立足基礎，著眼能力，關注發展
——“因式分解”單元復習課的教學實踐與思考

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學 鄭曉峰

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學 蔡衛兵

立足基礎，著眼能力，關注發展
——“因式分解”單元復習課的教學實踐與思考

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學 鄭曉峰

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學 蔡衛兵

一、教材分析

本章的主要內容有因式分解的概念、方法以及簡單應用.因式分解是整式的一種重要的恒等變換，它和整式的乘法聯系十分密切.因式分解的幾種基本方法都是直接依據整式乘法的各個法則和乘法公式.因式分解又是分式的化簡、運算和解一元二次方程的重要基礎，對學生進一步學習數學是不可缺少的基礎知識和基本技能.學生在學習的過程中，利用添括號法則和整體思想解決問題的能力有所欠缺，所以在本章的復習過程中，不僅要基于學生的薄弱環節，使學生理解因式分解的知識概念、掌握因式分解的基本方法并形成一定技能，更要通過教學使學生的思維得到一定的訓練和發展，努力提高學生的數學學習能力.

二、教學目標

（1）知識與技能目標：理解因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，是整式乘法的逆向變形；熟練掌握因式分解的方法和技巧；掌握運用整體思想進行因式分解.

（2）過程與方法目標：體驗用提取公因式和公式法分解因式的方法，選擇恰當的方法進行因式分解，能積極探索因式分解在多項式除法和解方程中的應用.

（3）情感與態度目標：體驗應用知識解決問題的樂趣，培養學生良好的逆向思維，使學生形成代數意識和嚴謹的學習態度.

三、教學重點與難點

重點：理解因式分解的概念，掌握因式分解的常用方法并靈活應用.

難點：應用整體思想進行因式分解，并進行運用.

四、教學過程

1.情境引入，知識回顧——幫助學生建構知識體系

多媒體課件出示：（1）若a=2014，b=2013，求a2-b2的值；

（2）若a=2014，b=2013，求a2+b2-2ab的值.

師：同學們，你能解決這兩個問題嗎？

師：利用因式分解往往能將一些復雜的運算簡單化，那么我們就讓因式分解這棵“知識大樹”成長得更加茁壯，枝葉更加茂盛，請同學們先回顧完善這一棵“知識樹”，用多媒體依次呈現：

評析：梳理整章知識是復習課的重要環節，指導學生學會梳理更為重要.本節課以讓學生相互討論的形式來完善“知識樹”，自主梳理建構知識體系，避免了教師滿堂灌的弊端，教師適當地加以點撥指導，讓學生經歷知識建構的過程，培養學生整理知識的能力，使零碎的知識條理化、系統化.

2.活動導引，信息重組——幫助學生辨析知識真偽

師：看來，有關因式分解的基本知識與方法，我們的同學還是記得的，不知理解程度如何？現在請大家來找茬，找出其中的錯誤，用紅筆圈出來，并進行改正.

（1）下列從左到右的變形：①a（a-b）=a2-ab；②x2-2x+1=x（x-2）+1；③x2+1=④18a3bc=3a2b·6ac，屬于因式分解的有4個.

（2）分解因式：①a3+a2+a=a（a2+a）；

②2a2b2-a3b-ab3=-ab（-2ab+a2+b2）；

③-9x2+36y2=-（9x2-36y2）=-（3x+6y）（3x-6y）；

④4x（x-y）2+x（y-x）=（x-y）［4x（x-y）+x］=（x-y）（4x2-4xy+x）；

⑤a4-2a2+1=（a2-1）2=［（a-1）2］2=（a-1）4.

學生按要求進行活動，老師巡視.

師：時間到，我看大家完成得也差不多了，下面請組長組織組內討論，并派代表展示、講解.（過程略）

師：很好！在剛才的活動中，同學們都表現得很出色.不但能準確圈出所有錯誤，給出規范解答，而且作出了合情合理的分析.那么誰能談談自己解因式分解題的經驗或教訓？

生：判定各式的變形是否是因式分解應圍繞“多項式”“整式”“積的形式”等關鍵詞.如何分解因式呢？有公因式要先提，其次按“套路”進行，即兩項式——平方差公式，三項式——完全平方公式.

師：很好！值得指出的是：這個“套路”是相對的而不是絕對的，在目前這個階段有一定的積極作用.隨著學習的深入，題目與方法的豐富，需要靈活地選用方法，不能讓套路“套”住了自己的思維.還要注意哪些問題呢？

生：就是做完了之后要檢查.查一查：（1）分解是否徹底；（2）有無符號錯誤；（3）公式不要混淆.

師：我將你們所說的概括為“三個字”，即“提、套、查”.“提”：有公因式的要先提公因式；“套”：按“套路或套公式”進行；“查”：查分解是否正確、徹底，查書寫是否規范.

評析：因式分解的概念是因式分解方法的理論基礎，是本章的一個重要概念.對于這個概念，學生在整章的學習中是逐漸了解和逐步深化的.開始學習時，有小學時學習的因數分解作為基礎知識，學生初步接受因式分解并不會感到困難，而深入了解是在學習因式分解基本方法過程中逐漸做到的.特別地，讓學生感知因式分解是代數式恒等變形中的一種重要變形，必須符合特定的形式，表述規范統一，明確指出具備如下特征：①結果一定是積的形式；②每個因式必須是整式；③各因式要分解到不能再分解為止.

