基于非線性分位數回歸模型的多期VaR風險測度

許啟發，張金秀，蔣翠俠

(1.合肥工業大學管理學院，安徽 合肥 230009；2. 過程優化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009)

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基于非線性分位數回歸模型的多期VaR風險測度

許啟發1,2，張金秀1，蔣翠俠1

(1.合肥工業大學管理學院，安徽 合肥 230009；2. 過程優化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009)

多期VaR主要受到持有期及波動率兩個變量的影響，并且其影響模式(線性或非線性)的確定對于準確地進行VaR風險測度至關重要。非線性分位數回歸模型，能夠克服線性分位數回歸模型只能揭示多期VaR及其影響因素之間線性依賴關系的局限，從而提高多期VaR風險測度的準確性。結合波動模型與兩個非線性分位數回歸方法：QRNN和SVQR，給出了多期VaR風險測度的三類方案：波動模型法、QRNN+波動模型法、SVQR+波動模型法。選取3個股票價格指數作為研究對象，考慮了6種不同形式的波動模型，得到了18個多期VaR風險測度方法進行實證比較，結果表明：波動模型選擇影響到多期VaR風險測度效果；SVQR+波動模型法略優于QRNN+波動模型法，并且兩者顯著優于波動模型法。

分位數回歸；多期VaR；非線性；神經網絡；支持向量機

1 引言

然而，事實并非如此簡單，后文的討論顯示：由于金融市場波動存在時變相關性，導致多期VaR與單期VaR之間并非服從簡單的“時間方根準則”，而是表現出非常復雜的關系。為此，需要考慮開發新的方法給出多期VaR風險測度。

按照統計學的觀點，VaR實質為投資組合或者金融資產的損失(或收益)分布的一個特定分位數，可以通過Koenker等[3]提出的線性分位數回歸模型來估計，如：Taylor[4]提出指數加權分位數回歸模型，并將其應用VaR風險測度。張瑞峰等[5]指出，分位數比均值更有效地度量金融市場的極端風險溢出效應；史金鳳等[6]和許啟發等[7]指出，與均值回歸模型相比，線性分位數回歸模型的最大優勢在于：能夠揭示響應變量的完整分布特征。不過，線性分位數回歸模型只能用于討論解釋變量對響應變量條件分布的線性影響模式，難以刻畫在VaR測算中存在的非線性效應，如：陳磊等[8]提及的門限效應等。Taylor[9-10]指出，對于單期VaR風險測度，波動率對VaR存在線性影響模式，可以通過線性分位數回歸模型來估計；而對于多期VaR風險測度，持有期與波動率對VaR的影響方式既有線性成分、又有非線性成分，需要利用非線性分位數回歸模型來解決。在參數形式的非線性分位數回歸模型建立過程中，往往涉及非線性函數形式的選擇，當解釋變量數目過多時，這一過程非常復雜。為克服非線性函數形式選擇上的困難，可以采用非參數方法，建立非線性分位數回歸模型。White[11]、Taylor[10]、FengYijia等[12]和Cannon[13,14]利用神經網絡結構模擬經濟系統中的非線性，建立了神經網絡分位數回歸(QuantileRegressionNeuralNetwork,QRNN)模型；Takeuchi等[15]和LiYoujuan等[16]利用支持向量機將原始數據映射到高維特征空間中做非線性回歸的特點，建立了支持向量分位數回歸(SupportVectorQuantileRegression,SVQR)模型。QRNN模型與SVQR模型，在無須給出具體的非線性函數形式情況下，就可以得到響應變量與解釋變量之間的非線性依賴關系，表現出極大的靈活性。Taylor[10]使用QRNN模型研究了多期收益的分布特征，Shim等[17]則使用SVQR模型研究了多期VaR風險測度問題，結果表明：QRNN模型與SVQR模型能夠提升多期VaR風險測度的準確率。目前，尚無文獻對比QRNN模型與SVQR模型在多期VaR風險測度能力上的差異。

