突出教學方法，提升解題能力
——“配方法解一元二次方程”課堂教學實錄與點評

☉浙江省嵊州市剡城中學教育集團城關校區 許永江

☉浙江省嵊州市教育體育局教研室 蔡建鋒

突出教學方法，提升解題能力
——“配方法解一元二次方程”課堂教學實錄與點評

☉浙江省嵊州市剡城中學教育集團城關校區 許永江

☉浙江省嵊州市教育體育局教研室 蔡建鋒

這是一節嵊州市“高效課堂”主題教研活動的研究課，為了較好地體現活動的主題和新課程理念，筆者把重點放在正確理解和把握教學內容，關注數學知識的內在聯系，突出數學思想方法，以學定教，使學生的學與教師的教得到統一，追求課堂高效益.筆者對“配方法解一元二次方程”這節研究課進行了精心設計，整節課沿著對問題串的分析、思考和解決的過程為主線，通過問題1中的方程進行分析思考、歸納總結，起到承上啟下的作用；通過問題2，重點解決二次項系數是1的一元二次方程的配方，并引出配方法的概念；在問題2的基礎上積極引導學生思考問題3，“如何把二次項系數不是1的一元二次方程，轉化為二次項系數是1的一元二次方程”來解決；通過問題4，對上述問題的解決進行整理，總結歸納出配方法解一元二次方程的一般步驟.整節課使學生在愉悅的學習氣氛下，通過五個環節的教學，較自然地經歷了用配方法解一元二次方程的數學思想方法形成過程，突出了數學知識之間的內在聯系，使學生學到了分析問題和解決問題的一般數學思想方法，培養了學生對問題的觀察、分析和歸納總結的能力.

一、教學內容的理解與把握

“配方法解一元二次方程”是浙教版八年數學下冊第2章《一元二次方程》的內容，在七年級的學習中，學生已經學習了一元一次方程、二元一次方程組的解法和乘法公式，在前一章中，又學習了二次根式的有關內容，特別是完全平方公式和直接開平方法解一元二次方程的學習，學生有了一定的符號意識和配方基礎.因此以直接開平方法解一元二次方程的復習作為新知識的生長點，符合學生的認知規律和學習能力，也較自然地體現了特殊與一般的關系，配方法是一種解一元二次方程的通法.

（一）教學目標

知識技能目標：理解配方法的意義，會用配方法解數字系數的一元二次方程.

過程方法目標：通過探索配方法的過程，培養學生的觀察、歸納、概括能力，體會轉化的數學思想方法.

情感態度目標：在獨立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗數學的價值，增強學習數學的興趣.

（二）教學重點、難點

教學重點：用配方法解二次項系數為1的一元二次方程.

教學難點：把一元二次方程x2+px+q=0通過配方轉化為（x+m）2=n.

（三）教學理念的體現

數學課堂教學應體現數學教學的本質，有利于充分發揮每一個學生思維的積極性，通過問題設計，讓學生思考，討論、評判，讓學生自覺地與教師一起共同參與教學活動，這樣能使學生所學到的不僅是一些具體的方法，而且會學到分析問題和解決問題的一般數學思想方法.這樣不僅能啟迪學生的智慧，發展學生的潛能，更能讓學生終身受益.

二、高效課堂的本質是關注學生的發展

數學課堂教學應激發學生的興趣，調動學生的積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維，培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握靈活有效的數學學習方法，挖掘學生的潛能，充分發揮學生的個性，使學生在師生共同參與的教學活動中得到健康發展.

片段1：創設問題，承上啟下

問題1：什么類型的一元二次方程可以直接用開平方的方法來求解？

師：上節課我們已經學習了用直接開平方法解一元二次方程，請同學們自己寫出三個能用直接開平方法解的一元二次方程，同桌之間交換檢查交流，并說說這些方程的共同特征是什么.

生甲：x2=4；3x2-48=0；（x+1）2=2.

生乙：x2=25；2x2=4；（2x-1）2-48=0.

……

（同桌之間互相交換，對同桌所寫的方程進行評判，并對這些方程的共同特征進行思考、歸納）

師：你能說說這些方程共同具有的特征嗎？

生：方程的一邊是一個含有未知數的式子的完全平方，另一邊是一個非負常數，這樣的方程可以直接用開平方法來解.

師：正確！接下來請同學們填空，使下列等式成立，并思考在等式的左邊，常數項和一次項系數有什么關系.

（1）x2+12x+________=（x+6）2；

（2）x2-12x+________=（x-_______）2；

（3）x2+5x+________=（x+_______）2.

評析：通過對問題1的思考、分析和歸納，既復習了直接開平方解一元二次方程的相關知識和完全平方公式的應用，又為學習新知識——配方法解一元二次方程的引入做好了鋪墊，這樣的設計很自然地使直接開平方法與配方法的內在聯系得到了很好的體現.

片段2：探究新知，感悟方法

問題2：要使方程y2+16y=16的左邊成為關于x的完全平方式，方程兩邊所添加的常數與這個方程的哪一項的系數有關？有什么關系？

師：請你將方程y2+6y=16轉化成（x+a）2=b的形式，并思考方程兩邊所添加的常數有什么特征.說說你的見解好嗎？

所添加的常數項與原方程的一次項系數有關，是一次項系數的一半的平方.

