金融資產(chǎn)收益非對稱性的多標(biāo)度分形測度及其在VaR計(jì)算中的應(yīng)用

王 鵬，袁小麗

(1. 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)中國金融研究中心，四川 成都 610074；2. 金融安全協(xié)同創(chuàng)新中心，四川 成都 610074；3.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，四川 成都 611130)

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金融資產(chǎn)收益非對稱性的多標(biāo)度分形測度及其在VaR計(jì)算中的應(yīng)用

王 鵬1,2，袁小麗3

(1. 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)中國金融研究中心，四川 成都 610074；2. 金融安全協(xié)同創(chuàng)新中心，四川 成都 610074；3.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，四川 成都 611130)

通過提煉多標(biāo)度分形分析過程中所產(chǎn)生的對描述金融資產(chǎn)收益非對稱特征有益的統(tǒng)計(jì)信息，提出了一種新的資產(chǎn)收益非對稱測度——多標(biāo)度分形非對稱測度(Multifractal asymmetry measurement)Δf，并以滬深300指數(shù)長達(dá)7年左右的5分鐘高頻數(shù)據(jù)為實(shí)證樣本，通過兩種不同的VaR后驗(yàn)分析(Backtesting analysis)方法，實(shí)證對比了Δf測度和傳統(tǒng)的偏度系數(shù)(Coefficient of skewness)測度在市場風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算準(zhǔn)確性方面的差異。實(shí)證結(jié)果表明：基于Δf測度的市場風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算模型的VaR計(jì)算精度優(yōu)于基于偏度系數(shù)測度的對應(yīng)模型，Δf測度具有較偏度系數(shù)測度更為優(yōu)異的對金融資產(chǎn)收益非對稱特征的刻畫能力。

多標(biāo)度分形理論；非對稱測度；風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值；后驗(yàn)分析

1 引言

20世紀(jì)90年代開始，對金融資產(chǎn)收益非對稱特征進(jìn)行檢驗(yàn)和描述的相關(guān)研究開始逐漸興起，并在最近幾年得到了越來越多的重視。這不僅是由于金融資產(chǎn)收益分布的非對稱性是投資組合選擇過程中應(yīng)該考慮的一個(gè)重要因子，而且還對金融風(fēng)險(xiǎn)識(shí)別與測度和衍生品定價(jià)的準(zhǔn)確性等都有較大影響[1-4]。

在上世紀(jì)90 年代，“標(biāo)度理論之父”Mandelbrot 先后兩次指出多標(biāo)度分形理論是一種刻畫金融資產(chǎn)價(jià)格復(fù)雜波動(dòng)特征的有力工具[5,6]。在Mandelbrot 開創(chuàng)性思想的指引下，金融復(fù)雜性領(lǐng)域的學(xué)者對來自不同發(fā)展階段資本市場以及不同交易品種的金融時(shí)序開展了大量卓有成效的實(shí)證研究[7-11]。他們的研究表明，無論是成熟資本市場，還是新興資本市場，無論是貴金屬市場、原油市場，還是外匯市場和股票市場，盡管其交易標(biāo)的、投資者構(gòu)成、監(jiān)管制度和交易制度等都有很大不同，但在價(jià)格變化(收益率)中都存在著明顯的多標(biāo)度分形特征。Faruk和Ramazan[12]明確指出，金融市場中多標(biāo)度分形現(xiàn)象的普遍存在，表明了現(xiàn)有的金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)特征主流研究中的眾多統(tǒng)計(jì)推論也許并不具有廣泛代表性。因此，上述這些已有的工作積累都為我們下一步運(yùn)用多標(biāo)度分形理論來進(jìn)行金融市場的波動(dòng)率測度以及風(fēng)險(xiǎn)管理研究提供了堅(jiān)實(shí)的理論和實(shí)證依據(jù)。

目前，文獻(xiàn)中用于測度金融資產(chǎn)收益非對稱性的主流方法是基于定義為隨機(jī)變量分布標(biāo)準(zhǔn)化三階中心矩(The Standardized Third Central Moment)的偏度系數(shù)(Coefficient of Skewness，簡記為CS)[13-15]。然而，CS測度往往不適用于對實(shí)際金融資產(chǎn)收益非對稱性的檢驗(yàn)，原因在于在運(yùn)用偏度系數(shù)進(jìn)行非對稱性檢驗(yàn)時(shí)，決定所得結(jié)論有效性的關(guān)鍵不僅在于資產(chǎn)價(jià)格變化之間的獨(dú)立性，而且還取決于其對資產(chǎn)收益服從正態(tài)分布這一重要前提假定的滿足[16]。換句話說，當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格變化(收益率)不服從正態(tài)分布或相互間不獨(dú)立時(shí)，基于傳統(tǒng)偏度系數(shù)的非對稱性判斷結(jié)論是非常值得懷疑的。然而，眾多嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)證研究早已表明，盡管金融資產(chǎn)收益水平值的相關(guān)性并不明顯，但收益率的平方(或絕對值)之間卻往往呈現(xiàn)出較強(qiáng)的正相關(guān)，這說明不同時(shí)點(diǎn)上的資產(chǎn)價(jià)格變化(收益率)并不是獨(dú)立的[17-20]。除此之外，在常用的抽樣頻率上(如日收益率或周收益率)，正態(tài)分布假設(shè)更是會(huì)被強(qiáng)烈拒絕[21-25]。另外，偏度系數(shù)還有一個(gè)明顯的缺陷在于：它是一種平均數(shù)意義上的非對稱性測度，因此對樣本數(shù)據(jù)中的極端值(Outliers)非常敏感。然而，實(shí)際金融市場中的投資者對新信息的反映是非線性的，他們往往是以累積的方式對利空和利好消息進(jìn)行消化。當(dāng)利空(利好)消息持續(xù)到來時(shí)，他們往往會(huì)在某個(gè)“臨界值”或“閥值”(Threshold)附近對這一系列的沖擊加以集中反應(yīng)，從而導(dǎo)致市場波動(dòng)極端值出現(xiàn)的頻率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于“有效市場假說”(Efficient Market Hypothesis，EMH)所認(rèn)為的正態(tài)分布中的情況[24]。因此，我們認(rèn)為，主流的金融資產(chǎn)收益非對稱性檢驗(yàn)方法在這里出現(xiàn)了明顯的測度缺陷和研究不足。