在Taylor[10]和Shim等[17]的研究工作中，他們對波動率的估計使用了基于正態分布假定的GARCH_N模型與基于t分布假定的GARCH_t模型。考慮到金融市場存在波動聚集、厚尾、非對稱等典型特征，本文進一步使用基于有偏t分布假定的GARCH_St模型、基于廣義誤差分布的GARCH_GED模型、基于有偏廣義誤差分布的GARCH_SGED模型，做波動率估計，進而使用非線性分位數回歸模型：QRNN和SVQR進行多期VaR風險測度。結合波動模型與非線性分位數回歸方法，本文給出了多期VaR風險測度的三類方案：波動模型法、QRNN+波動模型法、SVQR+波動模型法，并將其應用于深證綜合指數、香港恒生指數、標準普爾500指數的多期VaR風險測度，取得了較好的實證結果。本文創新之處在于：(1)考慮到金融市場的典型特征，建立了有偏、厚尾GARCH模型，發現不同的波動率估計方法對多期VaR風險測度效果能夠產生顯著影響，不過這一影響差異可以被分位數回歸“抹平”。也即是說，分位數回歸可以很好地避免由于波動模型誤設導致VaR風險測度結果的偏差。(2)結合波動模型與非線性分位數回歸方法，給出了多期VaR風險測度新方法：QRNN+波動模型法和SVQR+波動模型法，實證結果表明：新方法能夠顯著提高VaR風險測度精度；具有較好的穩健性，適合于多期VaR風險測度。(3)對比了兩類非線性分位數回歸方法的多期VaR風險測度效果，發現由于SVQR模型能夠同時考慮線性及非線性影響模式，SVQR+波動模型法所得VaR風險測度平均誤差略低于QRNN+波動模型法。

2 波動率估計與多期VaR風險測度

2.1 多期收益與VaR風險測度

對于投資組合，可以由對數差分:

rt,k=100×(lnpt+k-lnpt)

(1)

計算其連續復合收益。式中，rt,k為多期收益，pt為時刻t的價格，k為持有期。當k=1時，rt,k退化為單期收益rt,1(簡記為rt)。容易證明，多期收益與單期收益之間存在關系：

rt,k=rt+1+rt+2+…+rt+k

(2)

即時刻t的多期收益(k期)可由從時刻t+1到時刻t+k的k個單期收益求和所得。

若以負收益表示損失，根據Jorion[1]給出的VaR含義，可以給出置信水平(1-τ)下多期VaR的定義如下：

τ=Pr(-rt,k≥VaR)=1-Pr(-rt,k≤VaR)或Pr(rt,k≤-VaR)

(3)

式中，τ為任一給定的小概率水平。由式(3)，容易得到：

(4)

2.2 基于波動模型的VaR風險測度

在VaR風險測度中，最常使用的為Morgan[2]開發的RiskMetrics方法。RiskMetrics方法假定單期收益序列服從條件正態分布：

(5)

(6)

(7)

給出多期VaR風險測度：

(8)

然而，事實并非如此簡單，RiskMetrics方法的前提假定在現實中并不存在。這里，主要討論兩個方面的擴展：(1)波動模型由EWMA模型更換為一般的GARCH模型，用于揭示金融市場的波動聚集性；(2)誤差分布使用t分布、St分布、GED分布和SGED分布，用于揭示金融市場的高峰厚尾、非對稱等典型特征。考慮Bollerslev[18]提出的GARCH(1,1)模型：

(9)

式中，α0,α1,β1為待估計的參數，誤差項εt為獨立同分布的時間序列。當α0=0,α1+β1=1時，得到IGARCH(1,1)模型的特例：EWMA模型。對于誤差項εt分別取：標準正態分布、t分布、St分布、GED分布和SGED分布，就可以分別建立GARCH_N模型、GARCH_t模型、GARCH_St模型、GARCH_GED模型和GARCH_SGED模型。對于GARCH(1,1)模型，Taylor[10]利用遞歸方式估計出k期收益的波動率：

