基于威布爾分布的汽車壽命估計方法

王亞菲，鄔海峰

(1.天津大學管理與經濟學部，天津300072;2.天津大學電子信息工程學院，天津300072)

現代汽車正不斷向更智能、更高速、更復雜、更安全等方向發展，一旦汽車中某部件發生故障，將直接影響整個機車設備的正常運行，甚至威脅到消費者的人身財產安全。準確地預測汽車故障發生率，有助于提高汽車制造業的制造能力，提高汽車安全性能，降低汽車制造者的質保成本。汽車的可靠性分析是預測汽車故障的核心問題，對于汽車制造者和使用者至關重要。

汽車壽命概率分布的參數估計是可靠性分析的重要環節，只有通過參數估計建立合理、精確的統計學模型，才可以準確地預測汽車故障。通過分析汽車壽命數據對汽車壽命概率分布進行參數估計，是掌握汽車產品可靠性的關鍵。

威布爾分布作為一種可靠性模型，由于其合理化建模、數據擬合性好、解析表達式處理方便等優勢，已經在很多領域得到了不同程度的應用與發展［1-9］，它能有效地擬合產品全壽命階段的壽命數據，也可用于模擬失效率的上升、恒定和下降情況。針對威布爾分布的汽車質保數據的參數估計問題，文中對比了極大似然參數估計法和神經網絡估計法的精度，并通過實例驗證了該方法的實用性，為商用汽車的可靠性評估提供直接而有效的參數估計方法。

1 威布爾分布模型

威布爾概率密度函數為

其中，t為汽車使用壽命;β為不同時期故障率曲線形狀的參數;η為衡量平均故障間隔時間的尺度參數。威布爾累積分布函數為

生存函數S(t)和風險函數h(t)分別為

威布爾分布的密度函數、累積分布函數和風險函數分別如圖1～圖3所示。

圖1 威布爾分布的密度函數Fig.1 Probability density function of theWeibull distribution

圖2 威布爾分布的累積分布函數Fig.2 Cumulative distribution function of the Weibull distribution

圖3 威布爾分布的風險函數Fig.3 Hazard function of the Weibull distribution

由圖1～圖3中可以看出，形狀參數β值的不同獲得的曲線形狀有很大區別。

2 浴盆曲線

汽車在使用壽命期內，故障發生率與使用時間有關。故障概率函數隨時間t發生變化，汽車在不同時間段內故障率也不同。圖4反映了設備全期的故障分布，包括早期故障、偶然故障和磨損故障，因其整體形狀像浴盆，稱為浴盆曲線［10］。

圖4 浴盆曲線Fig.4 Bathtub curve

由圖4可以看出，當β＜1時，故障率函數h(t)呈遞減分布，汽車有可能發生早期故障，適于建模早期失效;當β=1時，h(t)為常數，汽車有可能發生偶發故障，適于建模隨機失效;當β＞1時，h(t)呈遞增分布，汽車有可能發生磨損故障，適于建模磨耗或老化失效。威布爾分布的3種故障率β＜1，β=1，β＞1，正好與浴盆曲線的3個階段相對應。

3 參數估計

威布爾分布的參數估計可采用最小二乘估計法［1］、矩估計法［2］、平均秩次法［3］、相關系數估計法［4］、雙線性回歸法［5］、灰色估計法［6］、極大似然估計法［7］和人工神經網絡法(ANN)［10］等。極大似然估計法在已知總體分布且樣本容量足夠大時，根據樣本觀測值出現的概率最大原則，估計總體中未知參數的估計值。極大似然估計法的結果大多具有無偏性、有效性和相合性，是一種最常見最有效的方法。神經網絡法將神經網絡模型引入汽車可靠性研究領域將有助于改進傳統可靠性理論的操作方法，使可靠性模型的建模操作向著智能化方向發展，從而拓寬可靠性工程的應用領域。文中對比研究了極大似然估計法與神經網絡法對汽車壽命數據進行參數估計的結果。