經(jīng)過較長時(shí)間的前期研究，我們發(fā)現(xiàn)，多標(biāo)度分形分析技術(shù)實(shí)際上為傳統(tǒng)的收益率非對稱性研究中存在的諸多問題提供了極具針對性的解決方案。例如，多標(biāo)度分形分析技術(shù)在本質(zhì)上仍屬于非參數(shù)(Nonparametric)方法，對變量分布等并無太多先入為主的假定。相反，多標(biāo)度分形理論中的分析方法都是從數(shù)據(jù)本身特征出發(fā)，本著“讓數(shù)據(jù)為自己說話”的精神，著眼于實(shí)際數(shù)據(jù)變化背后的復(fù)雜波動(dòng)機(jī)制，并通過若干含義明確的概念和工具去描述這些機(jī)制[26]。此外，多標(biāo)度分形分析技術(shù)還具有良好的穩(wěn)健性(Robustness)，并不會(huì)因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中的極端值(Outliers)而改變分析結(jié)果的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和定性結(jié)論，這一重要優(yōu)勢已被該領(lǐng)域中的諸多實(shí)證研究所證實(shí)[7,27-28]。

基于上述考慮，在前期相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，本文嘗試從對金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的多標(biāo)度分形分析出發(fā)，通過提煉分析過程中所產(chǎn)生的對描述金融資產(chǎn)收益非對稱特征有益的統(tǒng)計(jì)信息，提出了一種具有更為優(yōu)異的理論性質(zhì)且更適用于金融數(shù)據(jù)實(shí)際特征的新的資產(chǎn)收益非對稱性測度方法。同時(shí)，為了驗(yàn)證這種新的非對稱測度方法的可靠性和實(shí)用性，本文以我國股票市場中的代表性指數(shù)——滬深300指數(shù)長達(dá)7年左右的高頻股價(jià)數(shù)據(jù)為研究樣本，通過運(yùn)用兩種規(guī)范的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(Value at Risk，VaR)后驗(yàn)分析(Backtesting Analysis)方法，實(shí)證對比了分別基于多標(biāo)度分形非對稱測度及傳統(tǒng)的偏度系數(shù)CS測度波動(dòng)模型的VaR測度精度。實(shí)證結(jié)果表明，我國新興股票市場的價(jià)格波動(dòng)確實(shí)具有顯著的多標(biāo)度分形特征，且基于多標(biāo)度分形非對稱測度的VaR計(jì)算模型較基于傳統(tǒng)偏度系數(shù)CS測度的對應(yīng)模型具有更加優(yōu)異的風(fēng)險(xiǎn)測度精度。

2 樣本數(shù)據(jù)說明

本文研究所用的數(shù)據(jù)樣本為滬深300指數(shù)從2005年4月8日到2012年1月4日的每5分鐘高頻股價(jià)數(shù)據(jù)(共N=1641個(gè)交易日)，記為It,d，t=1,2,…,N，d=0,1,2,…,48，其中It,0表示第t天的開盤價(jià)，It,48表示第t天的收盤價(jià)。

滬深證券交易所每個(gè)交易日9:30分開盤，到11:30分中午休市，然后13:00開盤，到15:00全天收盤，每天共有4個(gè)小時(shí)(即240分鐘)的連續(xù)競價(jià)交易時(shí)間。因此，采用每5分鐘記錄一個(gè)數(shù)據(jù)的方法每天可以產(chǎn)生48個(gè)高頻股價(jià)記錄(不包括It,0)，樣本總體的高頻數(shù)據(jù)量為78768個(gè)。文中的日收益率(Daily Return)rt利用相鄰兩個(gè)交易日的收盤價(jià)計(jì)算：

rt=100(lnIt,48-lnIt-1,48),t=2,3,…,N

(1)

日收益率rt的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

從表1的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看到：

(1)滬深300指數(shù)的非條件收益率并不服從正態(tài)分布(J-B檢驗(yàn)在1%水平上顯著)，且呈現(xiàn)出一定的“尖峰厚尾”(Leptokurtic and Fat Tailed)和“有偏”(Skewed)形態(tài)(收益率的偏度系數(shù)顯著小于0，超額峰度系數(shù)顯著大于0)；

(2)表1中ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果表明，滬深300指數(shù)的非條件收益序列存在單位根的零假設(shè)被拒絕。因此，可以認(rèn)為非條件收益率序列是平穩(wěn)(Stationary)的，可以直接作下一步的分析和計(jì)量建模；

(3)從日收益率滯后20階的Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量(Q1(20))可以看出，在較高的顯著性水平上(1%)，可以拒絕滬深300指數(shù)的非條件收益率在較長時(shí)間范圍內(nèi)(20期)都不具有自相關(guān)性的原假設(shè)，即指數(shù)波動(dòng)具有較為明顯的長記憶性(Long Memory)；

表1 滬深300指數(shù)日收益率rt的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

注：表中，“*”表示在1%水平上顯著；峰度系數(shù)為超額峰度；J-B為檢驗(yàn)序列是否服從正態(tài)分布的Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量；Q(20)為檢驗(yàn)序列是否具有自相關(guān)性的滯后20期Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量；ADF為檢驗(yàn)序列是否具有單位根的Augmented Dickey-Fuller單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

