利用導數巧解一類常見的三角函數問題

徐振宇 陳賢嬋 郭小瑞

（陜西師范大學數學與信息科學學院）

在三角函數的教學和練習中, 師生常常會碰到一類這樣的三角函數問題：

問題1：（2013 浙江鎮海中學階段性測試）已知3sinα+4cosα=5，求tanα。

師生通常是從三角方面的知識與方程方面的知識相結合出發進行求解，但有時對于像問題1、問題2 師生可以將三角方面的知識與導數求極值的知識相結合來巧妙解答。因為三角函數相關的知識學習是在必修內容中，而導數相關知識在選修內容中，在高中數學的教學過程中，很多學校老師往往是先進行必修內容的教學，再進行選修內容的教學。選修內容的有些知識與前面必修內容知識聯系密切。比如，導數與函數會放在高三復習時連接起來，但是因為高考對三角函數的考查一般很少與導數聯系起來，所以很多師生都會忽略導數與三角函數相結合起來解題。有時對于像問題1、2 這種類似的問題，將導數與三角函數結合起來能巧妙快速準確地解答題目。

作者先給出問題1 目前常見的四種解法。

圖1 思路1

圖2 思路2

解法1：

3sinα+4cosα=5，等式變形得3sinα=5-4cosα，兩邊平方得9sin2α=25-40cosα+16cos2α

得到關于cosα 的方程：25cos2α-40cosα+16=0，

解法2：

等式兩邊平方得到：

9sin2α+24sinαcosα+16cos2α=25

9sin2α+24sinαcosα+16cos2α=25（sin2α+cos2α）

圖3 思路3

圖4 思路4

解法3：

設4sinα-3cosα=x，兩式平方相加得到

解法4：

現在，重點介紹解法5：利用導數的有關知識來求解。

解法5：

設f（x）=3sinx+4cosx，

∴f（a）的最大值為5，最小值為-5，

圖5 思路5

作者在用解法5 給學生講解這類題時，效果是非常好的。因為在用前面的方法講解時，學生雖然入手很快，但是總在計算時出錯，得分率不是很高，但是教授了解法5 后，學生出錯的概率小了很多，除了個別求導求錯之外。將此法寫出來與大家分享，希望能給同仁以幫助與啟示。