整體思想與換元法

鄭 燕

（紹興市越城區孫端鎮中學）

數學是一門關注思想方法的學科，只有真正搞清數學思想，靈活運用數學的方法技巧，才能抓住數學的本質，從而把數學學好。數學的思想方法有許多，本文主要討論整體思想與換元法，并通過幾個例子來說明兩者的一致性，即為思想找方法，為方法尋思想。所謂整體思想就是從問題的整體性質出發，突出對問題整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意識地整體處理。換元法是指解數學題時把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來，或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。你可以先觀察算式，你可以發現這種要換元法的算式中總是有相同的式子，然后把他們用一個字母代替，算出答案，然后答案中如果有這個字母，就把式子帶進去，結果就算出來了。本文主要以初一數學知識為背景來講解整體思想及換元法。

一、在代數式化簡求值中的應用

例1：已知a+b=3，求2a2-3a+2b2-3b+4ab+1 的值

解：2a2-3a+2b2-3b+4ab+1=2（a+b）2-3（a+b）+1=18-9+1=10

注：要求的代數式中有兩個字母，我們無法對其一一求解，另外告訴我們的關于這兩個字母的條件是它們的和，所以我們不妨考慮，在被求式中湊出這兩個字母的和。于是我們很自然把a+b看作是一個整體來求解。

二、在因式分解中的應用

例2：因式分解（2x-1）2-2（2x-1）（x+1）+（x+1）2

解：令A=（2x-1），B=（x+1），求A2-2AB+B2=（A-B）2=［（2x-1）-（x+1）］2=（x-2）2

三、在解方程組中的應用

注：觀察這個方程組，都含有（3x-1）與（4y+3），所以可以把它們進行換元看做一個整體先求出，再來求x 與y。

四、在幾何中的應用

例4：如圖，一塊三邊形綠化園地，三角都做有半徑為R 的圓形噴水池，則這三個噴水池占去的綠化園地（陰影部分）的面積為（ ）

整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。而整體思想說通俗一點就是，當題目中的量無法各個擊破時，不妨一整塊一整塊地解決。在應用整體思想，用換元法解題時，要注意觀察有無很大一塊內容與形式上相同或一致，并且出現的次數較多。如果有，不妨就把這一塊看做一個整體，為了形式及視覺上的簡單，可以把相同的內容用一個簡單的字母去替換，這就是整體思想與換元法在本質上的一致性。

孫維剛.初中數學［M］.湖北大學出版社，2007-05.