(4)表1中，平方收益率滯后20階的Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量(Q2(20))具有較高的顯著性，意味著滬深300指數(shù)的較大收益率和較小收益率都在某段特定時(shí)期內(nèi)交替集中出現(xiàn)，即我國股票市場的非條件收益率表現(xiàn)出較為明顯的波動(dòng)聚集(Volatility Clustering)特征。

3 基于多標(biāo)度分形理論的非對稱性測度方法

3.1 多標(biāo)度分形參數(shù)定義

本節(jié)首先探討多標(biāo)度分形理論的相關(guān)參數(shù)定義[29]，以明確其在金融資產(chǎn)收益分布建模中應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。

定義一：考慮n維歐式空間Rn，其一子集U的直徑為：

|U|=sup{‖x-y‖|x,y∈U}

(2)

定義二：設(shè)F為Rn中任一子集，s為一非負(fù)實(shí)數(shù)，對?δ>0，定義以下形式的公式：

(3)

(4)

?F?Rn，Hs(F)存在，但可以為0或∞，則稱Hs(F)為F的s維豪斯道夫測度。

(5)

令δ→0并設(shè)Hs(F)為有限值，則由式(5)得：

(6)

即Hs(F)關(guān)于不同的s，存在一個(gè)使Hs(F)從∞跳躍到0的唯一臨界值s0，則該臨界值s0稱為F的豪斯道夫維數(shù)(HausdorffDimension)，記為DH(F)，其精確定義由下式表示：

DH(F)=inf{s|Hs(F)=0}=sup{s|Hs(F)=∞}

(7)

定義四：設(shè)F是n維歐式空間Rn上的一個(gè)n維子集，將F劃分為測度尺度為δ的無重復(fù)分形子集合{Xa}，且每一分形子集的概率測度μα與δ間存在冪律關(guān)系(Powerlaw)：

μα～δα

(8)

由于這里的a控制著概率測度的奇異性，所以被稱為奇異指數(shù)(Singular Exponent)或H?lder指數(shù)。同時(shí)，如果每一分形子集有不同的奇異指數(shù)，則稱此集合F為多標(biāo)度分形。

定義五：由定義一～三可以得到，當(dāng)δ→0時(shí)，下式表示具有相同概率測度μαi的分形子集合{Xai}的q維豪斯道夫測度：

(9)

若存在臨界指數(shù)f(a)使得：

f(α)=inf{q|Hq(Xαi)=0}=sup{q|Hq(Xαi)=∞}

(10)

則稱f(a)為多標(biāo)度分形的奇異譜，或簡記為“多標(biāo)度分形譜”(Multifractal Spectrum)。

3.2 多標(biāo)度分形譜f(a)的計(jì)算

一般的，最常用的奇異指數(shù)a和多標(biāo)度分形譜f(α)的計(jì)算方式是“數(shù)盒子”法(Box-Counting)，其具體步驟如下[7-9]：

(1)假定整個(gè)交易日的時(shí)間長度為1，則無重復(fù)均勻覆蓋這48個(gè)高頻股價(jià)數(shù)據(jù)的“盒子長度”δ(δ<1)可以分別取為：1/48，1/24，1/16，1/12，1/8，1/6，1/4，1/3，1/2和1；

(2)當(dāng)取盒子長度為δ時(shí)，假定覆蓋每天48個(gè)高頻股價(jià)數(shù)據(jù)需要m個(gè)盒子。這里為了公式表述的清晰，另記一天當(dāng)中的高頻股價(jià)數(shù)據(jù)為I(t)(t=1,2,…,48)，且每個(gè)盒子內(nèi)有n個(gè)數(shù)據(jù)記錄，那么定義在第i個(gè)盒子上的指數(shù)概率測度為：

(11)

其中，I(ij)表示第i個(gè)盒子中的第j個(gè)指數(shù)。根據(jù)王鵬[7]，Jiang Zhiqiang等[8]，Calvet等[9]研究中的相關(guān)定義，有以下的冪律關(guān)系(Power-Law)存在：

Pi(δ)～δα

(12)

Nα(δ)～δ-f(α)

(13)

其中，Nα(δ)表示具有相同奇異指數(shù)(SingularExponent)a的長度為δ的盒子個(gè)數(shù)；

圖1 滬深300指數(shù)兩天中的價(jià)格走勢、收益率經(jīng)驗(yàn)分布與多標(biāo)度分形譜

(3)多標(biāo)度分形譜f(α)的計(jì)算可以通過配分函數(shù)(Partition Function)Sq(δ)來計(jì)算：

(14)

根據(jù)王鵬等[7]，JiangZhiqiang等[8]，Calvet等[9]研究中的相關(guān)結(jié)論，Sq(δ)同樣滿足以下形式的冪律關(guān)系：

Sq(δ)～δτ(q)

(15)

在實(shí)際計(jì)算時(shí)，q的取值范圍大小以α和f(α)達(dá)到飽和值為準(zhǔn)[7-9]；

(4)τ(q)的值可以通過求取在雙對數(shù)坐標(biāo)軸lnSq(δ)-lnδ上的直線斜率得出，并通過勒讓德變換(LegendreTransition)可以得出：

(16)

f(α)=αq-τ(q)

(17)

3.3 基于多標(biāo)度分形譜f(a)的非對稱性測度方法構(gòu)建

經(jīng)過多次試驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)滬深300指數(shù)在2005年8月18日和2011年12月16日這兩天中的走勢呈現(xiàn)較為明顯的相反狀態(tài)，進(jìn)而導(dǎo)致日內(nèi)高頻收益率經(jīng)驗(yàn)分布的偏斜情況也截然相反。為了驗(yàn)證上文提出的基于多標(biāo)度分形分析的偏度測度方法能否靈敏地捕捉并刻畫這一差異，我們運(yùn)用上節(jié)所介紹的具體方法，計(jì)算了這兩天的奇異指數(shù)a和多標(biāo)度分形譜f(a)，并將其與兩天中的價(jià)格走勢和收益率經(jīng)驗(yàn)分布狀況一并匯報(bào)于圖1中。

