數學課堂中積累活動經驗路徑的再思考*

☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

數學課堂中積累活動經驗路徑的再思考*

☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

筆者曾以“從激活到升華：積累數學活動經驗的基本路徑［1］”為題，并以“相似三角形的條件（4）”為例，“從積累數學活動經驗的視角來研究課堂教學的基本路徑，將初中數學課堂分為經驗激活、經驗積累、經驗遷移與經驗升華等活動經驗的四個層次”，以課堂觀察者的角度談了自己的粗淺認識.俗話說，百聞不如一見，百見不如一做.2015年3月25日，在江蘇省中小學教學研究室“教學新時空——名師課堂”直播活動中，筆者也執教了同樣的課題，并以這節課為載體，以“數學活動經驗：從激活到升華”為主題，與幾位專家和網友進行了網絡研討.通過自身的教學實踐，經歷與幾位專家、網友的研討過程，筆者對數學活動經驗產生了新的感悟，對數學活動經驗在數學課堂教學中的意義、對數學活動經驗在學生數學認知能力發展中的作用有了更深刻的理解.

本文擬從研討主題的選擇緣由、課堂教學中積累數學活動經驗的路徑，結合自己的教學實踐，談談自己的新認識，并對“經驗激活”環節談談自己的再思考.

一、關于研討主題的選擇

關于主題的選定，筆者基于三個方面的考慮.有課標理念的考慮，有學生認知的考慮，也有課堂教學方面的考慮.

1.從課標理念層面考慮

杜威認為：教育就是經驗的改造或改組.人的成長過程是基于已有經驗，不斷獲得新經驗、積累新經驗的過程.2011版《義務教育數學課程標準》（以下簡稱“課程標準”）［2］首次提出了“四基”的要求，把基本活動經驗與基礎知識、基本技能、基本思想放在同等重要的位置.統計發現，“經驗”一詞在“課程標準”中出現了42處.著名教育教學論專家裴娣娜在談到“經驗”時說，人如果只有知識，沒有經驗是不完整的.人的知識總是從已有經驗出發，在活動中建構；方法、思想在活動中感悟，而經驗也在活動過程中積累、內化、升華.史寧中認為：數學基本活動經驗包括兩個方面，一個是“實踐活動的經驗”，一個是“思維活動的經驗”.積累“思維活動經驗”是數學課堂教學的一項重要目標，如何在課堂教學中落實這個目標，是值得大家思考的問題.

2.從學生認知角度考慮

筆者認為，數學活動經驗對于學生數學學習活動的順利進行有著十分重要的作用.不管是數學探究活動，還是數學思想方法的領悟、數學觀念的形成，都會受到學生已有的數學活動經驗的影響.學生已有的數學活動經驗，可能會促進學生更加高效地積累新的、更高層次的數學活動經驗，快速地理解掌握新的知識.但是學生已有的數學活動經驗也有可能干擾甚至阻礙學生新的更高層次的活動經驗的積累，造成對新知識的錯誤理解.如何在課堂教學中發揮學生已有經驗的積極作用，值得我們實踐與反思.

3.從數學教學角度考慮

很多一線教師對基礎知識的教學、基本技能的訓練、基本思想方法的滲透都有自己的思考，談起經驗來也是如數家珍，但當談到如何將數學基本活動經驗落到實處時，卻出現了不少的疑問與困惑：一是過程性問題，即數學活動經驗的積累應該是怎樣的過程；二是合理性問題，即在具體的教學過程中，安排怎樣的活動才能有利于學生獲得經驗；三是差異性問題，即同一個活動不同學生活動的經驗有什么不同；四是思維性問題，即如何在“做”的基礎上，幫助學生通過“思考”獲得數學活動經驗.這些都值得初中數學教師去思考.

基于以上原因，筆者將活動主題確定為“數學活動經驗：從激活到升華”.

二、課堂教學中積累數學活動經驗的路徑新認識

文1將基于數學活動經驗的課堂分為經驗激活、經驗積累、經驗遷移和經驗升華四個環節.在課堂教學中，筆者將原有的環節調整為：（1）激活經驗，提出猜想；（2）探索猜想，積累經驗；（3）運用新知，內化經驗；（4）反思建構，升華經驗四個環節，同時優化、豐富了四個環節的內涵.即通過問題串激活學生的已有經驗，并在問題類比中提出猜想，接著通過探索活動來積累經驗，再通過知識運用來內化經驗，最后通過學生自主反思建構來升華經驗.四個環節逐步遞進、螺旋上升，每個環節都有不可或缺的作用.

