關于高中數學數列的解題技巧分析

王玉娟

數列求和一直是數列試題的考察重點，也是解答的難點，掌握良好的解題技巧能在考試中縮短解題時間，提升解題的準確性，實現考試成績的提高，對高中數學學習意義重大。

一、錯位相減

例如，已知數列{an}，n是正整數，a1=1，an+1=2sn，求數列{an}的通項公式an和前n項和Sn。令n=2、3、4…可求得a2=2、a3=6，a4=18、54…，可知數列{an}在n>1時是等比數列，an=2×3n-2;n=1時，an=1。則Sn=1+2×30+2×31+2×32+2×33+…+2×3n-3+2×3n-2，3Tn=3+2×31+2×32+2×33+…+（n-2）2×3n-3+（n-1）2×3n-2+2×3n-1，則數列{an}的前n項和=（3Tn-Tn）/2=3n-1（n>1）;1（n= 1）。由于數列{an}并不是等比數列，所以等比數列求和公式Sn=a1（1-qn）/（1-q）在此并不適用，不過我們發現當n>時，數列{an}是等比數列，且公比是3，這是我們取3倍Sn的原因，也是運用錯位相減法求Sn的關鍵。

二、分組法求和

例如，已知數列{an}，n是正整數，通項公式an=n+3n，求數列{an}的前n項和Sn。令n=1、2、3……可得a1=4、a2=11、a3=30…，那么可知數列{an}既不是等比數列也不是等差數列。不過經觀察可發現，n+3n的前半部分n是等差數列，后半部分3n是等比數列，設bn=n，cn=3n，那么an=bn+cn。等差數列{bn}的前n項和Ln=n+n（n-1）/2;等比數列{cn}的前n項和Mn=3（3n-1）/2，則Sn=Ln+Mn =（3n+1+n2+n-3）/2。對于不用性質組成的數列，進行拆分后求各個子數列的前n項和，然后把各個字數列的前n項和相加即為原來的數列的前n項和。解答這類數列的關鍵是拆分，可拆封成等差數列+等差數列、等差數列+等比數列、等比數列+等比數列的形式，不要拘泥于一種拆分形式，可靈活運用。

三、合并法求和

例如，已知數列{an}，n是正整數，a1=2、a2=7，a3=5，an+2=an+1-an，求S1999。令n=4、5、6…，可得a4=-2、a5=-7、a6=-5…，那么可知數列{an}既不是等比數列也不是等差數列。不過經觀察可發現，a6m+1=2、a6m+2=7、a6m+3=5、a6m+4=-2、a6m+5=-7、a6m+6=-5（k為正整數），也就是說S1998=0，則S1999=0+a1999。因為1999= 6×333+1，所以a1999=2，則S1999=2。運用合并法求和的關鍵是找出數列中特殊項，然后合并特殊項，使其相互消減，然后把剩下的各項相加即求出前n項和，最終順利地解決這個數列問題。

四、反序相加法求和

例如：求cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°，設式①：S=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°，把式①右邊反過來得式②：S=cos289°+cos288°+cos287°+…+cos21°，式①式②相加得：2S=cos21°+cos289°+cos22°+cos288°+cos23°+cos287+…+cos289°+cos21°。因為cosx=sin（90°-x），cos2x+sin2x=1，所以2S=cos21°+cos289°+cos22°+cos288°+cos23°+cos287+…+cos289°+cos21°=cos21°+sin21°+cos22°+sin22°+cos23°+sin23°+…+cos289°+sin21°=89，所以S=44.5，即求出cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°的值。應用反序相加法求和的關鍵是正序公式的各項與其對應的反序各項的和是固定值，然后求出總值并除以2即為所求數列的和。

五、裂項法求和

例如，已知數列{an}，n是正整數，an= ? ? ? ? ? ? ?，求{an}的前n項和Sn。

對an= ? ? ? ? ? ?進行裂項可得：

an=

則Sn=

運用裂項法求和的關鍵裂項的形式要對，以確保除了除公式中間的數據相加等于固定數值，與首數值和末尾數值相加后，求出前n項和。

六、通項求和

例如，求解1+11+111+1111+…+1…11之和，第n項的數值的位數是n。因為1…111= ? （9…999）= ? （10k-1）（k 等于1…111的位數），所以

1+11+111+1111+…+1…11

= ?（101-1）+ ?（102-1）+ ?（103-1）+ ?（104-1）+…+ ?（10n-1）

進行分組求和后：

1+11+111+1111+…+1…11

= ?（101+102+103+104+…+10n）- ?（1 +1+1+1+…+1）（1的個數是n）

= ? ?（10n-1）-

= ? ?（10n+1-10-9n）

運用通項求和的關鍵是把一個數值拆成兩個數值，以便把遵循一個規律的數值集合一起進行求解。

對于數列試題的解答，應在掌握基本概念和性質的基礎上進行，否者任何的解題技巧都將無有武之地。此外，也應學習一些經典的數列模型，以便更快地完成試題的解答。

（作者單位：江蘇省如皋市薛窯中學）