(10)

從而，可以得到基于GARCH類模型的多期VaR風險測度：

(11)

式中，F-1(τ)分別為標準正態分布、t分布、St分布、GED分布和SGED分布的第τ分位數。

3 分位數回歸模型與多期VaR風險測度

3.1 線性分位數回歸模型

現實中，均值回歸模型常被用于討論m個解釋變量X1,X2,…,Xm對響應變量Y的影響。然而，均值回歸分析只能描述響應變量Y的均值變化，難以揭示Y的形態特征，具有一定的局限性。在中位數回歸的基礎上，Koenker等[3]提出了分位數回歸模型：

QYt(τ|Xt)=f(Xt,β(τ))=β0(τ)+β1(τ)Xt,1+…+βm(τ)Xt,m≡X′tβ(τ)

(12)

式中：QYt(τ|Xt)為響應變量Y在解釋變量X給定條件下的τ分位數；t∈(0,1)為分位點；β(τ)≡[β0(τ),β1(τ),…,βm(τ)]′為回歸系數向量，取值依賴于分位點τ變動，可以度量解釋變量X對響應變量Y的異質影響模式(隨τ變動)。在式(12)中，由于采用了線性函數設定，故稱其為線性分位數回歸模型。由式(12)，可以得到響應變量Y在各個分位點τ處的條件分位數QYt(τ|Xt)，進而可以確定其條件分布函數或條件密度函數。這樣，線性分位數回歸模型不僅能夠揭示X對Y位置的影響，而且還能夠刻畫X對Y形態的影響，提供比均值回歸更多的有用信息，便于進行科學決策。

式(12)中系數向量β(τ)的估計，可以轉化求解如下優化問題：

(13)

式中，T為樣本量；ρτ(u)為依賴于分位點τ的非對稱損失函數，滿足：

(14)

(15)

3.2 神經網絡分位數回歸與多期VaR風險測度

(16)

(17)

圖1 三層感知器神經網絡結構

類似于線性分位數回歸模型的參數估計，QRNN模型的參數向量W(τ)與b(τ)的估計可以轉化求解優化問題：

(18)

式中，f(Xt,W,b)為由式(16)給出的非線性關系。在QRNN模型中，輸入層變量數目m與隱層節點數目n決定了模型復雜程度。為避免模型過于復雜而導致過度擬合，可以在損失函數基礎上增加懲罰項，對模型復雜程度進行約束。為此，使用：

(19)

(20)

在式(20)中，當輸入變量取Xt=(k,σt+1)′、輸出變量Y取k期收益率rt,k時，就得到基于QRNN模型的多期VaR風險測度：

(21)

3.3 支持向量分位數回歸與多期VaR風險測度

基于統計學習理論建立起來的支持向量機，在模式識別等領域發揮了重要作用。近年來，支持向量機常被應用于解決回歸問題，稱為支持向量回歸，其數學模型表示為：

Yt=f(Xt)+εt=w′φ(Xt)+b+εt

(22)

式中，φ(·)為非線性映射；w為參數向量，b為閾值。為估計模型參數，考慮優化問題：

(23)

Takeuchi等[15]使用式(14)所示的非對稱函數ρτ(u)替換對稱懲罰函數V(u)，提出了支持向量分位數回歸(SVQR)模型：

Yt=w′(τ)φ(Xt)+b(τ)+εt

(24)

式中，τ為分位點；待估計參數w(τ),b(τ)依賴于分位點τ變化。在SVQR模型中，由于非線性映射φ(·)的作用，可以度量解釋變量對響應變量整個條件分布的非線性影響。

在Taylor[9-10]的研究工作中，發現持有期k與波動率σt+1對多期收益分布既存在線性影響成分也存在非線性影響成分，從而對多期VaR既存在線性影響也存在非線性影響。為此，在利用SVQR模型進行多期VaR風險測度時，可以將線性成分從非線性映射φ(Xt)中剝離出來，記為Ut，建立同時包含線性成分與非線性成分的SVQR模型