由圖1可以清晰地看出：

(1)滬深300指數(shù)在2005年8月18日和2011年12月16日兩天的價(jià)格走勢迥異，但其價(jià)格變化都具有明顯的非對稱特征。其中，2011年12月16日的價(jià)格走勢為開盤后區(qū)間震蕩，臨近收盤時(shí)大幅上漲。而2005年8月18日的價(jià)格走勢恰好相反，為開盤后區(qū)間震蕩，臨近收盤時(shí)大幅下跌；

(2)收益率的經(jīng)驗(yàn)分布情況良好地反映了滬深300指數(shù)兩天中的上述走勢。其中，在具有單邊快速上行走勢的2011年12月16日，其收益率的經(jīng)驗(yàn)分布具有明顯的右偏特征。而在2005年8月18日，單邊快速下行的走勢所導(dǎo)致的收益率分布具有明顯的左偏特征；

(3)滬深300指數(shù)在兩天中的價(jià)格走勢盡管差異明顯，但其多標(biāo)度分形譜卻都表現(xiàn)出了顯著弓形，這是滬深300指數(shù)的價(jià)格波動(dòng)確實(shí)具有明顯多標(biāo)度分形特征的有力佐證[7-9]；

(4)若將某日奇異指數(shù)序列的最大值和最小值分別記為amax和amin，則其所分別對應(yīng)的多標(biāo)度分形譜值可以記為f(amax)和f(amin)(圖1中已有標(biāo)注)。接下來，非常能引起我們興趣且更具意義的發(fā)現(xiàn)是，滬深300指數(shù)價(jià)格的不同波動(dòng)狀況對應(yīng)著這兩個(gè)多標(biāo)度分形譜值(f(amax)和f(amin))的不同變化模式。具體來說，在2011年12月16日，指數(shù)收益率(價(jià)格波動(dòng))具有明顯的右偏特征，而該日多標(biāo)度分形譜的極差Δf=f(amax)-f(amin)>0；在2005年8月18日，指數(shù)收益率具有明顯的左偏特征，該日有Δf<0。更為重要的是，我們通過對其它不同日期價(jià)格序列的考察同樣發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律。為了對這一規(guī)律有更為直觀的觀察，圖2報(bào)告了樣本期間內(nèi)的收益率序列rt、各天高頻收益數(shù)據(jù)的偏度系數(shù)CS和Δf值。

圖2 滬深300指數(shù)的收益率序列rt、偏度系數(shù)CS和Δf值

通過圖2可以看出，Δf測度對收益非對稱特征的反映較偏度系數(shù)CS更為真實(shí)和敏感。那么，為什么Δf會(huì)對收益率非對稱特征具有如此敏感且真實(shí)的反映呢？

由式(12)可知Pi(δ)～δα，而Pi(δ)定義為每個(gè)盒子內(nèi)股價(jià)指數(shù)之和與每天所有股價(jià)指數(shù)之和的比值，因此，a就定量地反映出了某個(gè)盒子在當(dāng)天所有價(jià)格中的概率測度值。比方說，由于δ<1，則amax和amin就分別指示了最小概率測度和最大概率測度盒子的測度值，即amax指示的是當(dāng)天價(jià)格走勢相對最低的位置，而amin則指示的是當(dāng)天價(jià)格走勢相對最高的位置。

理解了amax和amin的含義之后，再結(jié)合式(13) (Nα(δ)～δ-f(α))，我們就不難對f(amax)和f(amin)的經(jīng)濟(jì)學(xué)內(nèi)涵有更為深刻的認(rèn)識(shí)了。實(shí)際上，由于Nα(δ)表示的是具有相同概率測度Pi(δ)(即具有相同a指數(shù))的盒子的個(gè)數(shù)，因此它就代表了一天當(dāng)中具有相同價(jià)格水平或相同強(qiáng)弱趨勢的盒子個(gè)數(shù)(時(shí)間段的個(gè)數(shù))。很明顯，如果一天當(dāng)中具有某一相同價(jià)格水平或強(qiáng)弱指標(biāo)的盒子個(gè)數(shù)(時(shí)間段)越多，那么當(dāng)天的價(jià)格走勢應(yīng)該就越平穩(wěn)、越均勻，則其價(jià)格波動(dòng)(收益率)非對稱特征越不明顯。進(jìn)一步，若將注意力放在當(dāng)天價(jià)格的最高和最低兩個(gè)極端位置上(amax和amin)，那么f(amin)和f(amax)就分別指示了具有最大概率測度和最小概率測度的盒子個(gè)數(shù)的多少，即f(amin)指示的是當(dāng)天價(jià)格走勢最強(qiáng)的那些盒子的總數(shù)，而f(amax)指示的是當(dāng)天價(jià)格走勢最弱的那些盒子的總數(shù)，并且由于Nαmax(δ)/Nαmin(δ)=δ-Δf和δ<1，所以當(dāng)Δf>0時(shí)，Nαmax(δ)/Nαmin(δ)>1，表示的是具有最大概率測度指數(shù)盒子的數(shù)量小于具有最小概率測度指數(shù)盒子的數(shù)量，即價(jià)格走勢相對最高的盒子數(shù)量少于價(jià)格走勢相對最低的盒子數(shù)量，亦即價(jià)格波動(dòng)主要發(fā)生在較低的相對價(jià)格位置上，這一點(diǎn)在價(jià)格增量(收益率)分布上的表現(xiàn)就是均值右邊數(shù)值所聚集的增量無論是從幅度還是數(shù)量上都超過均值左邊的數(shù)值，從而收益分布呈現(xiàn)明顯的右偏形狀(如圖1所示)。反之，當(dāng)Δf<0時(shí)，Nαmin(δ)/Nαmax(δ)>1，表示的是具有最大概率測度指數(shù)盒子的數(shù)量大于具有最小概率測度指數(shù)盒子的數(shù)量，即價(jià)格走勢相對最高的盒子數(shù)量多于價(jià)格走勢相對最低的盒子數(shù)量，亦即價(jià)格波動(dòng)主要發(fā)生在較高的相對價(jià)格位置上，這一點(diǎn)表現(xiàn)在價(jià)格增量(收益率)分布上就是均值左邊數(shù)值所聚集的增量無論是從幅度還是數(shù)量上都超過均值右邊的數(shù)值，從而收益分布呈現(xiàn)明顯的左偏形狀(如圖1所示)。由此可見，Δf指標(biāo)具有非常明確的經(jīng)濟(jì)含義，運(yùn)用Δf來測度金融資產(chǎn)收益分布的非對稱性，不僅經(jīng)過了實(shí)證觀察的檢驗(yàn)，而且也具有合理且堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)。

