導學案不要偏離課程標準
——以“同底數冪的除法”導學案中零指數冪的規定為例

☉湖北省房縣教研室 昝光軍

導學案不要偏離課程標準
——以“同底數冪的除法”導學案中零指數冪的規定為例

☉湖北省房縣教研室 昝光軍

《中學數學》2014年第6、10期兩期關于導學案問題的討論，指出“導學案不能淪落為習題單”［1］、“導學案不能將教材擠向邊緣”［2］，筆者頗有同感.現以“同底數冪的除法”導學案中零指數冪的規定與課程標準的教學建議相對照，談談對“導學案不要偏離課程標準”的一點思考.

一、同底數冪的除法導學案與課程標準例子簡述

1.同底數冪的除法某導學案案例簡述

（一）引入新知.

（1）同底數冪的乘法法則.

（2）問題：一種數碼照片的文件大小是28K，一個存儲量為26M（1M=210K）的移動存儲器能存儲多少張這樣的數碼照片？列式為：_______________，這是一種什么運算？如何計算呢？

（二）探索新知.

請同學們做如下運算：

（1）①28×28；②52×53；③102×105；④a3·a3.

（2）填空：

①（）·28=216；②（）·53=55；

③（）·105=107；④（）·a3=a6.

除法與乘法是兩種互逆運算，要求空內所填數，其實是一種除法運算，所以這四個小題等價于同底數冪的除法.從上述運算能否發現商與除數、被除數有什么關系？

①216÷28=（）；②55÷53=（）；

③107÷105=（）；④a6÷a3=（）.

從上述運算中歸納出同底數冪的除法法則：______________________.

根據同底數冪的除法法則，問題2中計算的結果為：______________________.

例題講解：

（1）計算：①x8÷x2；②a4÷a；③（ab）5÷（ab）2.

（2）先分別利用除法的意義填空，再利用am÷an=am-n的方法計算，你能得出什么結論？

①32÷32=（）；

②103÷103=（）；

③am÷an=（）（a≠0）.

可得：am÷am=am-m=a0（a≠0）.這樣可以總結得a0=1（a≠0）.于是規定：a0=1（a≠0）.

即：任何不等于0的數的0次冪都等于1.

這樣，我們學習的同底數冪的除法的運算法則就可以擴展到：

am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整數，且m≥n）.

（三）運用新知.

若（2x+1）0=1，則（）.

（四）小結.

（五）能力提升.

若32x-1=1，則x=__________；若（x-2）0=1，則x的取值范圍是___________.

（六）當堂反饋.

若（2a-3b）0=1成立，則a、b滿足什么條件？

2.2011版課程標準中教學建議原文

例80［3］“零指數冪”的教學設計（第三學段）.

本實例希望體現課程目標在課堂教學中的整體落實——通過本節課的學習，學生不僅理解和掌握有關的知識技能，而且初步了解指數概念是如何擴充的，感受零指數冪“規定”的合理性.

通過計算23÷23提出問題：如果應用同底數冪的運算性質，可以得到23÷23=23-3=20.那么20有什么意義呢？等于多少呢？我們需要做出解釋，教學面臨了挑戰.

我們先回顧簡單的事實：23÷23=8÷8=1，于是可以自然提出猜想：20=1，然后采用各種途徑引導學生感受規定“20=1”的合理性.例如：

用細胞分裂作為情境，提出問題：一個細胞分裂1次變2個，分裂2次變4個，分裂3次變8個，…，那么，一個細胞沒有分裂時呢？

觀察數軸上表示2的正整數次冪的16、8、4、2等點的位置變化，可以發現什么規律？

再觀察下列式子中指數、冪的變化，可以發現下面的規律：

24=16，23=8，22=4，21=2，20=1.

這樣，在學生感受“20=1”的合理性的基礎上，做出零指數冪意義的“規定”，即a0=1（a≠0）.

在規定的基礎上，再次驗證這個規定與原有“冪的運算性質”是無矛盾的，原有的冪的運算性質可以擴展到零指數.例如，計算a5÷a0：

運用冪的運算性質，得a5÷a0=a5-0=a5；

根據零指數冪意義的規定，得a5÷a0=a5÷1=a5.