Yt=w′(τ)φ(Xt)+β′(τ)Ut+b(τ)+εt

(25)

式中，w(τ),β(τ),b(τ)為等估計參數，可以通過優化問題：

(26)

(27)

4 應用研究

4.1 數據選取

本文選取深證綜合指數(SZSE)、香港恒生指數(HSI)和標準普爾500指數(SP500)的日收盤價作為研究對象，為計算VaR風險測度失敗率的方便，固定各期收益的樣本量為400，確定SZSE的樣本區間為：2011年1月19日—2012年9月28日、HSI和SP500的樣本區間為：2011年2月8日—2012年9月28日。所有數據均來自銳思數據庫，SVQR模型的計算使用了Matlab軟件，其余計算及圖表均在R軟件下制作完成。限于篇幅，本文略去了部分圖表，讀者可以索取。

由前文的討論可知，多期VaR風險測度主要取決于持有期k和單期收益向前一步波動率估計σt+1。為此，首先對單期收益進行統計分析與波動率估計。三個股票指數單期收益序列的基本統計特征計算(結果略)顯示：(1)偏度系數為負，收益序列都呈現左偏特征；(2)峰度系數大于3，收益序列呈現高峰特征；(3)J-B檢驗在5%顯著性水平下，拒絕了正態分布假定；(4)LM檢驗在10%顯著性水平下顯著，認為收益序列存在條件異方差行為。這些基本統計特征，為本文使用有偏、厚尾的GARCH模型對收益序列進行波動率估計，提供了基礎信息。

4.2 模型估計

首先，建立波動模型，進行波動率估計。對三個股指的單期收益序列建立GARCH類模型，模型參數估計結果(結果略)顯示，各個GARCH模型中回歸系數滿足α0≈0且α1+β1≈1，表明RiskMetrics使用EWMA模型做波動率估計有一定的道理，但這并不意味利用“時間方根準則”進行多期VaR風險測度同樣準確。為比較不同波動模型對多期VaR風險測度的影響，本文以EWMA模型作為對比的基準，選取權重α=0.94。限于篇幅，這里省略了基于EWMA模型和GARCH類模型波動率估計結果的報告。

其次，分別建立QRNN模型與SVQR模型。輸出變量或被解釋變量為多期收益組成的收益序列向量，輸入變量或解釋變量主要有：第一，持有時期序列組成的向量；第二，單期收益向前一步估計序列組成的向量。根據Taylor[10]和Chen等[22]的研究，本文取持有期k為1、3、5、7、10、12、15，建立數據結構如下:

(29)

式中，r′k=(r1,k,r2,k,…,rT,k)為k期收益序列；1′=(1,1,…,1)為1向量；σ′t+1=(σ1+1,σ2+1,…,σT+1)為單期收益向前一步波動估計序列。對于收益序列，王鵬等[23]使用左尾分位數對應多頭頭寸。為得到95%與99%置信水平下的多期VaR風險測度結果，選擇τ=5%,1%兩個分位點進行分位數回歸。

在QRNN模型建立中，輸入層的輸入變量取持有期k序列和波動率估計σ序列、輸出層的輸出變量取收益r序列、隱層轉換函數選擇sigmoid函數、輸出層轉換函數選擇等值函數。如果使用EWMA模型得到的波動率估計，本文稱之為：QRNN+EWMA模型，以此類推。實證中，采用5重交叉驗證，根據最小RMSE值對應的n和λ，選取最優的隱層節點數目和懲罰參數(結果略)。繼而依據權重參數訓練(結果略)，建立QRNN模型，一次性完成7個持有時期VaR風險測度。

