透過現象看本質抽絲剝繭現原形

☉浙江省寧波市鎮海區駱駝中學 劉 紅

透過現象看本質抽絲剝繭現原形

☉浙江省寧波市鎮海區駱駝中學 劉 紅

從近幾年的中考題和模擬考試題來看，某些有一定難度的數學題經過變化引申、層層“偽裝”，看似與圓無關，如果我們能深入挖掘題目中的隱含條件，或整體觀察，或抽絲剝繭，或分解轉化，善于聯想所學定理，巧妙地讓其現出符合題意特征的“原”形，往往能促使問題轉化，使問題中原來隱晦不清的關系和性質在圓中清晰地展現出來，從而起到化隱為顯、化難為易的解題效果.

一、定點定長現“原”形，借力圓形覓通法

圖1

解析：首先利用三角函數即可求得∠BAC=30°，當點D由點B位置向右運動至點C位置時，相應的點B′所經過的路徑是以A為圓心，以AB為半徑，圓心角是60°的弧，利用弧長公式即可解得相應的點B′所經過的路程是

評注：本題是一道單動點和折疊問題，主要考查特殊角的三角函數值、三角形邊角關系以及弧長的計算、軸對稱的性質，此題抓住軸對稱圖形的性質（如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線），推知點B′所經過的路徑是以A為圓心，以AB為半徑，圓心角是60°的弧是關鍵.

例2如圖2，正方形ABCD，已知AB=8，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8.若點P從點A出發，沿A→B→C→D的線路，向點D運動，求點P從點A到點D的運動過程中，PQ的中點O所經過的路徑的長.

圖2

解析：當點P從點A出發，沿A→B→C→D的線路，向點D運動時，不妨設點Q在DA邊上，若點P在點A，點Q在點D，此時PQ的中點O即為DA邊的中點；若點Q在DA邊上，且不在點D，則點P在AB上，且不在點A.此時，在Rt△APQ中，O為PQ的中點，所以AO=PQ=4.所以點O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90°的圓弧上.PQ的中點O所經過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如圖3所示.所以PQ的中點O所經過的路徑的長為3×2π=6π.

圖3

評注：本題涉及點的運動軌跡，解題難點在于分析動點的運動軌跡，需要很好的空間想象能力和作圖分析能力，此題抓住直角三角形的性質（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）推知PQ的中點O所經過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧是關鍵.

例3如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是_________.

圖4

解析：因為M是AD邊的中點，A′M=AM=1，所以點A′在以M為圓心，1為半徑的圓上，因此連接CM，當點A′落在CM上時，A′C長度的最小.過M點作MH⊥CD交CD的延長線于點H，則由已知可得，在Rt△DHM中，DM=1，∠HDM=60°，所以

圖5

評注：本題主要考查菱形的性質及銳角三角函數等知識，本解法簡單，思路清晰，但對學生數形分析與轉化能力的要求較高，需要充分利用軸對稱性進行研究和分析.此題抓住A′M=AM=1推知點A′在以M為圓心，1為半徑的圓上，要使A′C長度的最小即要∠CMA′最小，此時點A′落在NC上是關鍵，并將“兩點之間線段最短”這一原理滲透在具體問題的解決過程中.

二、定線定角現“原”形，細究圓形探聯系

例4如圖6，B是線段AC的中點，過點C的直線l與AC成60°的角，在直線l上取一點P，使得∠APB=30°，則滿足條件的點P的個數是（）.

A.3個B.2個

C.1個D.不存在

圖6

解析：要在直線l上找點P使∠APB=30°，可以構造以AB為邊的等邊三角形ABO，則∠AOB= 60°，然后以O為圓心，AB為半徑，作⊙O，如圖7，因為△ABO為等邊三角形，所以OB∥l，所以點O到l的距離d＜r，所以⊙O與直線l有兩個交點，P1、P2.因為∠AOB=60°，所以∠AP1B=30°，∠AP2B=30°，所以滿足條件的點P的個數是兩個，分別為P1、P2，所以選B.

圖7

評注：本題主要考查了圖形的運動和三角形有關知識，是一個融探究、推理、計算于一體的綜合性試題.在動點的變化過程中探究直線l上滿足∠APB=30°的點P，由圓周角定理“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”或其推論“同弧所對的圓周角都相等”把問題轉化構造圓及直線與圓的位置關系問題.本題體現了數形結合、轉化化歸的數學思想，構造輔助圓，交點立顯現，很好地考查學生分析問題、解決問題的能力.

圖8

例5如圖8，在正方形ABCD中，動點E、F分別從D、C兩點同時出發，以相同的速度在邊DC，CB上移動.連接AE和DF交于點P，由于點E，F的移動，使得點P也隨之運動，若AD=2，試求出線段CP的最小值.

解析：由于點E、F的移動速度相同，可得△EAD≌△FDC，所以∠EAD=∠FDC；因為∠FDC+∠FDA=90°，所以∠EAD+∠PDA=90°，因此點P在運動中保持∠APD=90°，所以點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，如圖9所示.設AD的中點為O，連接OC交弧于點P，此時CP的長度最小，再由勾股定理可得OC=，再求CP=-1.

評注：本題以正方形為背景，借助動點問題計算線段的最小值，主要考查全等三角形、勾股定理的應用及線段的和差運算，將“直徑所對的圓周角是直角和兩點之間線段最短”這一原理滲透在具體問題的解決過程中，本題中隱含的輔助圓，能在一定程度上考查學生構圖的能力（添加輔助線）.

例6如圖10，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，與反比例函數的圖像交于點P（2，1）.

（1）求該反比例函數的關系式.

（2）設PC⊥y軸于點C，點A關于y軸的對稱點為A′.

圖10

①求△A′BC的周長和sin∠BA′C的值；

圖11

因為點M在x軸上，所以點M是⊙E與x軸的交點.

因為EG⊥BC，所以BG=GC=1，所以OG=2.

因為∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，

所以四邊形OGEH是矩形，所以EH=OG=2，EG=OH.

因為1＜m＜2，所以EH＞EC，所以⊙E與x軸相離.

當m=2時，EH=EC，所以⊙E與x軸相切.

a.當切點在x軸的正半軸上時，如圖12所示，所以點M與點H重合.

圖12

當m＞2時，EH＜EC，所以⊙E與x軸相交.

c.當交點在x軸的正半軸上時，設交點為M、M′，連接EM，如圖13所示.

圖13

綜上所述：當1＜m＜2時，滿足要求的點M不存在；

評注：本題考查知識點多，代數與幾何等知識相互滲透，綜合性非常強，難度較大，涉及分類、轉化、數形結合、數學建模等常用的數學思想，考查了學生創造性思維及操作、探究、分析問題等能力，可謂知識與能力齊驅，基本數學思想和基本活動經驗聯動.而第（2）問的②中由條件

幾何動點問題的題型較多，綜合性較強，圖形具有不確定性，尋找解題的突破口是關鍵，這就需要學生能夠仔細分析，抓住問題的本質，挖掘隱含條件和潛在信息，理性分析動點過程中所維系的不變條件，通過幾何構建進行轉化.綜上所述，涉及“定點定長”問題和“定線定角”問題，可通過構造輔助圓讓其現出“原”形，化動為靜，對滿足條件的動點準確地定位再解答，這也是解決此類題的切入點與通法.

1.汪宗興.巧用輔助圓妙解中考題［J］.中學數學（下），2010（11）.

2.沈岳夫.善歸類細分析悟通法促提高［J］.中國數學教育（初中版），2014（12）.H