綜上，學生在學習“零指數冪”時將經歷如下的過程：面對挑戰進行思考—提出“規定”的猜想—通過各種途徑說明“規定”的合理性—做出“規定”—驗證這種“規定”與原有知識體系無矛盾—指數概念和性質得到擴展.

這樣的過程較充分地體現了數學自身發展的軌跡，有助于學生感悟指數概念是如何擴展的，他們借助學習“零指數冪”所獲得的經驗，可以進一步嘗試對負整數指數冪的意義做出合理的“規定”.這樣的過程較充分地展示了“規定”的合理性，有助于發展學生的理性思維.

二、兩者的對比

上述導學案只是眾多導學案中的一個，也很有代表性.粗看整個教學過程，設計思路清晰，不論是問題的提出，還是新知探究運用，都比較合理，但仔細分析，特別是與課程標準的教學建議相對照，就會發現問題.如在零指數冪意義的規定這一新知的產生過程中，導學案從具體32÷32=（），103÷103=（），抽象到am÷an=（）（a≠0），進而總結得到a0=1（a≠0）的規定.而課程標準的例80中“零指數冪”的教學設計是引導學生經歷如下過程：①揭示矛盾.23÷23=8÷8=1，若應用正整數指數冪的運算性質，則23÷23=23-3=20，面對挑戰進行思考—提出“規定”的猜想—通過各種途徑說明“規定”的合理性—做出“規定”—驗證這種“規定”與原有知識體系無矛盾—指數概念和性質得到擴展.

通過以上對比我們可以看到，上述導學案偏離了課程標準，與課程標準中的教學建議大相徑庭.

三、對比后的思考

1.導學案不要偏離課程標準

國家課程標準是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據，是國家管理和評價課程的基礎.由于課程標準規定的是國家對國民在某方面或某領域的基本素質要求，因此，它毫無疑問地對教材、教學和評價具有重要指導意義，是教材、教學和評價的出發點與歸宿.因此，無論教材、教學還是評價，出發點都是為了課程標準中所規定的那些要求的培養，最終的落腳點也都是這些基本要求的實現.可以說，課程標準中規定的基本要求是教學和評價的靈魂，也是整個基礎教育課程的靈魂.無論導學案如何設計，無論評價如何開展，都必須圍繞著這一基本要求，都不能偏離這個核心.

2.數學導學案應引導學生進行探究性學習

在設計導學案時，應遵循課程標準，注重“知識問題化，問題探究化”，從而培養學生的問題意識，以及發現問題的能力.從這一點來講，導學案可以簡單地理解為“問題式教學”，旨在讓探究性學習成為學生學習的一種常態.當學習遇到問題的挑戰時，當學習發生質疑對抗時，當學生投入到對知識的探究時，這時的學習體驗才變得更深刻，更有意義.為此導學案設計要有利于學生進行探究性學習，內容由易到難，由淺入深，分層探究，有序引導，逐步生成，要通過對知識點的設疑、質疑、解疑，來激發學生的思維，培養學生的探究精神和創新精神，以及對知識分析、歸納、演繹的能力.

3.導學案應當給學生留下充分的思維空間

學生學習數學的目的不僅僅是獲得知識與技能，更重要的是獲得自己去探索數學的體驗和利用數學去解決實際問題的能力，獲得對客觀事實尊重的理性精神和對科學執著追求的態度.因此，在數學教學中，必須通過激發學生主動的活動，包括觀察、描述、畫圖、操作、猜想、實驗、收集整理數據、思考、推理、交流和應用等，讓學生親身體驗如何“做數學”、如何實現數學的“再創造”，并從中感受到數學的力量.教師在設計導學案時，應當給學生留下充分的思維空間，使學生能夠真正地開展數學的思維活動.

1.熊俊.導學案不能淪落為“習題單”——以“中位數和眾數”的導學案為例［J］.中學數學（下），2014（6）.

2.朱月華.導學案不能將教材擠向邊緣——以“有理數”導學案為例［J］.中學數學（下），2014（10）.

3.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

5.張海晨，李炳亭.高效課堂導學案設計［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.Z