4.3 多期VaR風險測度

在獲得單期收益向前一步波動率估計之后，可以有三類方案進行多期VaR風險測度。第一類為波動模型法，直接由波動模型依據式(11)得到多期VaR風險測度。第二類為QRNN+波動模型法，以持有期序列和單期收益向前一步波動率估計序列作為輸入變量，以多期收益序列作為輸出變量建立QRNN模型，依據式(21)得到多期VaR風險測度。第三類為SVQR+波動模型法，以持有期序列和單期收益向前一步波動率估計序列作為解釋變量，以多期收益序列作為被變量建立SVQR模型，依據式(28)得到多期VaR風險測度。

本文使用上述三類方案共計18種模型，對置信水平為95%和99%時的多期VaR風險進行了測度。結果發現，在不同置信水平下、不同持有時期，研究結論基本相同，概括如下：

(1)不同測度方案顯著影響多期VaR風險測度效果。由多期VaR測度結果(圖形略)可以看出，基于波動模型的VaR風險測度結果的走勢與收益率的變化趨勢雖然大體相同，但是其波動性不甚明顯，有時甚至趨于一個常數；而基于QRNN+波動模型、SVQR+波動模型的VaR曲線變化和波動情況與收益率更為接近，充分地體現出收益率的時變性。(2)不同波動模型或波動率估計方法顯著影響多期VaR風險測度效果。在正態分布假定下，SVQR+EWMA模型對VaR估計結果的波動性要強于QRNN+EWMA模型，而SVQR+GARCH_N模型對VaR的測度結果體現出的波動性弱于QRNN+GARCH_N模型。在t分布和St分布的假定下，對比基于GARCH_t模型和GARCH_St模型，雖然t分布很好的刻畫了收益率時間序列的尖峰厚尾特征，但是過于高估了VaR風險。比較而言，同時考慮收益率峰度和偏度的St分布，緩解了t分布過于高估VaR的問題，VaR的測度結果與實際的收益率損失較為接近。此外，SVQR+GARCH_t與SVQR+GARCH_St測度結果差別不明顯，而QRNN+GARCH_t與QRNN+GARCH_St模型對VaR測度存在一定差別。在GED分布和SGED分布的假定下，SVQR+GARCH_SGED模型所得的VaR測度結果貼近收益率的變化趨勢，優于其它各模型。

為比較多期VaR風險測度效果，本文給出其評價準則，定義置信水平(1-τ)、持有期為k的多期VaR風險測度失敗率為:

(30)

式中，Nk表示k期VaR風險測度失敗次數；I(·)為指示函數。根據VaR的定義，在置信水平(1-τ)下，一個合理的VaR測度模型得到的期望失敗率應為τ，即H0:pk=τ。因此，失敗率pk是一個適度指標，若H1:pk>τ，表明模型低估了VaR風險；若H1:pk<τ，表明模型高估了VaR風險。可以使用Kupiec[24]的似然比檢驗:

LRk=2ln[(1-pk)(T-Nk)(pk)Nk]-2ln[(1-τ)(T-Nk)(τ)Nk]

(31)

對多期VaR風險測度效果進行回測檢驗(backtesting)。式中，在H0成立時，似然比統計量LRk服從自由度為1的卡方分布；k為不同的持有期，能夠得到一組似然比檢驗結果。一個好VaR模型，不僅要求實際失敗率與預期失敗率一致，而且要求失敗序列是相互獨立的，即VaR失敗事件之間不具有明顯的聚集性。為此，Christoffersen[25]提出條件覆蓋檢驗彌補似然比檢驗的不足，更好地檢驗VaR風險測度效果。為進一步刻畫實際失敗率pk與期望失敗率τ之間的偏差程度，定義多期VaR風險測度平均誤差:

(32)

本文對三個股指在置信水平為95%和99%下各模型測算的多期VaR進行了似然比檢驗和條件覆蓋檢驗。由于結論基本一致，表1只報告了深證綜合指數VaR回測檢驗與模型選擇結果，可以概括如下：