1.激活經驗，提出猜想

首先，筆者設計一個簡單問題：

如圖1，在△ABC中，M、N分別是AB、AC的中點，連接MN.△AMN與△ABC相似嗎？為什么？

學生在“做”數學的活動中，自主構建得到了三種不同證法：①由三角形兩邊的中點聯想到三角形中位線的平行功能和平行線截相似三角形，激活出“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交”的模型得到了證法1；②由三角形兩邊的中點聯想中點的性質，結合公共角，激活出“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形”的模型得到了證法2；③由三角形兩邊的中點聯想到三角形中位線的平行功能和平行線的性質，激活出“兩角相等的兩個三角形”的模型得到了證法3.通過問題的解決，復習了三角形相似已有的三種判定方法，激活了學生已有的經驗.

其次，設計了如下的問題串.

問題1：上面的3種思路實際上是我們已經學習過的“說明三角形相似”的3種條件，請誰再說一遍？

問題2：三角形相似的判定與我們學過的什么知識類似？判定2、3分別對應于什么？

問題3：一般三角形全等的判定還有什么定理？

問題4：你能否類比三角形全等的“SSS”，猜想三角形相似判定的類似結論嗎？

圖1

通過問題串，在進一步激活學生已有認知經驗的基礎上，引導學生通過類比聯想得出“三邊成比例的兩個三角形相似”.問題2引導學生類比聯想全等三角形的判定定理與對應的相似三角形的判定定理，由三角形全等的兩種判定方法，縱向聯想到三角形全等的第三種判定方法，進而得到問題3；由于經驗得到激活，學生自然會進行橫向聯想得到問題4，由全等的“SSS”類比猜想到“三邊成比例的兩個三角形相似”的新結論，從而利用類比的方法探索新知的數學活動經驗得到了進一步提升.

文1中的案例的經驗激活過程僅僅通過對簡單問題的一題多證的活動，激活學生已有的“三角形相似的三個判定”經驗，為探究“三邊對應成比例的兩個三角形相似”作鋪添.而本案例的設計在原有經驗激活基礎上，通過已有的數學結論類比出新的猜想，提出新的問題.這種基于認知的思想滲透、思維發展式的安排更為合理.

2.探索猜想，積累經驗

探索猜想、積累經驗的過程是數學活動經驗發展過程中很重要的一個環節，這個過程將文1所述的經驗積累、經驗遷移與經驗升華三個環節一并納入“探索猜想積累經驗”環節，并根據經驗的個體性（差異性）和遷移性特點進行教學實踐.

（1）差異性是經驗積累的顯著特征.

經驗是個體的主觀認識，而每個人的認知基礎不同，不同的人對同一問題的理解也不盡相同.例如，為了探索“三邊成比例的兩個三角形相似”這個猜想的正確性，學生按照自己的經驗，自主建構對這一個數學結論的理解，有的從合情推理的角度，試圖通過畫特殊圖形來驗證；有的從演繹推理的角度，試圖用推理來證明.在探索猜想的證明途徑時，直接證明△ABC∽△DEF有困難，學生又以原有的知識經驗為基礎，建構出將證明三角形相似轉化為證明三角形全等的策略，從而把問題轉化為已經解決的問題；在“邊邊邊”相似定理的證明過程中，對于相似比為2這一特殊情況證明思路的探索，學生依據自己原有的知識經驗，可得到多樣化解決方法：一是取AB的中點M，過點M作MN∥BC交AC于點N；二是分別取AB、AC的中點M、N，連接MN（如圖2）；三是延長A′B′到點D，使A′D= AB，過點D作DE∥B′C′交A′C′的延長線于點E；四是分別延長A′B′、A′C′到點D、E，使A′D=AB，A′E= AC，連接DE（如圖3）.不同學生經歷同一數學活動過程，獲得解決問題的不同經驗.

圖2

因此，我們在進行教學設計時，要關注學生的個體特征，根據不同學校、不同班級、不同層次學生的不同感悟和體驗，制定多樣化的學習活動方案，使不同的學生獲得切合自己的活動經驗，達到“大家不同、大家都好”的效果.

（2）遷移性是數學活動經驗的一把雙刃劍.

遷移性是經驗的另一個顯著特點.經驗的遷移分為正遷移與負遷移.所以經驗遷移是一把雙刃劍.在教學過程中要強化正遷移，減少負遷移.

