《數學物理方程》教學的幾點體會

鮑吉鋒

（浙江海洋學院數學系，浙江 舟山 316022）

0 引言

《數學物理方程》以來源于物理、化學、力學等自然科學和工程技術領域的偏微分方程（組）作為主要研究對象，系統地介紹數學模型的導出和各類定解問題的求解方法，討論三類典型方程的適定性基本理論，對提高數學專業人才的數學素養起到十分重要的作用，服務工科學科的功能異常顯著。數學學科本身各分支聯系日趨密切，數學物理方程是溝通數學各分支的重要橋梁，其中最典型的就是微分幾何①。有別于其他課程，《數學物理方程》把數學理論、解題方法和實際應用緊密結合起來了，對培養大學生的科學素養和研究能力有極大的功效。因此，無論從理論還是從應用來看，《數學物理方程》課程都是一門十分重要的基礎課程。為此，各高校紛紛建立網絡精品課程[1-2]，對教學方式、方法加以改進。教學研究論文亦層出不窮[3-4]。

然而，《數學物理方程》始終是本科理科和工科專業課程中的硬骨頭，學生在學習之初興趣濃烈，隨著課程深入，積極性馬上降溫，期末成績普遍不太理想。究其原因，我們將其歸結為如下幾點：第一，課程的知識點多，涉及面極其廣泛，學好這門課程十分辛苦；第二，對于數學專業學生而言，不熟悉物理背景知識導致理解困難，對于工科學生而言，數學基礎欠缺導致學習吃力；第三，這個課程主要以偏微分方程為研究對象，數學推導過程繁瑣，所得到的結果形式復雜，往往以積分或者級數形式表達，其中還免不了使用三角函數或者特殊函數，學生容易產生畏難情緒；第四，該課程與數學其他分支如《數學分析》、《常微分方程》等課程聯系密切，學習過程中新舊知識銜接不暢，學習積極性受挫。

本文針對上述分析得出的問題癥結，梳理所積累的教學經驗，提出五點想法，以期在《數學物理方程》教學改革中拋磚引玉。在課程教學實踐中提高學生的主觀能動性、增強學生的學習能力,是我們一直努力堅守的事業，熱切期盼本課程成為一門生動的、充滿現代氣息的課程。

1 個人體會（教學改革方法與措施）

1.1 加強背景故事介紹，增強趣味性

興趣是最好的老師，提高復雜知識的趣味性可以大大提高學生學習興趣。數學物理方程中所研究的幾類方程的導出都經歷了一個漫長的過程，甚至富有曲折的故事情節，例如Russell與KdV方程的導出就是一個很精彩的故事。此外，達朗貝爾（d′Alembert）對弦振動方程，Fourier對熱傳導方程的研究過程所折射出的科學精神也是特別值得向學生介紹的。現舉兩例加以說明。

熱傳導方程：Fourier在1807年就提交了第一篇關于熱傳導的論文，當時 Laplace（1749－1827）和 Lagrange（1736－1813）等人是評閱人，Fourier在1811年呈上修改過的論文，并得到獎金，但未發表在當時法國科學院《報告》上，1922年Fourier發表了他的名著《熱的解析理論》，兩年后Fourier成為科學院秘書，把1811年修改過的論文，發表在科學院《報告》。《熱的解析理論》該書研究了有限長桿上的熱傳導方程的混合初邊值問題的解，并用今天熟知的分離變量法將解寫成級數。最后一部分討論半無限長桿上的溫度分布，得到Fourier積分，也就是Fourier變換。

這樣一個充滿戲劇性的故事可以立刻提高將學生學習興趣。有心的教師還可以借此機會給學生適當滲透思想教育，教育學生不要憤世嫉俗，人情冷暖古今中外概莫能免，以平常心面對社會現實乃明智之舉。

KdV方程：1834年英國科學家Russell在第十四屆科學進展大會（14th meeting of the British Association for the Advancement of Science）上以《論波動》（Report on Waves）為題生動地描述了他是如何發現孤立波的。因為這個發現在當時看來太違背常理，多次遭到當時權威人物的否定。可是，Russell在自家后花園建立池塘力圖重復自己所看到的場景，雖然最終未能實現，科學精神足以讓人敬仰。