3.運用導引，強化提高——幫助學生提升解題智慧

例1分解因式：-2（x-5）2+32.

解法1：原式=2［16-（x-5）2］=2（4+x-5）（4-x+5）=2（x-1）（9-x）.

解法2：原式=-2［（x-5）2-16］=-2（x-5+4）（x-5-4）= -2（x-1）（x-9）.

師：這里將（x-5）看作一個整體，使運算更簡潔，這一點做得很好！

變式1：將多項式-2（x-5）2+32中的32改為-20x+ 100，分解因式-2（x-5）2-20x+100.

解法1：原式=-2（x-5）2-20（x-5）=-2（x-5）（x-5+10）=-2（x-5）（x+5）.

解法2：原式=-2（x2-10x+25）-20x+100=-2x2+20x-50-20x+100=-2x2+50=-2（x2-25）=-2（x-5）（x+5）.

變式2：將多項式-2（x-5）2+32中的32改為20x-150，分解因式-2（x-5）2+20x-150.

解法1：原式=-2（x-5）2+20x-100-50=-2（x-5）2+20（x-5）-50=-2［（x-5）2-10（x-5）+25］=-2（x-5-5）2=-2（x-10）2.

解法2：原式=-2（x2-10x+25）+20x-150=-2x2+20x-50+20x-150=-2x2+40x-200=-2（x2-20x+100）=-2（x-10）2.

變式3：將分解因式-2（x-5）2+32改為計算［-2（x-5）2+ 32］÷（9-x）.

師：運用因式分解法進行多項式除法的本質就是：通過換元的思想，轉化為單項式與單項式相除.

變式4：將分解因式-2（x-5）2+32改為解方程-2（x-5）2+32=0.

師：運用因式分解法解一元二次方程也是因式分解的一個比較重要的運用，通過因式分解把二次方程轉化成已經學過的一元一次方程來解決.

例2分解因式：（x2-5x）（x2-5x+10）+25.

解：原式=（x2-5x）2+10（x2-5x）+25=（x2-5x+5）2.

變式：分解因式：（x2-5x+4）（x2-5x+6）+1.

解法1：原式=（x2-5x）2+4（x2-5x）+6（x2-5x）+24+1=（x2-5x）2+10（x2-5x）+25=（x2-5x+5）2.

生：這里仍然將（x2-5x）看作一個整體.

解法2：原式=（x2-5x+4）（x2-5x+4+2）+1=（x2-5x+4）2+ 2（x2-5x+4）+1=（x2-5x+4+1）2=（x2-5x+5）2.

生：這里將（x2-5x+4）看作一個整體.

解法3：原式=（x2-5x+6-2）（x2-5x+6）+1=（x2-5x+6）2-2（x2-5x+6）+1=（x2-5x+6-1）2=（x2-5x+5）2.

生：這里將（x2-5x+6）看作一個整體.

我們發現，這里既可以將（x2-5x）看作一個整體，也可以將（x2-5x+4）看作一個整體，將（x2-5x+6）看作一個整體也可以！

解法4：原式=（x2-5x+5-1）（x2-5x+5+1）+1=（x2-5x+ 5）2-1+1=（x2-5x+5）2.

師：同學們善于觀察所給代數式的特征，有些可先借助整式的乘法進行適當變形，同時可考慮利用常用的整體換元的思想方法靈活解決問題，確實很精彩！

評析：在形成“提、套、查”的解題操作系統后，及時安排了強化環節.這個強化是通過一個“變式”系列來實現的.這個系列即圍繞“提、套、查”來設置，又蘊含了整體思想，設計層層遞進，目的不僅是讓學生能理解掌握常用的方法直接套用公式來解決，而且進一步讓學生體驗理解因式分解公式中的字母可以代表任何的數、任何的整式.由于給出的代數式的復雜性，讓學生學會觀察和類比，明白因式分解與整式乘法的區別和聯系，而不是盲目地展開計算.變式3與變式4充分體現了因式分解的重要作用和廣泛應用.通過本例的學習，也讓學生感受到數學中一些重要的思想方法——整體、換元、類比等思想方法，從而發現可以“整體”處理問題，達到靈活運用整體思想的提升，起到激活學生思維的作用.

例3（1）用如圖1所示的兩種正方形紙片各1張、長方形紙片2張拼成一個大的正方形，并運用拼成的圖形驗證將一個多項式分解因式，并寫出這個因式分解.

圖1

在黑板上用磁條放置如圖1所示的四張紙片，讓學生上臺進行拼接.

（2）若現在有如圖2所示的1張邊長為a的正方形和9張邊長為b的正方形，問：還需幾張長為a、寬為b的長方形，才能拼成一個新的正方形？

圖2

（3）假如要將多項式a2+3ab+2b2分解因式，你將利用什么圖形的面積關系，將它分解因式？

師：先來解決問題（1）.