在第二個教學環節中，筆者從探究思路、證明方法兩個方面充分發揮正遷移的積極作用.一是探究思路的遷移：前面探索兩個三角形相似的條件時，學生已經經歷了作圖（相似比為2）—檢驗再作圖（相似比為k）—再檢驗的活動過程，初步積累了探究兩個三角形相似的條件的經驗，這節課教者充分利用學生的這些經驗，讓學生定量感知判定三角形相似的新條件——三邊成比例的兩個三角形相似；二是證明方法的遷移：直接證明△ABC∽△A′B′C′有困難，教者著力引導學生聯想借鑒“問題2”的思路，將證明方法遷移過來，通過作平行線構建橋梁來溝通△ABC與△A′B′C′的關系，即把要解決的問題轉化為已經解決的問題，完成了從定量到定性證明相似三角形判定新定理的任務.

圖3

3.運用新知，內化經驗

陶淵明在《飲酒》中寫道：此中有真意，欲辨已忘言.數學活動經驗常會給人“只可意會，不可言傳”的心理感受.我們都有過這樣的經歷，在解決某個數學問題時，一看題目就會做，但問是怎么想到的，有時卻難以表達.這就是經驗的又一個特點——內隱性.原來四個板塊只限于定理的探索的四個過程，但知識運用過程就是經驗內化的過程.

在探索“邊邊邊”相似條件定理的證明時，學生“過點M作MN∥BC交AC于點N”，這是學生自然的行為，什么原因促使學生這么做？學生或許缺乏思考，這里實際上就是前面證明“角角”判別法、“邊角邊”判別法中，添加輔助線的經驗在學生潛意識里發揮作用.再如“邊邊邊”相似條件定理的證明，學生能夠想到從相似比是2的情形開始，就是源于學生潛意識中長期積累起來的從特殊到一般研究問題的經驗使然.由此可見，數學活動經驗很多都是內隱的.

教學中，應當努力使隱性的活動經驗顯性化，才能將經驗轉化為可觀察的、可落實的、可檢測的數學能力.一方面，通過探索，學生感受到了猜想的正確性，但這還是內隱的經驗，此時必須明確：以后應該作為定理直接運用，證明相似又多了一種方法；另一方面，學生對定理的外延、內涵是否真正理解與掌握，就必須通過關聯、辨析、變式三種途徑內化新經驗.

（1）通過知識之間的聯系來內化.

比如直線、射線、線段的教學中，通過比較它們之間的聯系與區別來內化知識.如通過一元一次方程與一元一次不等式的解法的比較，來內化一元一次不等式相關知識.憑借學生的經驗，注意知識之間的聯系，強化對新知識、新經驗的理解，更有益于學生掌握數學本質.

（2）通過知識與方法的辨析來內化.

例如，在本節課的經驗內化環節中，筆者安排了如下一個例題.已知△ABC的三邊分別為AB=4cm，BC= 6cm，AC=8cm.根據下列條件，判斷△DEF與△ABC是否相似，并說明理由：

①DE=12cm，EF=18cm，DF=24cm；

②DE=14cm，EF=9cm，DF=6cm.

①中兩個三角形是相似的，而②中兩個三角形是不相似的.通過這個反例讓學生進一步加深對判定相似三角形新方法的理解.再如，在深化有理數乘方的概念的理解時，我們可以安排一個辨析活動，讓學生探索有括號與沒有括號、有分數線與沒有分數線的區別，通過這個辨析來強化學生對底數為負數、分數時書寫注意點的認識，使學生對有理數乘方的認識經驗得到內化提升.教學中要通過對相似、相近、易混淆知識的辨析對比，幫助學生弄清內涵、明確外延、揭示特征、理解本質，內化所獲得的新經驗.

（3）通過問題的變式與解決內化.

如例2（教材的例5），如圖4， E是四邊形ABCD內一點，

圖4

（1）∠1與∠2相等嗎？為什么？

（2）判斷△ABE與△ACD是否相似，并說明理由；

（3）如圖5，若點B、E、D在同一條直線上，BD與AC相交于點F，圖中還有哪些三角形相似？

圖5

本題是課本例題、習題的整合改編，采用強化條件、擴充結論的一般到特殊的演變方法.（1）的解決是剛剛獲得的判定兩個三角形相似的經驗——邊邊邊判定法的直接運用，同時也是前面學習的判定兩個三角形相似的經驗——邊角邊判別法的內化運用；（2）的解決是前面所學的知識、積累的經驗的綜合運用，不僅要判定是否相似，還要進行方法的選擇與優化，對于初學習相似三角形知識的學生而言，具有一定的難度，留給學生課后思考；（3）進一步特殊化，利用已經證明了的相似三角形對應角相等，轉化得到結論，問題的設計充分體現了經驗內化指向.

