注重模型本質挖掘實現抽象問題直觀
——“二次函數”的教學實踐與反思

☉南京師范大學附屬中學新城初級中學 陳思宇

☉南京師范大學附屬中學新城初級中學怡康街分校 葉旭山

注重模型本質挖掘實現抽象問題直觀
——“二次函數”的教學實踐與反思

☉南京師范大學附屬中學新城初級中學 陳思宇

☉南京師范大學附屬中學新城初級中學怡康街分校 葉旭山

《義務教育數學課程標準》（2011年版）明確指出：“重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程.”可見模型思想在數學教學中的重要性，它是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.針對《新課標》提出的模型思想，結合筆者參加南京市基于“四能”項目研究的展示課課例，略有收獲，故撰文與同行交流.

一、教學背景

函數是初中數學“數與代數”體系中的重要內容之一，是研究運動變化的重要數學模型.“二次函數”選自《蘇科版九年級下冊》第五章第一節，它是知識的拓展、運用的延伸，對于二次函數的研究，體現了知識螺旋式上升的過程，也是對前面兩種基本函數研究方法的延續與提高.

本節課主要學習二次函數的概念，可以借助前面研究一次函數的思路和方法，引導學生與已有知識進行聯系，激發學生的思考類比等意識，同時注重引入二次函數概念的現實背景，注重讓學生在學習的過程中逐步深化對概念的理解和認識，進一步領會二次函數的價值.

課標中對二次函數概念教學的要求是：“通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義”.在目標定位時，筆者從兩方面對二次函數加以認識，一方面從數學內部，也就是形式化的函數表達式y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數，a≠0）的角度來理解，另一方面從現實意義出發，如果兩個一次式從不同的維度同時發生均勻線性變化，那么這兩個一次式的乘積即為二次函數模型，同時可以借助“矩形紙片”的兩條邊作為兩個變化的維度的代表，幫助學生挖掘模型本質，實現抽象的二次函數模型更加直觀形象.

二、教學過程及分析

1.問題情境

情境1：學校準備將一塊長20 m、寬14 m的矩形綠地擴建.若矩形的長增加x m，寬不變.

問題1：擴建后的矩形面積S（m2）與x（m）之間有怎樣的函數關系？

情境2：學校準備將一塊長20 m、寬14 m的矩形綠地擴建.若矩形的長、寬都增加x m.

問題2：擴建后的矩形面積S（m2）與x（m）之間有怎樣的函數關系？

情境3：學校小賣部1月份的利潤是2萬元，2月份利潤有所增長.

問題3：2月份的利潤y（萬元）與該月增長率x之間有怎樣的函數關系？

情境4：學校小賣部1月份的利潤是2萬元，2、3月份利潤逐月增長.

問題4：3月份的利潤y（萬元）與這兩個月利潤的月平均增長率x之間有怎樣的函數關系？

情境5：某商場銷售一種計算器，成本價30元.根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是1000個，而銷售單價每上漲1元，銷售量就會減少10個.

問題5：銷售量y（個）與上漲的價格x（元/個）之間有怎樣的函數關系？

情境6：某商場銷售一種計算器，成本價30元.根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是1000個，而銷售單價每上漲1元，銷售量就會減少10個.

問題6：銷售利潤y（元）與上漲的價格x（元/個）之間有怎樣的函數關系？

分析：這6個問題，每2個為一組，都是從學生熟悉的一次函數問題引入，學生較易上手，同時又包含了二次函數3個最典型的問題，即面積問題、增長率問題、銷售利潤問題，為下面學習二次函數的應用做鋪墊.6個問題由一次函數到二次函數逐步加深，通過變量的不同加以比較，讓學生初步感受到如何在實際問題中建立模型意識.

2.建構活動

（1）分一分：仔細觀察，將上面的函數進行分類.

分析：學生很容易對上述函數按自變量最高次數的不同進行分類，這里并沒有設置更多的干擾（如反比例函數），筆者認為分類并不是最主要的，重要的是通過對函數的分類，類比一次函數“自變量是一次的”這個形式上的定義，幫助學生發現和探索二次函數形式上的定義.

（2）找出下列情境中的共同特征.

情境2：學校準備將一塊長20 m、寬14 m的矩形綠地擴建.若矩形的長、寬都增加xm.

情境4：學校小賣部1月份的利潤是2萬元，2、3月份利潤逐月增長.

情境6：某商場銷售一種計算器，成本價30元.根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是1000個，而銷售單價每上漲1元，銷售量就會減少10個.

分析：上述三個情境都可以理解為矩形的長和寬兩個量在同時發生變化的問題.在分析的過程中，借助于這張“矩形紙片”幫助學生理解，情境2可理解為矩形的長和寬分別變化為20+x和14+x這兩個一次式，情境4可理解為矩形的長和寬分別是2月的利潤2（x+1）和相對的增長量1+x，情境6可理解為矩形的長和寬分別是變化后的銷售量1000-10x和單價40+x，這樣使得二次函數的共同特征更加直觀形象地呈現在學生面前，從而降低思考的難度.并由此總結出二次函數的現實意義為兩個一次式的乘積.（附：課堂板書截圖如圖1所示）

圖1

3.數學認識

（1）二次函數的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數，a≠0）的函數，稱為二次函數.其中，x是自變量，y是x的函數.

（2）二次函數的實際意義.

分析：從定義的形式上看，二次函數的本質特征是“自變量的最高次數是二次的”；從實際意義出發，二次函數可看成兩個維度的量在同時發生變化，而這兩種變化均是以一次式的形式呈現的，這時，二次函數的實際意義即為這兩個一次式的乘積.

4.基礎訓練

（1）判斷下列函數是否是二次函數.