(1)波動模型選擇對多期VaR風險測度效果存在顯著影響，這一差異效果可以被分位數回歸“抹平”。對比各測度方法在各期VaR風險測度上的表現，波動模型法中同時考慮了峰度和偏度的GARCH_St和GARCH_SGED模型對VaR測度的失敗率與其理論水平接近，優于其它波動模型，表明波動模型選擇能夠可以影響到VaR風險測度效果，95%與99%置信水平下所得平均誤差的極差分別為：0.47和0.35、1.32和0.57、1.89和0.39。不過，在結合了分位數回歸分析方法之后，QRNN+波動模型法所得平均誤差的極差分別為：0.18和0.14、0.15和0.22、0.15和0.10，而SVQR+波動模型法所得平均誤差的極差分別為：0.10和0.14、0.29和0.07、0.18和0.11，明顯地減小了平均誤差的極差。這一結果表明，分位數回歸可以減小不同波動模型選擇而引起的偏差，提高VaR風險測度的準度與精度，能夠極大地降低由于波動模型誤設帶來的風險。

(2)基于分位數回歸的VaR風險測度方法具有較強的穩健性，特別適合于多期VaR風險測度。隨著持有期k的遞增，基于波動模型的VaR風險測度效果極不穩定，其失敗率往往大幅偏離理論值5%或1%，要么高估、要么低估VaR值，且條件覆蓋檢驗結果越容易失敗。而基于QRNN+波動模型及SVQR+波動模型給出的多期VaR風險測度效果基本不受持有期的影響，其失敗率大致穩定在理論值5%或1%左右。特別地，SVQR+GARCH類模型在99%置信水平下對標準普爾指數500持有期為10、12、15的VaR測度所得失敗率與其理論值1%完全一致。

(3)在多期VaR風險測度中，SVQR+波動模型法略優于QRNN+波動模型法，并且兩者顯著優于波動模型法。無論在95%還是99%置信水平下，QRNN+波動模型、SVQR+波動模型比直接使用波動模型法給出的VaR風險測度的平均誤差均要低，有的甚至達到兩個數量級。條件覆蓋檢驗結果絕大多數都不顯著，只是在少數的多期(如：k=15)才有部分顯著，表明基于QRNN+波動模型法、SVQR+波動模型法得到的VaR測度效果優于波動模型法。此外，大多數情況下，SVQR+波動模型法所得VaR風險測度平均誤差要低于QRNN+波動模型法。就顯著次數而言，SVQR+波動模型法與QRNN+波動模型法的顯著次數都為0，明顯少于波動模型法。推薦使用結果顯示，SVQR+波動模型法推薦9次、QRNN+波動模型法推薦3次、波動模型法推薦0次。特別地，在99%水平下，SVQR+GARCH_SGED模型對深證綜合指數多期VaR風險測度、SVQR+GARCH_St模型對標準普爾500指數多期VaR風險測度，所得平均誤差都為0，表現優異。

5 結語

研究表明，多期VaR風險測度與持有期及單期收益向前一步波動率這兩個變量之間存在復雜函數關系，很難得到RiskMetrics方法提及的“時間方根準則”。非線性分位數回歸模型：QRNN與SVQR，無需對函數形式進行具體設定，就可以揭示解釋變量對響應變量整個條件分布的非線性影響關系，特別適合應用于多期VaR風險測度。結合波動模型與非線性分位數回歸方法，本文給出了多期VaR風險測度的三類方案，第一，波動模型法；第二，QRNN+波動模型法；第三，SVQR+波動模型法。考慮了6種不同形式波動模型，以適應金融市場波動聚集、厚尾、非對稱等典型特征要求，得到了18個多期VaR風險測度方法。