通過問題解決能否內化知識還取決于問題的設置，所設計的問題要具備四個特征.一是關聯性，所選擇的內容與所學知識關聯，即緊扣本節課的知識目標；與教材關聯，即理解教材、用好教材；與學生認知關聯，即要符合學情.二是層次性，即分層設計，既要有基本題，也要有中檔題，還要有變式拓展提高的能力題.三是生成性，這是知識、能力、情感態度和價值觀等方面的追求.四是思想性，數學思想方法是數學教學的核心，例題、習題的選擇和設計要注意包含數學思想方法的滲透.

4.反思建構，升華經驗

寫作中有一個“鳳頭豬肚豹尾”的說法，一節數學課的結束部分猶如文章的結尾，尾收得好就是畫龍點睛，否則效果就適得其反.文1的“經驗升華”過程僅限于猜想結論的一般化證明，這里將原有“經驗升華”環節賦予了新的內涵，通過學生的自主反思、自主建構，將探索獲得的新經驗上升為內在的、穩定的知識、方法和思想，同時引發新的問題、新的思考.

（1）在反思中建構網絡.

問題1（你學到了什么知識？）和問題2（你掌握了哪些判定三角形相似的方法？）的目的是幫助學生建構知識體系，讓學生的知識結構化；問題3（通過本節課的學習，我們知道探究問題的路徑是什么？）的目的是幫助學生進行探索新知思路的歸納，在這個過程中提煉方法、思想、策略，如類比思想、轉化思想、從特殊到一般與從一般到特殊思想等.這個環節的獨特之處在于：突破了一些課堂小結中的提問泛、大、空的局限性，通過知識、方法、路徑、思想等幾個問題串，引領學生進行反思建構，不僅讓學生從知識、技能方面談收獲，而且要從方法、經驗方面談感悟，使學生的認知水平得到提升，經驗得以升華，問題更具體、指向更明確.

（2）在引導中提出質疑.

好的數學課結尾還有一個重要的功能，那就是引導學生質疑，生成新的問題，讓學生帶著問題走出課堂，讓課堂回味無窮，也為下一節課做好鋪墊，這是課堂的魅力所在.本節課教材練習第2題：如圖6，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標為A（2，0）、B（4，0）、C（0，4），將各頂點的橫坐標、縱坐標都乘2，得相應的點A′、B′、C′的坐標.

（1）畫出△A′B′C′；

圖6

（2）△A′B′C′與△ABC相似嗎？為什么？

在反思建構后，筆者提出了這樣一個問題供學生課后思考：

在網格內以C′（0，8）為頂點畫一個三角形，使其與△ABC相似且面積最大.這其實是在設計懸念，為后續相似三角形的應用教學打下伏筆.

三、“經驗激活”環節的爭鳴與再思考

在網絡研討中，“經驗激活”環節是關注的熱點，引來很多爭鳴.課本在“實踐與探索”中，設計了這樣一個環節：“畫一個三角形與已知三角形相似”，課堂上，是讓學生操作感知，還是給出圖形讓學生直觀感知？筆者（也是執教者）的初衷與點評專家、網友的意見還有一定的距離.

1.專家及網友的建議

專家在點評中認為：教材安排的操作活動，是讓學生通過操作，定量感知判定相似三角形的新條件，為學生從定量到定性形成判定三角形相似的新定理奠定基礎.學生操作雖然費時費力，但如果缺少了外顯操作活動中來自感官的經驗和操作經驗作支撐，那么學生的數學思維活動就成為了無源之水、無本之木，因此，可以嘗試讓學生按照不同的比來畫兩個三角形，從而為數學思維活動提供賴以存在的土壤.

無獨有偶，課堂教學與研討在網絡直播后的第二天，上海復旦大學一位博士在QQ里和筆者私聊，對本節課中問題的引入環節提出了商榷.他認為，學生更需要直覺思維的培養.這節課可以讓學生先作圖：有一個三角形，三邊長度分別為3、4、5，請作出這個三角形.這里故意不給長度單位，學生多半會在自己的作圖紙上先確定一段線段為單位1.由于學生畫出的線段長短不一，作出的三角形也是大小不一，然后問：雖然大家畫的圖形大大小小，各不相同，但是它們之間有沒有關系？相互之間的三角形三邊都成比例，學生一定會從直覺上判斷它們為相似形，從而得到猜想.