4 VaR計(jì)算及其后驗(yàn)分析方法

為了驗(yàn)證上文所提出的基于多標(biāo)度分形語言的非對稱測度——Δf的有效性和實(shí)用性，我們有必要檢驗(yàn)其是否確實(shí)改進(jìn)了傳統(tǒng)非對稱測度(偏度系數(shù)CS)在應(yīng)用領(lǐng)域中的表現(xiàn)。Sydney and Serena[30]指出，無論是最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇還是衍生產(chǎn)品的避險(xiǎn)策略設(shè)計(jì)，其實(shí)質(zhì)都是要對金融資產(chǎn)的市場風(fēng)險(xiǎn)特征進(jìn)行準(zhǔn)確的描述和預(yù)測。因此，我們對于Δf非對稱測度有效性的研究將通過考察其是否具有較CS測度更優(yōu)的市場風(fēng)險(xiǎn)測度精度來實(shí)現(xiàn)。

具體來說，我們將選擇在金融風(fēng)險(xiǎn)測度領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛的經(jīng)典VaR計(jì)算模型，并通過偏度系數(shù)CS測度和Δf測度分別對其進(jìn)行擴(kuò)展，然后運(yùn)用Kupiec[31]提出的非條件覆蓋檢驗(yàn)(Unconditional Coverage Testing)以及Engle and Manganelli[32]提出的條件覆蓋檢驗(yàn)(Conditional Coverage Testing)，實(shí)證對比基于兩種不同非對稱測度VaR計(jì)算模型的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)精度差異。

4.1 VaR計(jì)算模型

金融計(jì)量研究中，一般假定金融資產(chǎn)日收益率序列rt滿足如下的離散形式：

rt=μt+εt=μt+σtzt

(18)

對于具有較強(qiáng)自相關(guān)特征的收益率序列來說，有學(xué)者[33]建議在實(shí)證研究中假設(shè)μt服從AR(m)、ARMA(m,n) 或其它更為復(fù)雜的模型形式以消除自相關(guān)性。由于有研究表明[34]，AR(1)模型是一種簡單但非常實(shí)用的刻畫條件均值μt的模型，用它可以對價(jià)格變化的自相關(guān)特征進(jìn)行良好描述，因此結(jié)合表1中滬深300指數(shù)收益所展現(xiàn)出的統(tǒng)計(jì)特征，我們假定其條件均值μt滿足一個(gè)AR(1)過程，即指數(shù)收益率rt通過下式刻畫：

rt=ρrt-1+σtzt

(19)

(20)

基于偏度系數(shù)CS測度的擴(kuò)展GARCH(1,1)模型(記為GARCH-CS)形式為：

(21)

同理，基于Δf測度的擴(kuò)展GARCH(1,1)模型(記為GARCH-Δf)：

(22)

除了GARCH模型外，我們還考慮一種常用的能夠描述資產(chǎn)價(jià)格杠桿效應(yīng)(Leverage effect)的條件異方差模型：GJR模型。一階GJR模型的條件方差方程形式為：

(23)

其中，I(·)為一指示函數(shù)(Indicator Function)。當(dāng)()中的條件成立時(shí)，I(·)為1，反之為0。

基于偏度系數(shù)CS測度和Δf測度的擴(kuò)展GJR(1,1)模型(分別記為GJR-CS和GJR-Δf)形式分別為：

(24)

(25)

考慮到滬深300指數(shù)價(jià)格波動(dòng)展現(xiàn)出了較為明顯的長記憶性(見圖1的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果)，我們這里繼續(xù)考慮一種常用的長記憶波動(dòng)模型(FIGARCH模型)，其一階形式的條件方差方程為：

(26)

其中，L為滯后算子，d為長記憶參數(shù)，它刻畫了波動(dòng)的長短記憶性，當(dāng)0

基于偏度系數(shù)CS測度和Δf測度的擴(kuò)展FIGARCH(1,1)模型(分別記為FIGARCH-CS和FIGARCH-Δf)形式分別為：

(27)

(28)

總結(jié)起來，對于所考察的滬深300指數(shù)，除了其收益率的條件均值建模采用公式(19)所示的AR模型形式外，條件方差的建模(即本文所考察的風(fēng)險(xiǎn)測度模型)一共包括以下9種不同方式，分別記為GARCH、GARCH-CS、GARCH-Δf、GJR、GJR-CS、GJR-Δf、FIGARCH、FIGARCH-CS、FIGARCH-Δf。

4.2 VaR測度值的計(jì)算

根據(jù)對第4.1節(jié)中9種不同形式風(fēng)險(xiǎn)測度模型的估計(jì)，我們可以計(jì)算在不同模型假定下滬深300指數(shù)收益的VaR風(fēng)險(xiǎn)測度值，并通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮篁?yàn)分析(Backtesting Analysis)來對比檢驗(yàn)各類模型的適用范圍和精確程度。

