錘煉學(xué)生的思維品質(zhì)，提升合作學(xué)習(xí)的效果
——“相似三角形的性質(zhì)”課堂教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

☉江蘇省南通市小海中學(xué) 張 彤

錘煉學(xué)生的思維品質(zhì)，提升合作學(xué)習(xí)的效果
——“相似三角形的性質(zhì)”課堂教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

☉江蘇省南通市小海中學(xué) 張 彤

南通市基礎(chǔ)教育課程改革提出了“限時(shí)講授、合作學(xué)習(xí)、踴躍展示”的十二字方針.“限時(shí)講授”指教師在課堂上的講授不能超過學(xué)生活動(dòng)時(shí)間的一半，留出時(shí)間讓學(xué)生自主合作探究交流；“合作學(xué)習(xí)”指教學(xué)過程中必須建立學(xué)習(xí)小組，學(xué)生在小組內(nèi)或小組間進(jìn)行互動(dòng)交流；“踴躍展示”指學(xué)生在課堂上能規(guī)范、大聲表達(dá)，主動(dòng)、積極展示.本文通過“相似三角形的性質(zhì)”一課的教學(xué)片段淺談響應(yīng)方針提高課堂教學(xué)效果.

一、設(shè)計(jì)思路

通過學(xué)習(xí)學(xué)生已經(jīng)知道了全等三角形是特殊的相似三角形，并且掌握了全等三角形的性質(zhì)，通過類比全等三角形的性質(zhì)猜想相似三角形的性質(zhì)，再進(jìn)行論證，由特殊到一般，使學(xué)生對(duì)相似三角形的性質(zhì)，由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，最后通過性質(zhì)定理的應(yīng)用加深理解，從而將本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為自己知識(shí)結(jié)構(gòu)的組成部分.

二、教學(xué)片段

學(xué)生通過完成老師布置的課前預(yù)習(xí)，已經(jīng)初步地了解了相似三角形的周長(zhǎng)和面積的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上通過小組合作交流進(jìn)一步證明.

1.合作探究

問題1：如果兩個(gè)三角形相似，它們的周長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？

圖1

則AB=k·A′B′，BC=k·B′C′，CA=k·C′A′.

師：經(jīng)過證明，發(fā)現(xiàn)相似三角形周長(zhǎng)的比確實(shí)等于相似比，這是相似三角形的性質(zhì)：

（1）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

評(píng)析：先由特殊的例子，即相似的直角三角形，通過計(jì)算周長(zhǎng)的比和面積的比，讓學(xué)生獲得一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，又為后面證明相似三角形的其他性質(zhì)做了鋪墊，學(xué)生可從中受到啟發(fā)！引導(dǎo)學(xué)生在自己的發(fā)現(xiàn)中激發(fā)求知欲，提高了思維的敏捷性，對(duì)所學(xué)知識(shí)有了初步了解，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

2.問題導(dǎo)入

師：相似三角形的一種特殊情況是全等三角形，全等三角形的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)有相似之處！全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高，對(duì)應(yīng)邊上的中線，對(duì)應(yīng)角的平分線相等，對(duì)于相似三角形，它們又有什么關(guān)系呢？可以大膽猜想，和對(duì)應(yīng)邊的比有關(guān)系嗎？

師：三角形中，除了角和邊外，還有哪三種主要線段？

生：高線，角平分線，中線.

師：相似三角形的相似比與對(duì)應(yīng)邊上高線的比有什么關(guān)系？如何證明？

生1：我認(rèn)為對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.

問題2：已知：如圖2，△ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′.

圖2

運(yùn)用實(shí)物投影儀把生1的證明過程投影在白板上，生1對(duì)照自己的過程講述思路與方法.

師歸納總結(jié)：類似地，可以證明得到相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線、中線的比都等于相似比.類似證明學(xué)生課后完成.

性質(zhì)（2）：相似三角形對(duì)應(yīng)高線、角平分線、中線的比等于相似比.

評(píng)析：類比全等三角形的知識(shí)導(dǎo)入新課，有助于學(xué)生建立起知識(shí)之間的聯(lián)系，把全等三角形的思想方法遷移過來.而把本節(jié)課所教的知識(shí)置于三角形的知識(shí)體系之中，既復(fù)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上又進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了全等三角形與相似三角形性質(zhì)的相似之處，區(qū)分了不同之處.

3.定理證明

問題3：如圖3，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？

生2：相似三角形面積的比等于相似比的平方.

師：如何證明？

圖3

生2：我覺得利用前面的結(jié)論，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比，對(duì)應(yīng)高的比等于相似比即可證明.

