步步有據：推導冪的運算性質
——李庾南老師“冪的運算性質”課例賞析

☉江蘇省張家港市妙橋中學 湯志良

步步有據：推導冪的運算性質
——李庾南老師“冪的運算性質”課例賞析

☉江蘇省張家港市妙橋中學 湯志良

眾所周知，初中幾何的學習主要是為了訓練邏輯推理能力，感受數學的理性精神.然而代數運算中也有很多值得重視的邏輯推理訓練，比如，最近有機會觀看到著名特級教師李庾南老師“冪的運算性質”第1課時的教學錄像，李老師在該課教學中，引導學生由特殊到一般地猜想發現冪的運算性質，并基于此前的數的運算法則和運算律，推導出冪的運算性質，也很好地體現了數學教學中追求“步步有據”的教學取向.本文記錄該課的教學過程，并跟進賞析，提供研討.

一、“冪的運算性質”（第1課時）教學過程

（一）提供運算情境，激發學生自主運用乘方的意義探討同底數冪乘法的運算性質

運算情境1：請學生說出下列式子的意義：

23，25，am（m是正整數）.

運算情境2：學生獨立計算：

運算情境3：比較這三個算式的共同點？運算方法？運算的依據？

在個人獨立思考的基礎上，交流討論，共同概括：同底數冪相乘，底數不變，指數相加.

運算情境4：師生共同研究結論的一般性：用am、an（m、n都是正整數）表示兩個同底數的冪，求證：am·an=am+n（m、n都是正整數）.

=am+n.（乘方意義）

運算情境5：（總結）同底數冪的乘法運算性質：同底數冪相乘，底數不變，指數相加.

即am·an=am+n（m、n都是正整數）.

運算情境6：（拓展延伸）計算：am·an·ak（m，n，k都是正整數）.

（二）提供實例，引導學生在積極主動的數學實踐活動中建構冪的乘方的運算性質

實例1：學生獨立計算：（1）（23）2；（2）（a5）2；（3）（am）n（m、n都是正整數）.

實例2：交流計算方法和依據：

解析：（1）（23）2

=23×23（根據乘方的意義轉化為同底數冪的乘法）

=23+3（同底數冪的乘法運算性質）

=26.

（2）（a5）2=a5·a5=a10.

實例3：（小結）冪的乘方運算性質：冪的乘方，底數不變，指數相乘.即（am）n=amn（m、n都是正整數）.

實例4：類比同底數冪乘法的運算性質的拓廣，猜想：［（am）n］k=amnk.

（三）創設情境，揭示積的乘方的運算性質

創設情境1：計算：（1）（ab）2；

解析：（ab）2=（ab）·（ab）（乘方的意義）

=（a·a）·（b·b）（乘法交換律、乘法結合律）=a2b2.（乘方的意義）

（2）（ab）n.

創設情境2：（總結冪的第三個運算性質）積的乘方：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.

即（ab）n=anbn（n是正整數）.

同樣可得：（abc）n=anbncn（n是正整數）.

（四）通過簡單的計算練習，將冪的三條運算性質具體化

計算：（1）x3·x2；（2）m·m2·m3；

（3）（a+b）（a+b）3（a+b）5；（4）（-5）2（-5）3（-5）；

（5）（3m）2；（6）（a3）4；

（7）（mnp）2；（8）（a2bc）3.

（五）課堂小結，形成知識網絡

板書設計：正整數指數冪的乘法.

（1）正整數指數冪的運算性質，如圖1.

圖1

（2）研究方法：特殊—一般—特殊.

