謀定而后動(dòng)：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決策略

☉浙江省象山縣丹城中學(xué) 奚喜兵

謀定而后動(dòng)：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決策略

☉浙江省象山縣丹城中學(xué) 奚喜兵

一、引言

孫子兵法云：“謀定而后動(dòng)，知止而有得”，意思是說(shuō)：謀劃準(zhǔn)確周到而后行動(dòng)，知道在合適的時(shí)機(jī)收手，會(huì)有收獲.其實(shí)我們?cè)诮鉀Q有關(guān)幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的過(guò)程中，也應(yīng)該采取“謀定而后動(dòng)”的策略，把它理解為尋找固定的元素，挖掘本質(zhì)，從而破解動(dòng)態(tài)難題.

幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱門考點(diǎn)，主要考查點(diǎn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的線段的最大（小）值、指定圖形的面積最大（小）值、指定特征的圖形存在性等問(wèn)題.對(duì)于幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，我們要把握運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，尋找出內(nèi)在固定的元素，謀劃正確的解題過(guò)程，求出最后的答案.本文將以點(diǎn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的線段的最大（小）值問(wèn)題為例，說(shuō)明幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決策略，采用以靜制動(dòng)的手段，分析動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，把握?qǐng)D形特征，確定適合要求的位置，從而加以準(zhǔn)確推理計(jì)算，求得結(jié)果.

二、例題簡(jiǎn)答與評(píng)析

例1如圖1，E是正方形ABCD的邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為4，則線段DH的最小值是_________.

圖1

圖2

分析與簡(jiǎn)答：欲求DH的最小值，考慮點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠AHB=90°固定，即點(diǎn)H在以AB為直徑的⊙P上，如圖2，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”原理，當(dāng)P、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，圖中的點(diǎn)H即為所求.利用勾股定理可以求出PD的長(zhǎng)為2AB=2，此時(shí)DH=PD-PH即為所求的最小值.

【評(píng)注】本題以正方形為背景，借助動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題計(jì)算線段的最小值，主要考查勾股定理的應(yīng)用及線段的和差運(yùn)算，將“兩點(diǎn)之間線段最短”這一原理滲透在具體問(wèn)題的解決過(guò)程中，本題中隱含的輔助圓，能在一定程度上考查學(xué)生構(gòu)圖的能力（添加輔助線）.

例2如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1，D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），以AD為邊在△ABC外作等邊三角形AED，過(guò)D點(diǎn)作DE的垂線，F(xiàn)為垂線上的一點(diǎn)，連接EF，G為EF的中點(diǎn)，則線段CG的長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)___________.

圖3

圖4

分析與簡(jiǎn)答：在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)D、F的變化過(guò)程中，關(guān)注EF的中點(diǎn)G的特殊性：∠CAG固定.取DE的中點(diǎn)P，如圖4，則根據(jù)GP是Rt△EDF的中位線可得GP⊥DE，而AP是等邊三角形ADE的中線，根據(jù)“三線合一”可得AG⊥DE，所以G、P、A三點(diǎn)共線，即∠CAG始終等于60°，于是當(dāng)CG⊥AG時(shí)，CG的長(zhǎng)度最小.由∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1，可求得AC=；由“三線合一”可求得∠CAG= 60°；在Rt△ACG中，由CG=AC·sin∠CAG可以求出結(jié)果.

【評(píng)注】本題是一道雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，主要考查直角三角形與等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)和計(jì)算，可以考查學(xué)生合情推理、準(zhǔn)確構(gòu)圖等分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.在動(dòng)點(diǎn)的變化過(guò)程中，探究線段CG的最小值，轉(zhuǎn)化為線段CG與AG的位置關(guān)系，因?yàn)锳G的位置固定，利用“垂線段最短”這一事實(shí)確定CG⊥AG，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題，結(jié)合三角形中位線定理、三線合一、三角函數(shù)等知識(shí)可以求出CG的長(zhǎng).

例3（2012年寧波）如圖5，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________.