另外，由于金融資產(chǎn)的收益分布普遍具有非對稱波動(dòng)特性[35]，因此即使交易的是相同標(biāo)的資產(chǎn)的衍生產(chǎn)品，投資者持有的多頭頭寸(Long Position)和空頭頭寸(Short Position)也會(huì)具有顯著不同的VaR測度值。這也就是說，對非對稱收益分布的左、右尾部分別加以考察將具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義，因此本文將在多頭和空頭兩種不同頭寸下分別檢驗(yàn)各種風(fēng)險(xiǎn)度量模型在滬深300指數(shù)風(fēng)險(xiǎn)測度中的有效性和實(shí)用性。

t時(shí)刻q分位數(shù)下的VaR定義為：

(29)

其中，zq為所要考察的收益分布的q損失分位數(shù)。對于多頭頭寸，q應(yīng)取左尾分位數(shù)；對于空頭頭寸，q應(yīng)取右尾分位數(shù)。為保證研究結(jié)論的可靠性，本文將多頭頭寸分位數(shù)zq分別取為10%、5%、2.5%、1%、0.1%，對應(yīng)的空頭頭寸分位數(shù)分別為90%、95%、97.5%、99%、99.9%。同時(shí)，條件均值μt和波動(dòng)率(條件標(biāo)準(zhǔn)差)σt通過前述各類風(fēng)險(xiǎn)測度模型估計(jì)得出，由此我們可以計(jì)算不同模型假定下的VaR風(fēng)險(xiǎn)測度值并開展Backtesting分析。

4.3 非條件覆蓋檢驗(yàn)

在對VaR進(jìn)行Backtesting分析時(shí)，最重要的出發(fā)點(diǎn)是對其失敗率(Failure Rate)是否準(zhǔn)確進(jìn)行檢測。舉例來說，如果我們計(jì)算得到了在5%分位數(shù)水平上的1000個(gè)VaR值，那么我們將預(yù)期：在這段時(shí)間當(dāng)中，實(shí)際損失超出所計(jì)算的VaR值的次數(shù)應(yīng)該大約是在1000×5%=50次左右。如果實(shí)際損失超過VaR的次數(shù)遠(yuǎn)大于或者遠(yuǎn)小于50次的話，都說明用于計(jì)算該VaR的風(fēng)險(xiǎn)測度模型是不準(zhǔn)確的。從金融實(shí)踐的角度講，如果失敗率遠(yuǎn)大于50次，則運(yùn)用該模型估計(jì)VaR將會(huì)使得金融機(jī)構(gòu)遭受更多次超預(yù)期的損失沖擊；如果失敗率遠(yuǎn)小于50次，則基于該模型的風(fēng)險(xiǎn)管理活動(dòng)就會(huì)因?yàn)檫^高計(jì)提損失準(zhǔn)備而導(dǎo)致資源的極大浪費(fèi)。

Kupiec[31]提出了基于上述思想的非條件覆蓋檢驗(yàn)(Unconditional Coverage Test)。在這一檢驗(yàn)中，為了定量比較不同風(fēng)險(xiǎn)測度模型的VaR測度精度，在考慮拒絕還是接受“所采用的風(fēng)險(xiǎn)測度模型是準(zhǔn)確的”的假設(shè)時(shí)，所采用的定量判斷標(biāo)準(zhǔn)是對比相應(yīng)非條件覆蓋檢驗(yàn)的顯著性p值。也就是說，如果對由某一風(fēng)險(xiǎn)測度模型所計(jì)算的VaR值的非條件覆蓋檢驗(yàn)p值越大，則說明我們越不能拒絕上述假設(shè)，即表明該風(fēng)險(xiǎn)測度模型的VaR測度精度越高。

4.4 條件覆蓋檢驗(yàn)

Engle and Manganelli[32]進(jìn)一步指出，由合適的風(fēng)險(xiǎn)測度模型所計(jì)算的VaR失敗觀測值之間還應(yīng)該不具有明顯的相關(guān)性。為了同時(shí)進(jìn)行VaR失敗率準(zhǔn)確和不具有相關(guān)性的聯(lián)合假設(shè)檢驗(yàn)(Joint test)，Engle and Manganelli[32]提出了條件覆蓋檢驗(yàn)方法(Conditional Coverage Test)，即：

首先，對分位數(shù)水平q下的碰撞序列Hitt進(jìn)行以下的人造回歸：

Hitt=Xλ+εt

(30)

其中X是一個(gè)T×K矩陣，其第1列是一個(gè)所有元素為1的列向量，隨后的k列分別是取值為Hitt-1,Hitt-2,…,Hitt-k的列向量，最后的K-k-1列是附加的解釋變量(包括所預(yù)測的VaR序列本身)。

Engle and Manganelli[32]證明了，要進(jìn)行“碰撞序列”Hitt同時(shí)符合失敗率準(zhǔn)確和不具有相關(guān)性的零假設(shè)聯(lián)合檢驗(yàn)的話，所考察的統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該滿足：

(31)

即該統(tǒng)計(jì)量服從自由度為K的χ2分布。也就是說，在分位數(shù)水平q下，如果所計(jì)算的上述統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)值大于該水平下自由度為K的χ2分布的臨界值的話，我們就應(yīng)該拒絕Hitt同時(shí)符合失敗率準(zhǔn)確和不具有相關(guān)性的零假設(shè)；反之，則應(yīng)該接受零假設(shè)，即認(rèn)為所采用的風(fēng)險(xiǎn)測度模型是足夠準(zhǔn)確的。同樣，在條件覆蓋檢驗(yàn)中，我們所采用的風(fēng)險(xiǎn)測度模型定量判斷標(biāo)準(zhǔn)仍是相應(yīng)檢驗(yàn)的顯著性p值大小。

5 實(shí)證結(jié)果

5.1 VaR計(jì)算結(jié)果

通過對文中9種不同風(fēng)險(xiǎn)測度模型的估計(jì)，可以得到日收益率的條件波動(dòng)率σt，進(jìn)而得到未來1天的條件波動(dòng)率預(yù)測，然后通過式(29)計(jì)算未來1天滬深300指數(shù)的VaR值。