①y=2x（x-3）；

②y=x2+2x3；

④y=（x+3）2-x2；

⑤y=ax2+2x+1（a為常數，a≠0）.

（2）寫出下列兩個變量之間的函數表達式，并判斷是否為二次函數.

①如圖2，用50 m長的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，則矩形花園的面積y（m2）與邊長x（m）之間的函數關系式為________.

②某矩形相框長26cm，寬20cm，其四周相框邊（如圖3中陰影部分）的寬度相同，則相框內部的面積y（cm2）與四周邊的寬度x（cm）之間的函數關系式為_________.

圖2

圖3

分析：在基礎訓練環節中，圍繞兩個方面的目標對二次函數的概念加以鞏固，讓學生經歷運用知識解決問題的過程.第（1）題是對二次函數的表達式加以認識，是在形式上對定義的鞏固，第（2）題是對二次函數現實意義進行再認識，同時培養學生利用模型的思想解決問題的能力.

5.拓展延伸

（1）生活中有許多二次函數的實例，你還能舉出一些例子嗎？

分析：讓學生自己舉例，對于學生來說，這是比較困難的，是本節課的難點之一，但由前面“兩個一次式的乘積”這種模型思想做鋪墊，學生就可以模仿創造，找到面積、利潤等方面的很多問題，更有學生找到了書上一元二次方程的實例進行改編，不但加深對二次函數現實意義的理解，還初步感受到函數與方程之間的聯系，取得了意外的收獲.

（2）如圖4，矩形ABCD的兩邊長AB=14 cm，AD=4 cm，點P、Q同時從B點出發，P在邊AB上沿BA方向以每秒2 cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度勻速運動（當一點停止后另一點仍繼續運動），設運動的時間為t（秒）.

請你提出一個有價值的問題并解決.

分析：本題具有開放性，多數學生會將P、Q兩點的運動與一些四邊形的面積聯系上，這就構成了一個二次函數，而在運動的過程中，當一點停止運動后，面積又成為了一次函數問題，在不斷的運動變化中，讓學生利用所學知識解決問題，也感受到一次函數與二次函數的聯系，首尾呼應，從而達到經驗上的遷移.

（3）回顧本節課的學習過程，談談學習收獲.

分析：在小結中，先讓學生自己談談對二次函數的認識，教師再對學生的觀點總結，提煉出兩個方面，即從定義的形式和問題的實際意義.

三、教學反思

圖4

1.精心設置問題情境，體現“一次”到“二次”

問題情境是教學模式的起點，它起著激發動機、誘導提問和引發思考的作用，而函數中的情境最好是來自實際生活，使學生有一種親切感，所以本節的六個情境，都是有關現實問題的情境，簡單典型，都是從學生熟悉的一次函數問題引入，發展到二次函數的三個最典型的問題，學生列式的過程非常輕松，類比學習一次函數時的方法，也讓學生初步感受到變量的不同，所列的函數關系式的不同.

有時，教師會例舉較多的情境，包含一次函數、反比例函數、二次函數等，再讓學生進行分類，從中找出二次函數的特點，總結出二次函數的概念，但筆者認為，這樣設置情境，學生也許只能從形式上記憶二次函數，卻不能理解其實際意義，更無法從之前已有的知識遷移到二次函數上來，所以，情境不必“面面俱到”，一定要有針對性，學生除了列式，發現特點，更重要的是讓學生初步感受到二次函數的模型，為我們后續的研究做鋪墊.

2.借助直觀圖形展示，實現“二次函數”可視化

數形結合思想是一種重要的數學思想，它可以使抽象的函數概念直觀化、生動化，變抽象為形象，有助于把握二次函數概念教學的本質.多數教師會在學習二次函數的性質時借助圖像來幫助學生研究，因為大家都認為二次函數的性質非常抽象，學生較難接受和掌握，不過，筆者認為，在學習概念時也完全可以借助這張矩形紙片圖，指導學生從長和寬這兩個維度的變化來研究，通過教師帶領學生一起分析，到學生自己分析，發現二次函數在現實生活中的意義可以用兩個一次式的乘積來表示，即“兩個一次式，函數看得見”.

3.注重模型思想滲透，突出“二次函數”實際價值

問題模型的建立，是理解二次函數概念實質的一個重要環節，在教師的指導下，讓學生投入解決問題的實踐活動，自己去研究、探索，經歷數學建模的全過程，從而領會數學建模的思想與方法.學生從問題情境中列出相關函數關系式，通過建構活動對函數進行再認識，從而形成二次函數概念，其中必須含有一個建模的過程.本節課從創設情境入手，讓學生初步感受到變量不同，函數模型的不同，初步建立模型思想，再到利用矩形紙片圖，帶領學生再認識二次函數的實際意義是兩個一次式的乘積的模型，最后，在拓展延伸中學生利用模型思想舉例，每一個環節都滲透了模型思想，將眾多數學問題統一認識，實現模型的歸一.

4.注重課堂民主意識，留給學生思考的時間和空間

新課程理念提出了以學生發展為本，促進學生全面、持續、和諧地發展，學生是學習的主體，教師應留有充分的自主活動的時間和空間，激發學生的學習積極性，提供從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流中真正理解和掌握函數概念.在構建活動中，學生對于增長率轉化成矩形模型有一定的困難，筆者處理的有些著急，基本上是老師帶領學生分析為主，下次執教時，可以小組討論的形式，多給學生一些時間，這樣來充分理解模型實際意義.在拓展延伸中，舉例是學生的難點，這是也要多鼓勵學生思考，尤其是與前面模型的聯系，這也需要充分的時間保障，但在這種思考中，學生的思維水平會有很大的提升，長期堅持，定有收獲.H