三維球體的貝特朗奇論問題

石業(yè)嬌, 孟憲濤

(1.大連海洋大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院, 遼寧 大連 116300; 2.沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

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三維球體的貝特朗奇論問題

石業(yè)嬌1, 孟憲濤2

(1.大連海洋大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院, 遼寧 大連 116300; 2.沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

介紹了平面上圓的隨機(jī)弦的貝特朗奇論問題,指出了奇論問題具有無窮多個答案,并且答案在一個區(qū)間內(nèi)可連續(xù)取值,給出了奇論問題的簡單解析,把圓上奇論問題推廣到三維空間情形,得出三維球體的貝特朗奇論問題。根據(jù)不同的球截面構(gòu)造方法,給出奇論問題的8種不同解法,得到三維球體貝特朗奇論問題具有無窮多個答案的結(jié)論,且除去個別答案之外,其余答案可在一個區(qū)間上連續(xù)取值。對各種解法進(jìn)行解析,發(fā)現(xiàn)與圓上奇論問題類似,各種解法所確立的隨機(jī)試驗(yàn)各異是造成一題多種答案的直接原因,而根本原因則是在構(gòu)造隨機(jī)弦時對任意性理解的差異。

隨機(jī)截面; 隨機(jī)試驗(yàn); 幾何概率; 奇論

0 引 言

1 球截面的奇論問題

在半徑為R的球上任意作一截面,截面的面積大于球內(nèi)接正四面體一個側(cè)面所在球截面面積的概率P。

圖1 三維空間中球的隨機(jī)截面概率的奇論問題

先求出球內(nèi)接正四面體一個側(cè)面所在的球截面面積和球心到內(nèi)接正四面體側(cè)面的距離。設(shè)半徑為R的球內(nèi)接正四面體V-ABC,如圖1,其一邊長設(shè)為a,則有

2 具體解法

圖2 解法1～解法3構(gòu)造方法

圖3 解法4～解法8構(gòu)造方法

解法6 取球面上一定點(diǎn)A,過A點(diǎn)任作球O的切線MN,再過直線MN作任一平面α,則α與球相交于球的截面⊙O′。設(shè)⊙O′中過A點(diǎn)的直徑的另一頂點(diǎn)為D,則易知過A,D兩點(diǎn)球的大圓與⊙O′垂直,且當(dāng)過直線MN的平面α變化時,D點(diǎn)就在該大圓上移動。取D點(diǎn)為隨機(jī)點(diǎn),根據(jù)截面的任意性,可認(rèn)為D點(diǎn)在過A點(diǎn)且與平面α垂直的大圓上是均勻分布的。

解法8 設(shè)MN為球O的一條定弦,記MN=2AM=2d。過弦MN作球O任意截面⊙O′。

分析此概率P的表達(dá)式可知,P是d的連續(xù)函數(shù),而且是d的增函數(shù)。當(dāng)d=0時(此時弦MN退化為球面上一點(diǎn)),求得

3 結(jié) 語

以上得到的各種問題答案是相對于不同的隨機(jī)試驗(yàn)得到的,而每一種隨機(jī)試驗(yàn)又是相對于一種隨機(jī)截面的構(gòu)造方法確定的,每一種隨機(jī)截面的構(gòu)造方法又是基于對隨機(jī)截面任意性的不同理解所形成的。因此可以說,每一種答案都是正確的。所以這都是由原問題提出的不確定原因,造成了人們在理解上的差異所致。

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Three-dimensional sphere Bertrand paradox problem

SHIYejiao1,MENGXiantao2

(1.Applied Technology College, Dalian Ocean University, Dalian 116300, China;2.School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

This paper introduces the Bertrand paradox problem in a random string on the circle, pointing out that this paradox has infinite answers of continuous values in an intervals and gives a simple analysis to the paradox.The paradox of circle can be applied into the three-dimensional space to obtain the conclusion of Bertrand paradox in three-dimensional sphere.According to the different ball section, eight different solutions to this problem are presented in this paper, proving that three-dimensional sphere Bertrand paradox has infinite answers.Despite individual answer, the rest of the answers can be obtained in a continuous interval.Through analyzing all solutions, we can find similar situations with paradox problem.The immediate reason causing a number of answers is the different randomized trial results, while the essential reason is different understanding of the arbitrary concept when constructing the random string.

random section; random test; geometric probability; paradox problem

2014-02-27。

遼寧省教育廳高等學(xué)校科學(xué)研究項(xiàng)目(20060842); 遼寧省高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(遼教發(fā)[2009]141號)。

石業(yè)嬌(1970-),女,遼寧瓦房店人,大連海洋大學(xué)副教授,碩士。

1673-5862(2015)01-0064-04

O211

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2015.01.014