一類含參不等式問題的解法探究

姚愛亮

（江蘇省鹽城市第一中學）

含參不等式“恒成立”與“有解”問題具有覆蓋知識點多、綜合性強、解法靈活等特點，對培養(yǎng)學生思維的靈活性、創(chuàng)造性有著獨到的作用，所以很受命題專家的青睞.解決這類問題主要通過轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值方法解決，然而確定一個含參函數(shù)的最值有時比較困難，即使分離參數(shù)可能會遇到更復雜的函數(shù)，能否予以回避？一般情況下的回答是：否！但筆者發(fā)現(xiàn)有一類問題可以借助于切線的特征使問題瞬間簡化、巧妙解決.

一、提出問題

二、問題探究

圖1

那么函數(shù)y=x（a2=1）的作用是什么？它對函數(shù)y=sinx 的意義到底是什么？實際上函數(shù)y=x 既是函數(shù)y=sinx 在原點處的切線，又是函數(shù)y=a2x 圖象在定義域恒在y=sinx 的上方的一種“臨界位置”（如果此時斜率a2再變小就不滿足y=a2x 的圖象在定義域里恒在y=sinx 的上方）.

結(jié)論：利用切線是函數(shù)局部圖象上（下）方的“臨界位置”這一特征可以解決一類含有參數(shù)的不等式問題，這一類問題的特征：

（1）已知含有參數(shù)的不等式“恒成立”與“有解”問題，求參數(shù)的取值范圍；

（2）確定含參函數(shù)的最值比較困難，分離參數(shù)遇到更復雜的函數(shù)；

（3）對不等式進行等價轉(zhuǎn)化，可以把兩邊變成關(guān)于變量的兩個函數(shù)，其中一邊是一次函數(shù).

三、解決問題

圖2

數(shù)學能力的提高歸根結(jié)底還是解題能力的提高. 解題活動一個重要的收獲是：如何從具體問題解決過程所反映的思路出發(fā)，將節(jié)點上的經(jīng)驗或感悟上升為一般的思想方法或一般的解題原則，使之能夠幫助我們解決一大類的問題，從而最終達到提升自身解題的能力.