如果老師用英語深情重現Russell在第十四屆科學進展大會報告的情景，效果將是可以預期的 （此處作為資料給出這段話：I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses,when the boat suddenly stopped not so the mass of water in the channel which it had put in motion;it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation,then suddenly leaving it behind,rolled forward with great velocity,assuming the form of a large solitary elevation,a rounded,smooth and well-defined heap of water,which continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed.I followed it on horseback,and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour,preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height.Its height gradually diminished,and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel.Such,in the month of August 1834,was my first chance interview with that singular and beautiful phenomenon which I have called the Wave of Translation[5].）。

1.2 注意前后課程銜接，化解理解困難

《數學物理方程》除了與現實聯系緊密，還與其他數學分支關系密切。與《數學物理方程》聯系最為緊密的課程莫過于《數學分析》，《常微分方程》。可是，這些課程本身難度大，《數學物理方程》中用到的知識點也是當中的難點，例如散度定理，鏈式法則，常系數高階常微分方程的求解等。

《數學物理方程》是高年級課程，數學學科的環環相扣的特征決定了老師授課必須適時注意回顧舊知識，只有做好、做足承上啟下的銜接工作，學生聽課才不至于腦子“斷電”。

例1 在講分離變量法時，必須及時給學生回顧《常微分方程》中的常系數方程求解方法，否則，分離變量所得的常微分方程的求解也會被卡住。又比如《數學分析》中的Fourier級數展開定理本身就不容易記住，如果不及時回顧，學生很有可能在最終確定級數解的系數時不知所以然，而在求解的最后一步卡住。

例2 在講授能量不等式之前，必須花一定時間全面總結《數學分析》中的積分定理，即Green公式，Gauss公式，Stokes公式等。尤其必要補充《數學分析》課后習題中給出的[6]

以及Green第一恒等式：

和Green第二恒等式：

甚至一般的散度定理。我們的經驗是專門制作一個課時的課件系統地加以介紹。

例3 回顧常微分方程的通解結構，幫助理解記憶偏微分方程通解結構。給學生交待：對于常微分方程而言，方程是幾階的，它的通解中就包含幾個任意常數。據此引導學生類比得出：對于偏微分方程而言，方程是幾階的，它的通解中就包含幾個任意函數。此外，結合數學分析，在課程開始階段引導學生推出如下簡單微分方程的通解也是極其必要的。

其中f(·)為任意連續可微函數；

其中 f(·)，g(·)為任意連續可微函數。

1.3 挖掘物理背景，提高記憶效果

《數學物理方程》相對其他數學基礎課程的優勢在于應用性，每一個公式，每一條定理都來源于物理規律。把物理背景交代清楚，學生理解和記憶方面的困難便可大大減輕，學習興趣也會明顯提升。例如波動方程的推導，既可以用牛頓第二定律“F=ma”推導，也可以根據動量守恒定律“沖量=動量改變量”推導；由于“熱量從溫度高的地方流向溫度低的地方”，所以熱傳導方程關于時間是不可逆的。教師結合物理規律來講解，學生結合熟識的物理規律來學習和記憶，自然事半功倍。而且可以幫助學生將短時記憶變成長時記憶。

再舉個具體的例子，初學者對哪怕形式最簡單的初邊值問題

也是望而生畏的。我們的經驗是，通過用“F=ma”和“沖量=動量改變量”兩個物理規律建立方程的過程，學生對弦振動建模已有較深的認識，只是對附加的初、邊值條件很茫然，此時不宜立刻進入達朗貝爾公式和分離變量法來求解。這里我們可以設計例題講解初值條件和三類邊界條件，使之認清定解條件的物理意義，就可以加強印象，既深化了對整個弦振動模型式（3）的理解，又可幫助記憶。