圖3報(bào)告了不同模型對滬深300指數(shù)1%分位數(shù)下多頭頭寸VaR的估計(jì)結(jié)果，圖2是對應(yīng)空頭頭寸在99%分位數(shù)下的情況。為了圖形清晰起見，同時(shí)考慮到對相關(guān)結(jié)論的代表性，我們選擇了GARCH、GARCH-CS、GARCH-Δf等3種模型和全樣本中一段期間內(nèi)(t=800, 801, …, 1000)的結(jié)果進(jìn)行展示。同時(shí)，為了對風(fēng)險(xiǎn)測度模型VaR估計(jì)值的準(zhǔn)確性進(jìn)行初步判斷，圖1和圖2中用針頭圖標(biāo)識(shí)收益率rt。

由圖3和圖4的直觀表象來看，總體來講，在1%分位數(shù)下，無論是多頭頭寸，還是空頭頭寸，GARCH模型和基于CS測度擴(kuò)展的GARCH模型似乎都有高估VaR值的傾向，而基于Δf測度擴(kuò)展的GARCH模型的VaR度量精度似乎更高。當(dāng)然，要得到更為精確的結(jié)論，必須對基于各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)測度模型的VaR序列進(jìn)行Backtesting檢驗(yàn)。

圖3 滬深300指數(shù)收益1%分位數(shù)下多頭頭寸的部分VaR估計(jì)結(jié)果(t=800,801,…, 1000)

圖4 滬深300指數(shù)收益99%分位數(shù)下空頭頭寸的部分VaR估計(jì)結(jié)果(t=800,801,…, 1000)

表2 不同風(fēng)險(xiǎn)測度模型VaR估計(jì)的非條件覆蓋檢驗(yàn)結(jié)果

注：表中數(shù)字為非條件覆蓋檢驗(yàn)的p值。p值越大，說明由該模型所計(jì)算的VaR精確度越高。表中用下劃線表示的是某一類特定模型下的最優(yōu)非條件覆蓋檢驗(yàn)p值。

表3 不同風(fēng)險(xiǎn)測度模型VaR估計(jì)的條件覆蓋檢驗(yàn)結(jié)果

注：表中數(shù)字為條件覆蓋檢驗(yàn)的p值。p值越大，說明由該模型所計(jì)算的VaR精確度越高。表中用下劃線表示的是某一類特定模型下的最優(yōu)條件覆蓋檢驗(yàn)p值。

5.2 Backtesting檢驗(yàn)結(jié)果

按照4.3節(jié)和4.4節(jié)中所介紹的條件覆蓋檢驗(yàn)和非條件覆蓋檢驗(yàn)方法，我們對各個(gè)波動(dòng)模型的VaR估計(jì)效果都開展了后驗(yàn)分析。表2和表3分別報(bào)告了不同風(fēng)險(xiǎn)測度模型對滬深300指數(shù)VaR測度精度的Backtesting檢驗(yàn)結(jié)果。表中數(shù)字為檢驗(yàn)的顯著性p值，p值越大，表明由該模型計(jì)算的VaR準(zhǔn)確度越高。表中用下劃線標(biāo)識(shí)的是某一特定種類風(fēng)險(xiǎn)測度模型在某一特定分位數(shù)水平下的最優(yōu)Backtesting檢驗(yàn)p值

由表2和表3可以看出：

(1)觀察各組檢驗(yàn)中3種經(jīng)典波動(dòng)模型(GARCH、GJR、FIGARCH)的Backtesting檢驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在條件覆蓋檢驗(yàn)和非條件覆蓋檢驗(yàn)下總共可以進(jìn)行的40次比較中，GJR模型和FIGARCH模型所取得的檢驗(yàn)p值共有9次大于普通GARCH模型的檢驗(yàn)p值。因此，GJR模型和FIGARCH模型所取得的檢驗(yàn)p值未能出現(xiàn)系統(tǒng)性大于普通GARCH模型檢驗(yàn)p值的情況，這說明包含杠桿效應(yīng)的GJR模型和能夠刻畫波動(dòng)長記憶性的FIGARCH模型并未取得明顯優(yōu)于普通GARCH模型的VaR測度精度；

(2)經(jīng)偏度系數(shù)CS測度擴(kuò)展的波動(dòng)模型具有比其所對應(yīng)的普通波動(dòng)模型(GARCH vs. GARCH-CS、GJR vs. GJR-CS、FIGARCH vs. FIGARCH-CS)更優(yōu)的VaR計(jì)算精度。這表現(xiàn)為：總體來講，GARCH-CS模型取得大于GARCH模型檢驗(yàn)p值的次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過GARCH模型取得大于GARCH-CS模型檢驗(yàn)p值的次數(shù)，同樣在GJR vs. GJR-CS和FIGARCH vs. FIGARCH-CS的對比中也普遍存在這一現(xiàn)象；

