一類非局部邊值條件拋物型方程組解的性質(zhì)

吳春晨

(福州大學(xué)至誠學(xué)院，福建 福州350002)

文中考慮以下非線性拋物型方程組

其中，m，n，h ＞ 1，a，b，c，p，q，r ＞ 0 為常數(shù)，Ω 為RN(N≥1)中的有界區(qū)域，具有光滑的邊界?Ω，η1(x，y)，η2(x，y)，η3(x，y)≠0 是對于定義在 x∈?Ω，y∈上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，其中(u0，z0，w0)為正的連續(xù)函數(shù)并滿足以下相容性條件:

其中，x∈ ?Ω。

近些年來，許多研究者都致力于探討帶非線性邊界條件的方程組解的性質(zhì)，在熱彈性力學(xué)理論中許多重要的物理現(xiàn)象在模型上可以由非線性耦合的拋物型方程組描述［1－3］。Yongsheng MI等［3］討論了方程組

受此啟發(fā)，文中在與其相同的邊界條件與初始條件下，改變動力項(xiàng)，并把方程擴(kuò)展為3個，即為(Ⅰ)，關(guān)于相同的動力項(xiàng)筆者已做系列研究［4－6］，文中，式(Ⅰ)的解(u，z，w)表示3種混合材料的溫度。

1 預(yù)備知識和定理

記 QT= Ω × (0，T)，

滿足如果將式(1)中的“＜”全部改為“＞”，則可得到式(Ⅰ)的一個上解的定義。比較原理 若為式(Ⅰ)在x∈中的一個非負(fù)上解和非負(fù)下解，且

則在QT中，如果

或

證明方法與文獻(xiàn)［7］相同，故略。主要結(jié)論為

定理1 設(shè)

則當(dāng)pqr≤1，式(Ⅰ)存在整體解;當(dāng) pqr＞1，式(Ⅰ)的解在有限時(shí)刻爆破。

定理2 設(shè)

1)如果pqr＜mnh，則式(Ⅰ)存在整體解;

2)如果 pqr=mnh，則當(dāng) a，b，c充分小時(shí)，式(Ⅰ)存在整體解;

3)如果p，q，r ＞ 1并且pqr ＞ mnh，則當(dāng)(u0，z0，w0)或者a，b，c充分小時(shí)，式(Ⅰ)存在整體解，如果(u0，z0，w0)足夠大，式(Ⅰ)的解會在有限時(shí)刻爆破。

2 整體存在性和爆破的證明

定理1證明 令(f，g，j)是以下常微分方程組的唯一解:

眾所周知，當(dāng)且僅當(dāng)pqr≤1，對某些正的初值(f0，g0，j0)，(f，g，j)會整體存在。如果取

則(f0，g0，j0)為式(Ⅰ)的一個上解，由于

注意到

由比較原理知

于是，當(dāng) pqr≤ 1，(u，z，w)整體存在。另外，如果取

則(f，g，j)為式(Ⅰ)的一個下解，且

由比較原理，有

則對pqr＞ 1，(u，z，w)在有限時(shí)刻爆破，證畢。

定理2證明 令V(x)是在線性橢圓問題下唯一的正解:

其中

選取

使得

由于0＜η(x)＜1，這樣的ε0會存在。令

定義向量值函數(shù)

其中，E，l1，l2，l3＞ 0 待定，則有

另一方面，

1)對于pqr＜mnh的情況，選取l1，l2＞0，l3＞0，使得

且

聯(lián)立式(4)和式(5)，取

則定義在式(3)的(A，Q，Z)是式(Ⅰ)的一個上解，并且

由比較原理知，(u，z，w)≤ (A，Z，Q)，因此(u，z，w)整體存在。

2)對于pqr=mnh的情況，選取l1，l2＞ 0，l3＞0，使得

則對于任意給定的(u0，z0，w0)，選取充分大的E ＞0，使得

設(shè)

易于驗(yàn)證，在 a ≤ a0，b≤ b0，c≤ c0時(shí)，(A，Q，Z)是式(Ⅰ)的一個上解。因此，由比較原理得(u，z，w)整體存在。

3)就pqr＞mnh而言，對于不同的初始值有兩種不同的結(jié)果。對于整體存在部分，相似于1)和2)的證明，首先，選取 l1，l2＞ 0，l3＞ 0，使得

對于任意 a，b，c ＞ 0，

則當(dāng)

時(shí)，(A，Q，Z)是式(Ⅰ)的一個上解，由比較原理知，對于(u0，z0，w0)滿足式(6)，(u，z，w)整體存在。

另一方面，對于任意給定的初始值(u0，z0，w0)，存在適當(dāng)大的常數(shù)E＞0，使得

對于這樣的一個固定的E，設(shè)

則在 a≤ a0，b≤ b0，c≤ c0時(shí)，(A，Q，Z)是式(Ⅰ)的一個上解。由比較原理知，(u，z，w)整體存在。

為了證明爆破部分，考慮以下多孔介質(zhì)問題:

定理2證畢。

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［2］陳玉娟.非局部退化擬線性拋物型方程組解的爆破和整體存在性［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2011，30A(2):386-396.CHEN Yujuan.Blow-up and global existence for a nonlocal degenerate quasilinear parabolic system［J］.Acta Mathematica Scientia，2010，30A(2):386-396.(in Chinese)

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［4］吳春晨.一類非線性拋物型方程組正解的爆破［J］.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，23(3):5-7.WU Chunchen.The blow-up property of positive solutions for a nonlinear parabolic system［J］.Journal of Shanxi Datong University:Natural Science Edition，2012，23(3):5-7.(in Chinese)

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