讓數學教材中的例題的教學價值極致發揮
——以八上第四章“4.1平方根”施教為例

☉江蘇省興化市荻垛初級中學 華 鳳

讓數學教材中的例題的教學價值極致發揮
——以八上第四章“4.1平方根”施教為例

☉江蘇省興化市荻垛初級中學 華 鳳

現行的數學教材歷經專家學者多年的努力，具有相當程度的權威性和典型性，能夠貼近學生的認知特點和學科規律，發揮著講解、示范、引領的教學價值.數學例題作為承載著數學概念、原理、定理和性質的媒介，向師生傳達著豐富而重要的信息，我們通過數學例題能夠進一步理解數學知識、習得技能，感悟出實踐路徑，濡染數學思想.因此，它是教和學的重要載體.但是，現實中，卻存在著幾大誤區：

（1）棄而不用，舍近求遠.不少老師以為教材中的例題過于簡單，學生容易讀懂，就讓學生自行閱讀，另起爐灶，尋找所謂的“好題”、“新題”、“難題”，過分追求似乎能夠顯示“教師水平”的“變式教學”，致使部分基礎薄弱的學生不得不暈乎乎地跟著亦步亦趨；相當一部分學生被動地在演算老師另找的題目時，因為基礎知識、基本概念沒有完全扎實掌握，以致錯解了題目，不得不再“吃回頭草”.

（2）漫不經心，一帶而過.這類教師往往忽略例題的講解、示范、引領的價值，一方面也中規中矩地講解給學生聽，一方面卻沒有充分挖掘其中的教學價值，草率而為，一帶而過，使得很多學生在正式答題或者考試中出現答題不規范，或過于煩瑣，或忽略細節等問題，造成非技術性失分.

（3）就題解題，忽視本質.相當一部分老師也比較重視例題的講解，但可惜的是只關注解題的過程，得出解題的結果就認為完成了教學任務.其實，這是極大的誤區.數學解題的過程包含著數學建模的思想，這是運用數學符號解讀數學概念，理解數學本質的過程，體現著嚴謹的數學思維和嚴肅的數學學科思想.我們在教學中理當注重對學生數學思維的訓練和數學思想的滲透.

新課程標準告訴我們：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動.內容的呈現應采用不同的表達方式，以滿足多樣化的學習需求.”［1］而數學例題作為權威的典范性教學資源，無疑是學生展開這樣的數學活動最好的素材.怎樣具體運用呢？

一、深入解讀，理解概念

考查學生解題遇阻的情形，我們便會知道，數感、符號感、空間感、統計感、推理能力及應用意識的缺失是最根本的原因.這些數學思想形成的主要渠道便是數學例題.他們之所以解不出所謂的“難題”，其本質原因就是對數學概念沒有全方位地理解，不能預測多維度、多方向、多層次的適用情境，缺乏將數學概念聯系起來綜合分析的能力.一道所謂的數學難題本質上是各種數學概念按照一定的邏輯關系組合在一起，構成一個相對復雜的有機整體.如果學生對數學概念有足夠的理解能力，就有可能破解出來.

當然，對于普通學生而言，如果能夠牢牢理解、銘記這些數學概念，以及具備初步的概念與概念之間聯系的立體感，也能夠從容解答一般題目，并且有可能順利挑戰難題.

數學例題一旦進入教材，意味著它具有不可估量的重要價值，它當然首先體現在數學概念的理解上.反復利用、多角挖掘，我們就能夠幫助學生徹底掌握數學概念.

案例1八上第四章“4.1平方根”.教材從勾股定理入手引出一個問題：要解決小麗的問題，就要研究當x2= a時，x是什么數？

怎樣將這個關鍵的x的“真面目”還原出來呢？教材舉出了三種情況：即a分別為4、100、169時，x可能應有的數，即分別為±2、±10、±13.這當然可以類推下去，不過教材在解決了“小麗”的問題后就此終止了.我們不妨引導學生將各種性質的“代數式”都代入這個式子，嘗試一下.比如：①a為0時；②a為負數時；③a為1時；④a為其他任何一個正數，甚至是某個含有字母的代數式.由此推導出這樣的過程：

①（0）×（0）=0；②（負數）×（負數）=正數，a不能為負數；③（1）×（1）=1；④（-1）×（-1）=1……

有了這樣的類推，我們就帶領學生比較真實地體驗了平方根數學建模的思維過程，從歸納中獲得了對平方根概念的立體多維的理解，即：（1）一個數的平方根有兩個，它們互為相反數；（2）0的平方根是它自身，1的平方根也是它自身；（3）負數沒有平方根.這樣就順著教材的思路，拓展開例題，充分發揮了例題的示范、引領的教學價值.

我們在具體講解時，不妨采取這樣的策略：

1.生本策略

引導學生自主、合作、探究，觀察學生是否能夠獨立自主地給出結果，是否能夠說出其中的原理，以此考查學生是否理解了題目的意圖，借此也培養學生發現、提出、研究和解決問題的能力.教師只要圍繞數學例題，設計好研究的小課題即可.

2.點撥策略

老師在巡視、參與課堂對話的過程中，及時發現學困生，適時點撥.比如在題目的基礎上進一步做數形轉化：（數）2=某數或（a）2=b，這樣就有利于絕大數學生進行探究，這已經接近了數學建模的結論性層面，滲透著數學思想.

3.歸納策略

概念性例題最主要的功能就是推演概念，所以，引領學生從數學現象中抽象出數學概念，發現數學規律就顯得尤為重要.

這個題目既是如此，我們不妨這樣展開教學.