師：解方程：x2+3x-2=0.

（請兩位同學上來板演，其他同學自己練習，教師在下面輔導學困生，最后師生共同完成下面的板書過程）

解：把常數項移到方程的右邊，得x2+3x=2.

像這樣，把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式，右邊為一個非負常數，然后用開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

評析：通過問題2，讓學生感悟所添加的常數項與原方程的一次項系數有關，是一次項系數的一半的平方.通過問題2，充分讓學生觀察、思考、討論、總結歸納出用配方法解二次項系數為1的一元二次方程的基本方法.讓學生自己經歷掌握知識和方法的全過程，這對學生理解數學和掌握數學思想方法是非常有必要的.

片段3：拓展新知，鞏固提升

問題3：二次項系數不是1的一元二次方程，能用配方法解嗎？

師：用配方法解方程：2x2-5x-1=0，在方程2x2-5x=1的兩邊都加上一次項系數的一半的平方能使方程左邊配成完全平方式嗎？

生：不能.

師：我們應怎么做？

生：把二次項系數化為1，轉化為問題2中的方程來解決.

師：很好，請說說你的轉化過程

師：用配方法解二次項系數不是1的一元二次方程的關鍵是什么？

生：方程兩邊同除以二次項系數，把二次項系數化為1.

師：正確.（板書如下）

評析：通過問題3，使學生感悟二次項系數不是1的一元二次方程可以化歸為我們已能求解的一元二次方程類型來求解，因此體會到知識之間的內在聯系，加深對數學知識和思想方法的本質含義的理解和掌握.

片段4：歸納小結，反思提高

問題4：用配方法解二次項系數不是1的一元二次方程的關鍵是什么？請你總結一下用配方法解一元二次方程的一般步驟.

師：通過對上面三個問題的思考和求解，接下來我們來對用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）的一般步驟進行總結歸納.

（先讓學生自己歸納，讓學生充分發表見解，最后教師對學生的歸納作出完善）

（1）將方程化為二次項系數為1的形式；

（2）移項，使方程左邊只有二次項和一次項，右邊只有常數項；

（3）在方程兩同時加上一次項系數的一半的平方，使方程左邊配成一個完全平方式；

（4）配方后若方程右邊是一個非負數，再通過直接開平方法求出方程的解.

師：這里有一個問題請同學們思考，方程經配方后，若左邊是關于未知數的完全平方式，那么右邊的常數是什么數時，方程才有意義？

課堂練習：

（將事先印好的學案發給學生，待學生獨立完成后，再開展同桌之間或前后四人小組進行交換批改和交流）

1.用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應變形為（）.

A.（x+1）2=6B.（x+2）2=9

C.（x-1）2=6D.（x-2）2=9

2.用配方法解方程2x2-x-1=0時，配方結果正確的是（）.

3.嘉淇同學用配方法解一元二次方程3x2-8x-3=0時，他是按如下方式做的.

解：把方程3x2-8x-3=0變形為.…第一步

x=3.…第五步

嘉淇的解法從第___________步開始出現錯誤；方程3x2-8x-3=0的根是___________.

4.用配方法解方程：2x2-7x+5=0.

評析：通過歸納小結，讓學生真誠地表達了自己在本節課中的感受，不僅歸納了數學知識和數學方法，而且能真實地表達對配方法解一元二次方程的理解、掌握情況，提高了學生的概括能力.通過課堂練習，檢查不同層次的學生用配方法解一元二次方程的情況.

片段5：布置作業，提升能力

必做題：（1）課本第33頁作業題第3題，第35頁作業題第2、3題；

（2）數學作業本第9頁基礎題.

選做題：數學作業本1第10頁綜合運用.

評析：通過分層布置作業，可以使不同層次的學生適應自己的學習，充分發揮他們的學習潛能，特別是提高了數學作業的有效性，從而減輕了學生的學習負擔.

三、高效課堂旨在發展性評價

數學課一般有講授數學概念的概念課、講授數學方法的方法課、一個單元或者章節的復習課、針對試卷習題的講評課.本節課是講授配方法的方法課，章建躍博士指出“數學思想方法是數學知識的靈魂，是解題方法的源泉，是分析問題、解決問題能力的基石”.教師首先要準確把握教學內容，確定本節課的重點和核心，重視數學思想方法.以二次項系數為1的一元二次方程的配方為重點和核心內容，讓學生自己經歷獲取知識和感悟數學思想方法的過程，對于二次項系數不為1的一元二次方程，在轉化上下功夫，讓學生自己感悟數學知識之間的內在聯系，不讓學生進行無目的的反復訓練.數學課堂教學既要關注本節課學生學習的結果，也要重視學生學習的過程；既要關注學生學習的水平，也要重視學生在數學活動中所表現出來的情感與態度，幫助學生認識自我，建立自信.

本節課的設計充分體現了“學為中心”的新理念，在教學活動中師生積極參與，交往互動，促進了師生的共同發展，使學生的學與教師的教得到有效整合.教師能以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎引入新知，引導學生通過操作、觀察、思考、評判、總結歸納，獲得新知識，感悟新方法，形成新技能，發展數學思維，培養良好習慣，真正使學生的潛能得到充分的發展.Z