二、課例賞析

1.找準起點：乘方的意義和乘法運算律

從上面的課例設計發現，正整數指數冪的三條運算性質的生長點都是乘方的意義和乘法的運算律.研究的方法也相同，即從特殊入手，發現共性，抽象概括，形成一般規律——運算性質.研究了同底數冪的乘法運算性質之后，學生不僅獲得了新知識，更可獲得研究的策略和方法，激發深入探究的熱情和自信，促進自主建構冪的乘方和積的乘法運算性質的積極主動性.冪的乘方運算性質也可根據乘方的意義將冪的乘法運算轉化為同底數冪的乘法運算，運用已建構的同底數冪的乘方運算性質推導出冪的乘方運算性質，這樣組織教學內容，不僅出于數學知識本身的內在邏輯關系和相同的研究方法，而且擴大了學生思維的境界，為學生自主獲取、自主建構、自主超越、自主發展創設了更廣闊的平臺，利于發展學生的學力.

2.從“一帶而過”到“步步有據”

近讀期刊，潘龍生老師在《數學通報》上發表《教學，少些一帶而過》指出：“讓學生看到過程是提高數學學習效能的得力措施.”并引清末數學家華蘅芳的觀點“力挽之習，于一切算法無不坦白示人，……不求簡奧，不避粗俗，惟使人易明而已”批判當下概念教學中的“一帶而過”的教學現象.從上文李老師的“冪的運算性質”課例來看，李老師在冪的運算性質如何發現、怎樣猜想并歸納，如何嚴謹地從一般意義上進行證明，到拓展研究等全過程，都進行了“步步有據”的研究，很好地追求了通過代數學習，懂得算理的重要，同時也讓學生感受到理性思維的力量.也許有人會說：“這樣的教學我們也會，但是教學效率太低了，學生的練習量如何保證呢？”這是很多初任教師喜歡問的一個問題，背后反映了“應試教育”導向下的“題海戰術”教學取向，似乎學生解題能力都是靠大量的演練獲得的，各種題型、變式不加選擇地呈現給學生做全才行，這也就不難理解“做過的、講過的還不一定會做，沒做過的、沒講過的則一定不會”的尷尬情形.

3.開展單元教學，先整體建構后再跟進習題課

可以發現，上面冪的運算性質起始課的教學目標是：經歷同底數冪的乘法、冪的乘方與積的乘方的運算性質的探索過程，體會由特殊到一般的認知方法，建構冪的三條運算性質的結構框架；通過冪的三條運算性質的簡單運用，體驗由一般到特殊的思想方法.作為冪的運算性質這個單元教學的第1課時，學生已熟知了冪的幾個運算性質，后續則需要跟進習題課，教學目標可以定位如下：通過綜合練習，深刻理解、正確運用正整數指數冪的三條運算性質；通過逆運算正整數指數冪的運算性質，優化思維品質，發展思維能力，豐富數學體驗；通過練習、議論、歸納，提高運算能力.還可提及，李庾南老師曾在江蘇省中小學教研室主辦的“教學新時空”上展示過“因式分解”單元教學（該文的詳細解讀參文見5），也是打破教材上的課時安排，在第1課就引導學生從整式乘法的逆運算可以簡化運算開始，定義了因式分解，接觸了不同的因式分解方法（提公因式法、運用公式法），取得了很好的課堂效果.

三、寫在最后

章建躍教授在《理解數學是教好數學的前提》一文中指出：“教師在數學的內容知識、實質性結構知識等方面的欠缺，導致他們對知識的發生發展過程、重點、難點和關鍵等了解甚少，從而就抓不住內容的核心，不能設置有利于學生理解知識的教學主線，……”想來，專家型教師李庾南老師正是站在“理解數學”的高度，融通數學，大膽整合教材，才有了令人感到邏輯連貫、步步有據的冪的運算教學吧！

1.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.

3.李庾南，陳育彬.中學數學新課程教學設計30例——學力是這樣發展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.潘龍生.教學，少些一帶而過［J］.數學通報，2015（1）.

5.劉東升.專家教師課堂MPCK的特點——李庾南老師執教“因式分解”課例研究［J］.中學數學月刊，2014（3）.

6.章建躍.理解數學是教好數學的前提［J］.數學通報，2015（1）.H