（1）有沒有兩個數的平方均為同一個數？此問既是從這組題目的結論著眼，按照順向思維設計，學生易于理解，也能順勢總結出規律，加深了對平方根這個概念的預先感知程度.

（2）平方相同的兩個數有什么關系？此問則從這組題目的結論之間的關系著眼，按照逆向思維和發散思維

這七個例題用數形結合的數學語言分三種情形詮釋了平方根的概念：根據前面推導出的平方根關系公式可知，前三個正數都有兩個平方根，后三個負數沒有平方根，0作為一個特例，它的平方根為它本身；這七個數中有能夠開盡平方的，不能開盡平方的，有正數，有負數，有小數，有特例0等，具有一定的代表性.我們在引領學生探究其中的規律時，可以這樣歸納：一對相反數的平方都是同一個數，0的平方還是0，但是不存在平方為負數的數.概念推演至此，我們便可以進一步提出嚴謹的平方根的概念.

從平方根的概念考查看，平方根的定義具有幾個關鍵性概念：（1）數學符號x2=a；（2）平方根或二次方根；（3）“一般地”指通常情況下，是否還有特例，比如負數、0等.學生要熟練識記，還必須回到例題上來，借助例題幫助學生辨識、理解.通過現場指認、陳述關于平方根的集中情況，學生就整體上理解了平方根的知識.而且，關于（3）的理解既是探究平方根的性質，也就自然地過渡到平方根的性質的教學上.同樣，還需要借助具體的例子，比如增加一個特例“±1”，給學生一個直觀具體的感知，從而上升到理性認知的層面，更為準確、全面、順利地推導出平方根的性質.設計，學生能夠多維度地認識平方根之間的關系，從根本上預先感知平方根與算術平方根的本質區別.

這兩個問題既是對前面例題的歸納和升華，又是為下文的繼續舉例做鋪墊，體現出嚴謹的數學思維.

再如，下列各數有平方根嗎？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由.

二、變式推演，多維理解

數學例題因為是數學概念性知識的最為典型的體現形式，所以我們不妨借此設計出多種假設情形，引領學生推導出更多有價值的變式問題，拓展遷移，開闊視野，激活多樣化思維，訓練學生掌握數學知識的能力.同樣，這需要教師具備一定的教學資源的開發能力，善于溝通新舊知識，縱橫遷移，經緯數學課堂的能力.

案例2求下列各數的平方根.

我們不妨創造性地運用這些題目.

1.正題錯解

正確的題目故意解錯，讓學生辨識錯誤之所在，加深對概念的理解.

問題1：求25的平方根.

抽取優秀學生解答，然后教師給出兩種錯誤解法，通過課件呈現給學生.

提問：這兩種解法哪個是正確的，哪個是錯誤的，為什么？

學生隨之思考、交流、舉手，最后老師明確：第一種解法準確地體現了平方根的概念內涵，體現了平方根的性質；第二種解法錯誤，忽略了“一般而言一個數的平方根有兩個”的性質.這樣老師通過有意識地制造了錯誤，讓學生將這樣的錯題和教材中的例題進行比對，從而加深了理解.

2.形似變式

根據平方根的常規形式，采取放大或縮小原式等微調的變式方法，增加題目的靈活度和辨識度，提高理解、運用概念的能力.

問題2：求0.09和900的平方根.

師生對話，研究根號內的數與根號外的數的動態變化關系.

不同的變式所體現的數學思維和牽涉的數學知識是完全不同的，這樣的變式能將原數成倍擴大或者縮小若干分之一，然后考查學生運用平方根概念的能力，熟悉平方根的大小與開平方的數之間的關系.

3.更換變式

將預設代數式變成含有字母或者其他更大程度的形式.

師：大家看，這三個求解結果是否都正確？

生1：正確.

生2：第二個不正確.

師：同學們再思考一會兒，看看這些式子到底正確不正確？

生3：第三個也不正確.

師：為什么？

生3：第二個式子a為負數的時候，無平方根；第三個式子中如果a恰巧為1，這個式子根本就不成立.根據平方根的定義，開平方的數首先要成立.

師：對.我們必須考慮到根號內的未知數的取值范圍，記住平方根的表示法±中的a必須滿足大于或等于0的這個必要條件才可能成立.有分數的時候，分母不能為0.

順著這個思路，我們還可以進行更多的變式，比如不同開平方式子的連加等于0、根據平方根的性質求被開平方代數式的取值范圍，將平方根的知識與絕對值、方程式及勾股定理的運用等結合起來，都可以創造出種種變題.但是，限于本節課時間所限，以及考慮八年級學生的數學知識范圍，只要適當改變即可.倘若要用于中考之前的復習，或者九年級的教學，則完全有必要結合起來.但是，無論怎樣考慮，只要我們切實通過挖掘例題的示范性價值，就能夠幫助學生牢牢掌握平方根的知識，舉一反三，觸類旁通，避免出現概念性錯誤.

數學例題的價值遠不止如此，比如可以幫助學生熟悉解題規范，有序解題，幫助學生設想種種運用的情境，利用數學例題解說概念等.總之，“遴選教材或輔助材料中有價值的題目，通過有目的的策劃與組織，變身自己教學的優質資源，除了通透那一道題目外，更重要的是培養了學生發現問題、提出問題的創新意識，幫助學生歷練了知識技能，豐富了思想方法，鍛煉了思維，提升了內能”.［2］只要我們在實踐中不斷地摸索，就一定能夠將教材中的例題發揮極致，從而使學生能夠跳出題海，收到事半功倍的效果.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育課程數學標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.邢成云.“一題”作食材烹出滿桌鮮［J］.中學數學雜志（初中版），2014（5）.H