生：拼得一個新的正方形，邊長為a+b.

生：可以驗證a2+2ab+b2=（a+b）2.

師：很好，請問同學們，你驗證的依據是什么？

生：根據拼接前后圖形的總面積不變，得到一個恒等變形.

師：這就是數學中很重要的數學思想——數形結合，由圖形中隱含的一個等量關系：拼接前后面積不變，得到了一個重要的數學公式，這種方法類似地可以推廣到一些代數式變形中.

師：請同學們以小組為單位，對問題（2）、（3）進行合作探究.

思考：（2）中利用圖形的面積關系進行因式分解，你還能用學過的知識進行分解嗎？

師：a2+3ab+2b2這個式子中有沒有你熟悉的部分？

生：a2+2ab+b2.

師：若從a2+3ab+b2中拆分出a2+2ab+b2后，還剩下什么呢？

學生嘗試：a2+3ab+2b2拆分成a2+2ab+b2+ab+b2=（a+ b）2+b（a+b），到了這一步，大多數學生就知道怎么完成了.

評析：對例3中（3）的追問，讓學生進一步感受因式分解的魅力，培養了學生的數感.通過對多項式進行局部分解，從而達到整體分解的目的，再一次體現轉化思想和整體思想在數學中的應用.本問的設計也是對已學知識的補充提高.本例通過讓學生親自動手拼接，充分感悟數形結合和面積思想，問題設置由淺入深，能有效拓展學生的數學思維，激發和培養學生的探究能力和學習熱情.

4.課堂小結，信息儲存——幫助學生形成深刻思維

師：在本節課的學習中，你在知識層面、思想方法層面都有哪些收獲？還有哪些困惑？（帶領學生完善“收獲之樹”整理知識）

評析：與開頭呼應，在知識框架中結束.隨著一節課的學習，不僅已有的“知識大樹”茁壯成長，而且新的“知識枝葉”不斷茂盛，注重基本套路，突出數學思想方法，提升解題能力，同時讓學生感受到知識在網絡下的建構呈現出條理性和系統性，便于理解和掌握.

5.作業布置，深化提高——幫助學生鞏固解題經驗

五、教學反思

復習課不是簡單的重復操練，通過復習課教學，不僅要幫助學生梳理所學知識、總結解題方法、體驗數學思想，還要讓這些舊知識、舊方法、舊思想煥發出新的光彩，成為學生后續學習的動力，因此復習課要立足基礎，著眼能力，關注發展.

1.任務驅動回顧，呈現知識“新”脈絡

知識梳理是復習課教學的重要目標，而知識結構圖往往是實現這一目標的重要手段.由教師歸納總結數學知識，往往事倍功半，學生只是被動地接受，沒有內化的過程.引導學生畫結構圖，好比是“要把一顆顆美麗的散落的珍珠串成一串漂亮的項鏈”，能夠把思考的機會轉給學生，讓學生在親歷中“心領神會”.

2.學生批改糾錯，搭建學習“新”平臺

設置并組織“當小老師”的活動，為學生“主動學習”搭建高效的學習“平臺”，讓學生在一定的情境中，通過獨立探究、合作交流等個體活動和社會活動積極主動地完成知識重構.在辨析知識真偽和錯因剖析的過程中，打牢基礎，提升興趣，使學生對知識的理解程度、方法的掌握程度不斷提升，對知識與方法形成整體認識，并發展為具體的解題操作系統.

3.追求實效巧設計，編排思維“新”例題

復習課中的例題是回顧本章的基礎知識、鞏固基本技能的重要工具，需要推陳出新，整合新授階段的例題和練習題，所編排的例題應該具有綜合性、延伸性的特點，并能夠有一定的螺旋上升和積極的思維傾向.分解因式-2（x-5）2+32，要求學生善于觀察代數式的特征，靈活選擇方法解決問題，在潛移默化中向學生滲透一些重要的思想方法——整體思想.分解因式（x2-5x）（x2-5x+10）+25與a2+3ab+2b2，能使學生激活原有的知識與技能，感受類比、化歸、數形結合等思想方法，使學生能站在知識系統的高度再一次感悟因式分解的知識，完成從基礎知識、基本技能的掌握到數學思想和方法的領悟應用.

4.加強變式重發散，培養解題“新”習慣

緊貼教學需要，不貪多不貪深，在務“實”求“新”的設計理念指引下進行變式，一方面能促進學生“做一題，會一類，通一片”，有效提高解題能力，又能在變式過程中促進學生透過形式看本質，提升學生的數學認知水平，拓展學生的思維方式.例1的4個變式和例2的變式注重因式分解的基本套路，滲透整體、轉化、換元等思想方法，同時讓學生深刻地體會到萬變不離其宗，培養學生的應變能力，獲得應用思想方法解決問題的經驗和培養學生的創新意識，有效落實“四基”，發揮出例題在教學中的最大效益.

1.徐有祥，戴世宏.任務導引式的數學復習課教學設計［J］.數學教學，2013（10）.

2.戴錦祥.追求“新”意，復習課應有的教學指向［J］.中學數學（下），2013（11）.Z