選取深證綜合指數、香港恒生指數與標準普爾500指數作為研究對象，對18個多期VaR風險測度方法的測度效果進行了實證比較，實證結果表明：(1)在多期VaR風險測度中，只需提供持有期和單期收益向前一步波動率估計這兩個變量，并且不同的波動率估計方法，影響到多期VaR風險測度效果，不過這一差異效果可以被分位數回歸“抹平”。(2)隨著持有時期k的增加，基于波動模型法給出的VaR風險測度失敗率顯著增加，而SVQR+波動模型法、QRNN+波動模型法所得的失敗率基本不變，具有較強的穩健性，適合于多期VaR風險測度。(3)在各期VaR風險測度的整體表現上，就平均誤差而言，SVQR+波動模型法略優于QRNN+波動模型法，并且兩者顯著優于波動模型法，主要原因在于QRNN模型與SVQR模型對收益數據分布特征并無具體要求。由于持有期與波動率對多期VaR既存在線性影響也存在非線性影響，而SVQR模型可以同時考慮線性及非線性影響模式，在多期VaR風險測度中，其表現略優于QRNN模型。

注：(1)*表示似然比檢驗在5%顯著性水平下顯著；(2)#表示條件覆蓋檢驗在1%顯著性水平下顯著；(3)顯著次數為在7個持有期(1、3、5、7、10、12、15)中似然比檢驗顯著次數合計；(4)根據平均誤差最小和顯著次數最少，推薦使用多期VaR風險測度方法，用“√”表示。

為此，建議金融機構可以按照下面的流程進行多期VaR風險測度，以期取得滿意的測度結果。首先，選擇恰當的波動模型，給出單期收益向前一步波動率估計。其次，以持有期和波動率估計作為輸入，以多期收益作為輸出，建立QRNN模型及SVQR模型，并得到多個多期VaR風險測度結果。最后，將多個多期VaR風險測度結果進行綜合集成，提高多期VaR風險測度的準度與精度。

[1] Jorion P. Value at risk: The new benchmark for managing financial risk[M]. New York: McGraw-Hill. 2007.

[2] Morgan J, Riskmetrics: Technical document[R]. Working Paper, Morgan Guaranty Trust Company of New York, 1996.

[3] Koenker R, Bassett G W. Regression quantiles[J]. Econometrica, 1978, 46(1): 33-50.

[4] Taylor J W. Using exponentially weighted quantile regression to estimate value at risk and expected shortfall[J]. Journal of Financial Econometrics, 2008, 6(3): 382-406.

[5] 張瑞鋒, 張世英, 唐勇. 金融市場波動溢出分析及實證研究[J]. 中國管理科學, 2006, 14(5): 14-22.

[6] 史金鳳, 劉維奇, 楊威. 基于分位數回歸的金融市場穩定性檢驗[J]. 中國管理科學, 2011, 19(2): 24-29.

[7] 許啟發, 蔣翠俠. 分位數局部調整模型及應用[J]. 數量經濟技術經濟研究, 2011, 28(8): 115-133.

[8] 陳磊, 曾勇, 杜化宇. 石油期貨收益率的分位數建模及其影響因素分析[J]. 中國管理科學, 2012, 20(3): 35-40.

[9] Taylor J W. A quantile regression approach to estimating the distribution of multiperiod returns[J]. Journal of Derivatives, 1999, 7(1): 64-78.

[10] Taylor J W. A quantile regression neural network approach to estimating the conditional density of multiperiod returns[J]. Journal of Forecasting, 2000, 19(4): 299-311.

[11] White H. Nonparametric estimation of conditional quantiles using neural networks[M]. New York: Computing Science and Statistics, 1992.

[12] Feng Yijia, Li Runze, Sudjianto A,etal. Robust neural network with applications to credit portfolio data analysis[J]. Statistics and its interface, 2010, 3(4): 437-444.

[13] Cannon A J. Quantile regression neural networks: Implementation in R and application to precipitation downscaling[J]. Computers & Geosciences, 2011, 37(9): 1277-1284.

[14] Cannon A J. Neural networks for probabilistic environmental prediction: Conditional density estimation network creation and evaluation (CaDENCE) in R[J]. Computers & Geosciences, 2012, 41(4): 126-135.