師：如果是兩個(gè)相似的四邊形，面積比如何？

問題4：如圖4，四邊形ABCD相似于四邊形A′B′C′D′，相似比為k，它們的面積比是多少？（小組討論）

圖4

生3：相似多邊形面積的比等于相似比的平方.我們組認(rèn)為可以把四邊形分割成對(duì)應(yīng)的相似三角形進(jìn)行說明.類似地，我們認(rèn)為可以應(yīng)用到五邊形，以及其他多邊形.

電機(jī)的力矩與轉(zhuǎn)速乘積為正，表示電機(jī)處于驅(qū)動(dòng)過程，瞬時(shí)功率以式(8)表示；電機(jī)的力矩與轉(zhuǎn)速乘積為負(fù)，表示電機(jī)的轉(zhuǎn)矩為制動(dòng)轉(zhuǎn)矩，會(huì)產(chǎn)生再生能，再生能來源于電機(jī)驅(qū)動(dòng)過程，最后以熱能散失，因此制動(dòng)時(shí)電機(jī)輸入能耗為零。

師：概括得非常準(zhǔn)確，由此證明我們的猜想是正確的！于是我們得到了相似三角形的性質(zhì)（3）.

性質(zhì)（3）：相似三角形（多邊形）面積的比等于相似比的平方.

學(xué)生在學(xué)案上用幾何語言描述這個(gè)定理.教師巡視.

評(píng)析：在教師的引導(dǎo)下，部分思維靈活的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了連接對(duì)角線把四邊形分割成三角形的方法，進(jìn)一步在小組合作下學(xué)生又發(fā)現(xiàn)了通過連接對(duì)角線把五邊形分割成三角形得到面積比的方法，五邊形比四邊形要復(fù)雜，對(duì)角線的條數(shù)也多，經(jīng)過小組激烈的討論也得到了解決，復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單了，學(xué)生的興趣濃了，在討論的過程中思維品質(zhì)的靈活性得到了提高，學(xué)生能較全面地分析、思考、解決問題，真正成為了課堂的主人.

4.知識(shí)應(yīng)用

例1如圖5，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的周長(zhǎng)是24，面積是125，求△DEF的周長(zhǎng)和面積.

圖5

變式：如圖6，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AB=4BE，連接DE交BC于點(diǎn)F.

（2）若S△BEF=2，求平行四邊形ABCD的面積.

評(píng)析：此例是教材上的例子，編者編寫的意圖是應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，及時(shí)鞏固新學(xué)的知識(shí)，在潛移默化中向?qū)W生灌輸了化歸的數(shù)學(xué)思想方法，教師適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)獲得的性質(zhì)靈活運(yùn)用，幫助學(xué)生感悟其中的思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).對(duì)例題進(jìn)行變式教學(xué)，難度有一定的上升，都是用本節(jié)課剛學(xué)習(xí)的性質(zhì)與方法，使學(xué)生做一題，會(huì)一類，通一片，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

反思：本課是學(xué)習(xí)了相似三角形的判斷后去探索相似三角形及相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比、面積比等于相似比的平方.性質(zhì)的探究比較顯淺，知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用又相對(duì)靈活，是一節(jié)講起來容易、用起來也不難的典型課程.教學(xué)中，學(xué)生在前面的探究比較活躍，而在做到變式題時(shí)就略顯得困難了.從本節(jié)教學(xué)中，看出我們的學(xué)生在解決問題策略的多樣性方面的欠缺，這是以后的教學(xué)工作中要注意和加強(qiáng)的.同時(shí)教學(xué)模式上還應(yīng)加強(qiáng)小組的探究能力，提高互幫互學(xué)互評(píng)功能.在平時(shí)的教學(xué)中更加要防止思維作弊，學(xué)生的符號(hào)意識(shí)不能由老師代勞，更加要注意不能得到結(jié)果而失去過程，另外從文字—圖形—符號(hào)的轉(zhuǎn)化老師也不能代勞，平時(shí)一定要注意這方面的訓(xùn)練.

很多教師在性質(zhì)定理和判定定理的教學(xué)中往往得到結(jié)果而失去過程，匆匆給出定理，設(shè)置的障礙比較少，利用大量的習(xí)題來反復(fù)訓(xùn)練定理的運(yùn)用，這實(shí)際上是對(duì)定理教學(xué)的本末倒置，學(xué)生的思維力度小.人民教育出版社章建躍博士指出：有效教學(xué)的基本標(biāo)準(zhǔn)是：以自然的水到渠成的知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程為載體設(shè)計(jì)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的展開，深度參與，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念、原理和思想方法的實(shí)質(zhì)性理解，強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)解決問題的能力的落實(shí).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生探索，激發(fā)學(xué)生求知.

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)實(shí)際上就是思維活動(dòng)的教學(xué)，在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)把思維能力培養(yǎng)作為教學(xué)活動(dòng)的主要任務(wù)，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣，提高分析問題、解決問題的能力.Z