3.1 極大似然估計法

在可靠性分析中，極大似然估計法被廣泛用于威布爾分布的參數估計。假設汽車壽命數據序列為ti，令xi為第i個樣本發生故障的時間，其中i=1，2，…，N，N為本批次生產N臺汽車進行壽命實驗。威布爾分布的似然方程為

通過對似然方程求解偏導數，可得到模型參數的極大似然估計結果:

將式(6)、式(7)進一步整理得

式(10)只有一個自變量β，屬于單變量非線性方程，可通過Newton-Raphson迭代求解，形式如下:

其中，βk為迭代過程中第k次得到的結果;β0為初始迭代值。初始迭代值對此算法的收斂性具有一定影響，一般機械系統壽命估計可取形狀參數為1～10［9］。經過迭代后可以得到 β 的估計值。然后通過式(8)得到η的估計值。

3.2 人工神經網絡法

在可靠性分析中，人工神經網絡法作為一種數學模型被廣泛地用于可靠性模型識別方法及參數估計方法中。神經網絡通過W-H學習規則，或最小均方差算法(LMS)計算權值的變化，并且使網絡誤差的平方和最小化，能夠訓練神經網絡模型的誤差趨于最小值，且不需要導數，具有計算速度快和精度高的優點。

針對基于威布爾分布的可靠性模型，可以采用如圖5中所示的神經網絡結構進行參數估計。

圖5 威布爾分布參數估計的ANN結構Fig.5 ANN structure of the Weibull distribution

該ANN結構關系對應為一元線性方程:

使用式(12)和式(13)的變換，可以將威布爾分布函數變換為

利用文獻［11］中的改進型近似中位秩式(15)，可以直接計算經驗分布函數Fn(ti)并計算得到y。

其中:i為故障汽車的順序號;n為樣本數量。將x，y輸入ANN系統進行若干次訓練，訓練結束后得權值W即為形狀參數β，閥值b為 －βln(η)，從而得到β和η的估計值:

4 應用實例及分析

由實際工程經驗可知，汽車壽命近似服從威布爾分布。選用某型號汽車進行壽命統計實驗，在同樣的生產條件下，樣本數量為30，假設樣本數據服從β=1.001，η=3 569的威布爾分布，具體數據見表1。

極大似然估計法基于Matlab仿真平臺進行參數估計，采用Newton-Raphson法迭代若干次后，達到迭代結果收斂區間為2%，迭代時間為23.5 s。參數估計結果為=0.981=3 639。人工神經網絡法基于Neuro Modeler Plus［12］仿真平臺進行參數估計，采用W-H學習規則進行1 000次訓練，訓練時間為0.01 s。參數估計結果為=0.975=3 650。人工神經網絡法的擬合結果如圖6所示，收斂曲線如圖7所示。

表1 汽車故障數據及中秩位法計算經驗分布函數Tab.1 Automobile life data and calculation of the distribution function using rank-bitmethod

圖6 人工神經網絡法的擬合曲線Fig.6 ANN fitting results

圖7 人工神經網絡的訓練收斂曲線Fig.7 Convergence curve of ANN＇s training error

由圖7可以看出，人工神經網絡的訓練收斂速度很快，這也是運算時間短的原因。

上述兩種方法的參數估計結果與已知假設參數十分接近，并且精度相當。極大似然估計方法對完整數據和截尾數據都是適用的，這在基于汽車質保數據的可靠性評估中更具實際意義。人工神經網絡估計法運算時間短，具有速度快精度高的優點;同時，神經網絡估計法的精度對經驗分布函數精度的敏感性較高，通過提高經驗分布函數的精度，可以進一步提高神經網絡估計法的估計精度。

5 結語

為了對商用汽車的可靠性進行評估，文中對比了基于二參數威布爾分布的極大似然參數估計法和神經網絡估計法，并將這兩種方法應用到某商業汽車的汽車壽命數據分析中。通過實例在估計精度、計算速度和實踐意義上，對這兩種方法進行對比并提出建議，兩種方法在數據適用性及運算速度上各具優點，精度相當。

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