圖5

圖6

分析與簡(jiǎn)答：盡管D點(diǎn)的位置在動(dòng)，引發(fā)⊙O的大小與位置的變化，但是所求的弦EF所對(duì)的圓周角始終等于60°，所以當(dāng)⊙O的直徑最小時(shí)，求得的弦EF即為最小值，于是結(jié)合圖形，如圖6，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，根據(jù)“垂線段最短”可知此時(shí)直徑AD最小，結(jié)合圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等可以求出EF的長(zhǎng).

【評(píng)注】本題主要考查三角形與圓的有關(guān)知識(shí)，是一個(gè)融探究、推理、計(jì)算為一體的綜合性試題.在動(dòng)點(diǎn)的變化過(guò)程中探究線段的最小值，由圓的基本性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為求圓的直徑的最小值，進(jìn)而運(yùn)用“垂線段最短”這一基本幾何事實(shí)，轉(zhuǎn)化為求△ABC的高AD的長(zhǎng)度，然后結(jié)合垂徑定理、勾股定理求出線段EF的長(zhǎng).本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，很好地考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法解決問(wèn)題的能力.

例4如圖7，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在OM、ON上，當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC= 1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到原點(diǎn)O的最大距離為_(kāi)_______.

圖7

圖8

分析與簡(jiǎn)答：在圖形的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，要善于尋找固定不變的元素，并且與所求問(wèn)題中的點(diǎn)D、點(diǎn)O有聯(lián)系，那就是AB的中點(diǎn)P，如圖8，盡管矩形ABCD的位置在動(dòng)，引發(fā)AB的中點(diǎn)P的位置的變化，但是線段OP、DP的長(zhǎng)度始終不變，所以當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知此時(shí)點(diǎn)D到原點(diǎn)O的距離最大，結(jié)合勾股定理可以求出DP=，由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得OP=1，于是最大距離OD= OP+PD可求.

【評(píng)注】本題主要考查圖形的運(yùn)動(dòng)和三角形有關(guān)知識(shí)，是一個(gè)融探究、推理、計(jì)算為一體的綜合性試題.在動(dòng)點(diǎn)的變化過(guò)程中（點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)矩形運(yùn)動(dòng)），探究距離的最大值，由“三角形兩邊之和大于第三邊”把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩條線段的和，利用勾股定理、直角三角形的性質(zhì)分別求出線段OP、DP的長(zhǎng).本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，很好地考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

三、感悟

幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的題型較多，綜合性較強(qiáng)，圖形具有不確定性，尋找解題的突破口是關(guān)鍵，這就需要學(xué)生能夠仔細(xì)分析，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，注重思想方法的運(yùn)用，掌握解題策略.（1）根據(jù)圖形特點(diǎn)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)特征，確定在變化過(guò)程中符合運(yùn)動(dòng)規(guī)律的固定的點(diǎn)的位置；（2）分析圖中某些基本元素之間的固定位置關(guān)系，為計(jì)算最值問(wèn)題提供解題入口；（3）分析圖中的數(shù)量關(guān)系，尋找在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中長(zhǎng)度固定的線段，為兩點(diǎn)間的距離最值計(jì)算做好準(zhǔn)備.

通過(guò)以上幾例可以看出，解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題的過(guò)程比較復(fù)雜，運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想比較豐富，解題的原則是以靜制動(dòng)，動(dòng)中找靜，力爭(zhēng)達(dá)到事半功倍的效果.動(dòng)態(tài)問(wèn)題由于運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的各種情景抽象性強(qiáng)，學(xué)生難以想象，在日常教學(xué)中，應(yīng)從多角度、多層次引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行觀察、分析，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，抓住知識(shí)的本質(zhì)特征；引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，尋找不同條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，尋找普遍適用的規(guī)律；引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、特殊化，追求解題方法簡(jiǎn)潔、明快.

1.田步剛.動(dòng)圓探索型問(wèn)題賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2012（3）.

2.崔恒劉.幾何直觀助解中考動(dòng)態(tài)題的教學(xué)案例分析與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（6）.Z