

即當x=2 時，y 最小，y最小=1

三、應用于化簡求值

分析：本題若把x，y 直接代入，較為復雜，但用配方法將代數式適當變形，則可簡化運算。

四、應用于判定幾何圖形的形狀

例5. 已知：a、b、c 是△ABC 的三邊，且滿足a2＋b2＋c2-ab-bcca＝0，判定△ABC 是正三角形。

證明：由已知等式兩邊乘以2，得2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0，拆項、配方，得（a2-2ab＋b2）＋（b2-2bc＋c2）＋（c2-2ca＋a2）＝0，

（a-b）2＋（b-c）2+（c-a）2＝0.由實數的非負性，得：

a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a＝b，b＝c，c＝a，a=b=c.

故△ABC 是等邊三角形。

五、應用于證明等式

例6.已知：（p2+q2）s2-2q（p+r）s+q2+r2=0，求證：q2=pr。

分析：本題要將已知方程左邊拆開重組，進行配方變形，然后由非負數性質，便可找出其中奧妙。

證明：∵（p2+q2）s2-2q（p+r）s+q2+r2=0

∴p2s2+q2s2-2qps-2qrs+q2+r2=0

∴（ps-q）2+（qs-r）2=0

由非負數的性質，得ps-q=0 且qs-r=0，∴ps=q，qs=r

∴q2=pr

六、應用于比較大小

例7.若代數式M=10a2+b2-7a+8，N=a2+b2+5a+1，則M-N 的值（B）

A.一定是負數 B.一定是正數

C.一定不是負數 D.一定不是正數

分析：本題通過作差法拆項、配成完全平方，使差大于零來比較大小。

解：（作差法）M-N=10a2+b2-7a+8-（a2+b2+5a+1）

=10a2+b2-7a+8-a2-b2-5a-1

=9a2-12a+7=9a2-12a+4+3=（3a-2）2+3＞0，故選B。

七、應用于推導一元二次方程的求根公式

公式法是由配方法解一元二次方程的一般形式得來的：

用配方法解關于x 的方程ax2+bx+c=0（a≠0），

∵a≠0，∴a2≠0

當b2-4ac＜0 時，此方程無實數根。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），求根公式:

因為配方法在初中數學中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關系，討論不等關系的常用技巧，是挖掘題目中隱含條件的有力工具，所以一定要讓學生掌握這種方法。