(3)單獨(dú)比較基于本文所提出的基于Δf測度的擴(kuò)展模型(GARCH-Δf、GJR-Δf、FIGARCH-Δf)和基于CS測度擴(kuò)展模型(GARCH-CS、GJR-CS、FIGARCH-CS)的檢驗(yàn)p值可以發(fā)現(xiàn)，在非條件覆蓋檢驗(yàn)(表2)和條件覆蓋檢驗(yàn)(表3)各自可以進(jìn)行的兩類模型的30次對照中，基于Δf測度的擴(kuò)展模型在表2中取得較大檢驗(yàn)p值的次數(shù)為19次，在表3中取得較大檢驗(yàn)p值的次數(shù)為16次。另外，表中用下劃線標(biāo)出了某一類特定模型下的最優(yōu)VaR測度模型及其條件覆蓋檢驗(yàn)的p值。從這些最優(yōu)p值所對應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)測度模型來看，基于本文所提出的Δf測度的擴(kuò)展模型(GARCH-Δf、GJR-Δf、FIGARCH-Δf)在表2和表3中取得最優(yōu)檢驗(yàn)p值的次數(shù)分別為17次、16次，而基于CS測度擴(kuò)展模型(GARCH-CS、GJR-CS、FIGARCH-CS)取得最優(yōu)檢驗(yàn)p值的次數(shù)僅為10次、10次。從這兩個(gè)角度觀察，基于Δf測度擴(kuò)展的風(fēng)險(xiǎn)測度模型都表現(xiàn)出了較基于CS測度擴(kuò)展模型更優(yōu)的VaR計(jì)算精度。由于對市場風(fēng)險(xiǎn)測度的精準(zhǔn)與否依賴于所使用的測度模型和方法對資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)特征刻畫的準(zhǔn)確程度，因此基于這里的實(shí)證結(jié)果，我們認(rèn)為，本文提出Δf測度展現(xiàn)出了較傳統(tǒng)非對稱測度(偏度系數(shù)CS)更為優(yōu)異的對金融資產(chǎn)收益非對稱特征的刻畫能力。

6 結(jié)語

本文以滬深300指數(shù)長達(dá)7年左右的5分鐘高頻數(shù)據(jù)為實(shí)證樣本，通過提煉多標(biāo)度分形分析過程中所產(chǎn)生的對描述金融資產(chǎn)收益非對稱特征有益的統(tǒng)計(jì)信息，提出了一種新的資產(chǎn)收益非對稱性測度——多標(biāo)度分形非對稱測度(Multifractal Asymmetry Measurement)Δf。與偏度系數(shù)CS這一傳統(tǒng)的非對稱性測度方法相比，本文提出的Δf測度具有更為優(yōu)異的理論性質(zhì)，也更適于金融數(shù)據(jù)的實(shí)際特征。為了驗(yàn)證這種新的非對稱測度方法在風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域中可靠性和實(shí)用性，論文進(jìn)一步構(gòu)建了分別基于Δf測度和CS測度的VaR計(jì)算模型，并通過非條件覆蓋檢驗(yàn)和條件覆蓋檢驗(yàn)等兩種不同的VaR后驗(yàn)分析方法，實(shí)證對比分析了Δf測度和傳統(tǒng)CS測度在金融市場風(fēng)險(xiǎn)測度準(zhǔn)確性方面的差異。實(shí)證結(jié)果表明：我國新興股票市場的價(jià)格波動(dòng)確實(shí)具有顯著的多標(biāo)度分形特征；基于Δf測度擴(kuò)展的風(fēng)險(xiǎn)測度模型具有較基于CS測度擴(kuò)展模型更優(yōu)的VaR計(jì)算精度，Δf測度展現(xiàn)出了較偏度系數(shù)CS測度更為優(yōu)異的對金融資產(chǎn)收益非對稱特征的刻畫能力。

當(dāng)然，本文研究還存在著一些不足之處。例如，我們的研究還僅僅局限于Δf測度和CS測度在VaR框架下的對比，沒有將其它一些成熟的風(fēng)險(xiǎn)測度，如預(yù)期損失ES(Excepted Shortfall)等納入考察的范圍。另外，本文的研究結(jié)論還需要在更廣泛的領(lǐng)域(如資產(chǎn)定價(jià)、投資組合選擇等等)中進(jìn)一步加以驗(yàn)證。另外，本文的研究結(jié)果表明Δf測度適用于對具有非獨(dú)立、非正態(tài)特征數(shù)據(jù)(如大多數(shù)現(xiàn)實(shí)金融市場中的收益數(shù)據(jù))的非對稱性檢驗(yàn)，但對具有其它特征數(shù)據(jù)的適用性如何仍有待于進(jìn)一步的拓展考察。當(dāng)然，這也是我們下一步研究工作的重點(diǎn)所在。

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A VaR Moldel Based on Multifractal Asymmetry Measurement

WANG Peng1,2，YUAN Xiao-li3

(1.Institute of Chinese Financial Studies, Southwest University of Finance and Economics, Chengdu 610074, China;2.Collaborative Innovation Center of Financial Security, Chengdu 610074, China;3.School of Finance, Southwest University of Finance and Economics, Chengdu 611130, China)

For describing asymmetry of financial returns, the validity of traditional measurement, i.e., skewness coefficient, is heavily dependent on the assumption that the data is independently and normally distributed. However, actual data in financial markets often has non-independent and non-normal distribution. So a new measurement should be explored to fit stylized facts of actual financial data. After a preliminary exploration for a long time, fractal analysis are found to provide highly targeted solutions for many problems in traditional research about asymmetry of financial returns. By refining useful statistical information to describe the asymmetric features of financial assets’ yields during the process of multifractal analysis, a new asymmetry measurement (Δf) is constructed in this paper,whose theoretical properties is more excellent and are more suitable for typical statistical characteristics of actual financial data. Unconditional coverage test and conditional coverage test are used to compare the VaR computation accuracy differences for CSI 300 index between risk models augmented by the skewness coefficients and the Δfmeasurement. Empirical results show that the latter has higher VaR estimation accuracy. The new measurement which we present in this paper provides a more suitable tool for asymmetry testing to financial returns. Furthermore, this is a typical result of making use of statistical information embedded in the process of fractal analysis.

multifractal theory; asymmetry measurement; value at risk; backtesting analysis

2013-01-26；

2013-08-07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71101119)；西南財(cái)經(jīng)大學(xué)和四川省教育廳創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)項(xiàng)目(JBK130401)

王鵬(1981-)，男(漢族)，山東寧陽人，西南財(cái)經(jīng)大學(xué)中國金融研究中心，博士，副教授，研究方向：金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理.

1003-207(2015)03-0013-11

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.03.002

F224；F830

A