[15] Takeuchi I, Furuhashi T. Non-crossing quantile regressions by SVM[C]. Proceedings of 2004 IEEE International Joint Conference on Neural Networks, Budapest,Hungary,July 25-29,2004.

[16] Li Youjuan, Liu Yufeng, Zhu Ji. Quantile regression in reproducing kernel Hilbert spaces[J]. Journal of the American Statistical Association, 2007, 102(477): 255-268.

[17] Shim J, Kim Y, Lee J, et al. Estimating value at risk with semiparametric support vector quantile regression[J]. Computational Statistics, 2012, 27(4): 685-700.

[18] Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics, 1986, 31(3): 307-327.

[19] Vapnik V N. The nature of statistical learning theory[M]. New York: Springer, 1995.

[20] Huber P J. Robust estimation of a location parameter[J]. Annals of Mathematical Statistics, 1964, 35(1): 73-101.

[21] Yuan Ming. GACV for quantile smoothing splines[J]. Computational Statistics and Data Analysis, 2006, 50(3): 813-829.

[22] Chen Meiyuan, Chen J E. Application of quantile regression to estimation of value at risk[R]. Working Paper, National Chung-Cheng University, 2002.

[23] 王鵬, 魏宇. 中國燃油期貨市場的 VaR 與 ES 風險度量[J]. 中國管理科學, 2012, 20(6): 1-8.

[24] Kupiec P. Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models[J]. Journal of Derivatives, 1995, 3(2): 73-84.

[25] Christoffersen P F. Evaluating interval forecasts[J]. International Economic Review, 1998, 39(4): 841-862.

Evaluating Multiperiod VaR via Nonlinear Quantile Regression Model

XU Qi-fa1,2, ZHANG Jin-xiu1, JIANG Cui-xia1

(1. School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China；2. Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-making, Ministry of Education, Hefei 230009, China)

The stylized facts of financial markets，such as volatility clustering, fat tail and asymmetry, make the multiperiod VaR do not comply with simple "rule of time root" in one period VaR measure. Therefore, a more reasonable method is need to seek to evaluate multiperiod VaR accurately. Multiperiod VaR is mainly influenced by two variables, i.e. holding period and volatility. To determine the impact model (linear or nonlinear) of the two variables is essential for evaluating VaR accurately. Nonlinear quantile regression model, overcoming the limitations of the linear quantile regression model in describing linear dependence between multiperiod VaR and its influencing factors, can be used to improve the accuracy of VaR. Three types of methods, volatility model, QRNN+volatility model, and SVQR+volatility model, for evaluating multiperiod VaR has been proposed in this paper based on volatility modeling and nonlinear quantile regression method. For empirical application, three stock price indices are selected: Shenzhen Composite Index, Hang Seng Index and S&P 500 from 19 Jan. 2011 to 28 Sep. 2012. Six different volatility models are considered and two types of nonlinear quantile regression models are combined with them. As a result, the 18 kinds of methods in multiperiod VaR measure are compared together. The empirical results show that volatility model has an influence on the effect of multiperiod VaR measure. In terms of the accuracy of VaR measure, the SVQR+volatility model is slightly better than QRNN+volatility model, and both of them are superior to the volatility model. The good performance of the nonlinear quantile regression models in VaR evaluation comes from the fact that the QRNN and SVQR models belong to nonparametric methods. They have the ability to discover a complex nonlinear relationship among variables without specifying a explicit functional form. This property is very useful for exploring the unknown relation among financial variables.

quantile regression; multiperiod VaR; nonlinear; neural network; support vector machine

2013-06-13；

2014-01-20

國家自然科學基金資助項目(71071087，70901048)；高等學校全國優秀博士學位論文作者專項資金資助項目(200982)；教育部人文社會科學研究規劃基金項目(14YJA790015)

許啟發(1975-)，男(漢族)，安徽和縣人，合肥工業大學管理學院，教授，博士，研究方向：金融計量、數量經濟.

1003-207(2015)03-0056-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.03.007

F224.0

A