初值條件的認識：

例1 在d處將弦拉到h處靜止（如圖），則初始位置φ(x)有表達式：

例2 弦靜止于平衡位置，經敲擊后開始振動，求初始位移φ(x)和速度 φ(x)。

三類邊界條件的認識：

例1（Dirichlet條件） 長為l的弦兩端固定，則u(0,t)=u(l,t)=0。

例2（Neumann條件） 弦的端點自由滑動，即端點不受垂直方向力的作用，從而張力在垂直方向的分量為零，即ux(0,t)=ux(l,t)=0。

例3（Robin條件） 弦的端點固定在彈性支撐上（彈性系數分別設為 k1，k2）。 根據胡克（Hooke）定律，

在上述特殊例子講解的基礎上，再總結出三類邊界條件，學生往往就可以接受了。

1.4 突出問題實質，繞開復雜計算、證明

《數學物理方程》的計算和證明都是異常復雜的，基礎稍差的學生就有可能因為畏懼困難而中途放棄。對于高年級學生，點撥思路遠比公式演算重要，他們已經脫離了計算的階段了，因為那不是數學的本質。《數學物理方程》求解的一個基本的原則就是“化偏微分方程為常微分方程”[4]，分離變量法，Fourier變換法，Laplace變換法無不體現這一原則，講課過程中應集中精力引導學生“化偏微分方程為常微分方程”，而不是把時間精力耗費在具體的計算上。變分法思想其實就是“求泛函的極值點”，這是又一個本質的東西，教師應根據函數極值的求法，引導學生找“駐點”并最終解決問題，計算當然是次要的東西。因此有經驗的教師往往會只講結構和思路，抓住問題本質，給予學生方法論的引導，才能穩定其情緒，幫助建立信心。下面舉個具體例子來說明。

對于

通過變換：

可將方程式（3）化成

從式（1）發現其通解為：

據此，對于波動方程

可以聯想到完全平方式，形式上將其分解[7]

學生立即可以根據式（6）去推測式（7）的通解形式：

u(x,y)=F(x-at)+G(x+at)

在上述處理過程中，避免了由式（7）化成 uξη(ξ,η)=0 的十分復雜的過程，但是，上述求解過程也并沒有忽略了這種變量替換的思想，實際上包含在由式（4）化為式（5）的過程中了。

1.5 借助數學軟件輔助教學，培養應用數學物理方程的意識

Matlab，Maple，Mathematic等數學軟件都具有強大的處理微分方程的能力，例如Matlab工具箱中的PDE包可以用于求解三類典型二階偏微分方程的定解問題，掌握起來容易，使用起來方便②，還可以通過圖像直觀地演示所得的解[8]。Matlab還有強大的符號運算能力，也可以用于求解通解。其實符號運算功能Maple比Matlab稍勝一籌。如果教學過程中教師能現場演示一兩個例子，并布置相關習題，學生積極性可以極大地調動起來，還可以激發學生主動運用微分方程解決實際問題的意識。

2 結語

教學有法，教無定法，教學理論改革往往仁者見仁，智者見智，教學實踐改革也是八仙過海、各顯神通。教學改革不要拘泥于形式，套用鄧小平同志經濟改革經驗之談：白貓黑貓能逮住耗子的就是好貓，可謂是恰如其分。而且，他人成功經驗往往不可復制。所以，教學改革是沒有止境的，怎么研究都不過分，這就是教學改革的困擾之所在，也是教學改革的魅力之所在。本文只是個人經驗的總結，其適用面的大小無法預知，能夠起到拋磚引玉之功效，便心滿意足了！

［1］http://lgxy.jnu.edu.cn/sxwlfc/Content.Asp?m=24(暨南大學數學物理方程精品課程,負責人:馬宏偉)[OL].

［2］http://desktop.swpu.edu.cn:8000/C1138/zcr-1.htm(西南石油大學數學物理方程精品課程網站,負責人:吳小慶)[OL].

［3］王琦.“數學物理方程”課程教學改革的探索與實踐[J].廣東工業大學學報:社會科學版,2010,2:1-4.

［4］李芳,薛波,曹建莉.“數學物理方程”課程教學改革試探[J].中國電力教育,2011,22:22-25.

［5］L.Rosier,B-Y.Zhang,Control and stabilization of the Kortewege-de Vries equation:recent progress[J].Journal of Systems Science and Complexity,2009,22:647-682.

［6］華東師范大學數學系.數學分析下冊[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.

［7］姜禮尚,陳亞浙,等.數學物理方程講義[M].北京:高等教育出版社,2003.

［8］薛定宇,陳陽泉.高等應用數學問題的Matlab求解[M].北京:清華大學出版社,2004.

［9］谷超豪,李大潛.等,數學物理方程[M].北京:高等教育出版社,2002.

注釋：

①龐加萊(Poincare)猜想這個純幾何問題最終就是轉化成偏微分方程解決的.

②在命令窗口鍵入pdetool即可調用.