2.筆者的初衷

筆者從數學邏輯的角度，在激活經驗的基礎上通過類比提出猜想，這樣的安排基于三點思考.

（1）體現課程標準理念.

新課標強調：學習素材應盡量與學生的生活現實、數學現實、其他學科現實相聯系，學生有現實生活的經驗，有學科內部的經驗，有跨學科的經驗，還有操作的經驗.在本節課備課時，筆者也考慮過幾種問題引入方式.如通過畫圖提出問題；通過提出一個現實情境用原有方法不能判定三角形相似進而提出問題；由特殊情形如三角形的中位線得到的兩個三角形相似，移出形外是否相似進而提出問題；寫出“相似三角形三邊成比例”的逆命題探索其正確性……最后還是選擇通過從數學內部激活舊知、類比提出猜想的方法，同樣體現了課程標準的理念.

（2）符合學生的認知特點.

從學生特征看，作為畢業年級的學生，處于從感性認識向理性認識發展的階段，也必須為進入高年級更多關注學科本質做好思維上的準備，選擇從數學內部入手來激活已有經驗，更能引導學生關注數學本質和思維方式；從學習心理上看，學生對變化的、新穎的事物總是充滿好奇與興趣.教材中前兩個判定定理都是運用畫圖的方法引出問題.本節課一改畫圖引入的方法，學生感受到問題引入方式的變化與多樣，從而激發探究欲望，符合學生的認知特點.

（3）凸顯“三線”教學策略.

本節課教學凸顯三條線，即知識線、思路線和思想線，經驗的激活既有知識之間關系的激活，又有策略的激活，還有探索路徑的激活.而這種激活，又為下面的經驗積累、經驗內化、經驗提升奠定了基礎.一是整體感知知識.通過類比方法提出猜想的過程，盡管三角形相似的“邊邊邊”判定方法還沒有得到證明，但學生對三角形全等與相似的判定方法，三角形全等與相似的關系有了整體的感知.二是整體感知策略.通過三角形中位線得到的兩個三角形相似的證明，以及復習前兩個定理的過程，引導學生對猜想結論探索策略的思考.前兩個定理的證明，都是通過構造第三個三角形，以這個三角形為橋梁，證明這個三角形與原來兩個三角形中的一個全等、一個相似，那么猜想的證明是否可以借鑒這樣的方法呢？三是整體感知思想.由三角形“邊邊邊”的全等判定類比出三邊成比例的兩個三角形相似的類比思想；將證明三角形相似轉化為證明三角形全等的轉化思想；由從證明特殊情形的三角形相似入手推廣到一般情形的三角形相似的從特殊到一般的思想等，學生都在經驗激活環節有所感知.

（4）切合網絡研討主題.

這次網絡研討主題就是“數學活動經驗：從激活到升華”.本節課從數學內部入手來激活學生的經驗，即根據學生的認知基礎和認知結構，設計恰當的問題情境，如由相似的前幾種判定，聯想到全等的三種判定，再由“SSS”類比出三角形相似的又一種判定，進而喚起與激活學生原有的認知經驗，激發認知沖突，為進一步探究新知識、積累新經驗奠定堅實的基礎.這種方式切合了研討主題.

3.筆者的再思考

“課程標準”（2011版）指出：教學中，要“重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程”，教師應盡可能設計現實的情境，讓學生通過操作觀察、歸納抽象、猜想驗證，經歷數學的“再發現”與“再創造”過程，從這個意義上說，專家與網友的觀點有理論依據，也具有實踐意義.這就引發筆者新的思考，在今后的教學研究中，要更多關注、理解并處理好數學直觀與抽象、合情與演繹、操作與思維、自主與合作、探究與講授、情境與體系、知識與情感等諸方面的關系，以本真生態、靈動生成、充滿生命張力的教學活動，讓學生升華活動經驗，綻放生命異彩.

1.錢德春，石建華.從激活到升華：積累數學活動經驗的基本路徑——探索三角形相似的條件（3）教學片斷賞析與思考［J］.中學數學（下），2015（3）.

2.楊裕前，董林偉.義務教育實驗教科書·數學（九年級下冊）［M］.南京：江蘇科學技術出版社，2014.

3.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.Z

*本文素材來源于2015年3月25日江蘇省中小學教研室“教學新時空——名師課堂”初中數學第24場教學與研討內容（相關視頻見http://zxsx.jssjys.com/Html/Article/10951），感謝陳德前、任宏章、黃玉華三位老師參與網絡研討并提供相關素材.