連桿參數誤差對機器人精度可靠性的影響

張曉瑾，胡斯樂，林粵科，梅雪川

(1. 廣州機械科學研究院有限公司，廣東廣州510700;2. 廣汽本田汽車有限公司，廣東廣州510700)

0 前言

影響串聯機器人末端執行器靜態位姿精度的誤差源有很多，包括外部環境引起的誤差和內部機構參數誤差。外部誤差主要包括有周圍環境的溫度、鄰近設備的振動、電網電壓波動、空氣濕度與污染、操作者的干預等;內部誤差主要包括幾何參數誤差、受力變形、熱變形、摩擦力、振動等。

考慮到大部分機器人大多是室內車間作業，因而外部誤差影響不大，以焊接機器人為例，其主要是低速輕負載作業，受力變形、熱變形、摩擦、振動引起的誤差也很小，其主要誤差來源還是幾何參數誤差，該誤差占工業機器人所有誤差的80%以上。

所謂幾何參數誤差，即表示在運動學模型中，幾何參數的名義值與真實值的偏差。目前，機器人末端執行器位置的靜態精度誤差分析大都采用傳遞矩陣法或矢量法，且在機器人各構件參數誤差及各關節的運動變量確定的條件下，研究機器人末端執行器的位姿精度誤差變化規律［1－4］。靜態精度誤差分析時假設機器人各構件為質量忽略不計的理想剛體。在這種假設下，引起機器人末端執行器位姿精度誤差的主要因素為結構參數和運動變量誤差。本章采用傳遞矩陣法研究由靜態誤差引起的機器人末端位姿精度誤差，建立機器人靜態位姿精度誤差模型，用一個統計學參數來評價機器人的精度水平，即以可靠度為指標對串聯機器人末端執行器運動精度誤差進行研究。

1 串聯機器人的運動學描述及其靜態位姿誤差

串聯機器人是用關節將系列連桿連接在一起而構成的。在對機器人進行運動學和動力學分析時多采用D-H 法來建立機器人坐標系［5－6］，并利用改進的D-H模型［7］，建立坐標系{N}相對于坐標系{0}的變換矩陣為［8］:

其中:

串聯機器人末端執行器的位姿精度受多方面因素影響，這些影響均會使連桿關節變量和關節參數產生誤差，即:Δθi、Δdi、Δai、Δαi，從而使機器人末端執行器位姿產生誤差。從誤差理論與傳遞情況分析，機器人末端執行器的位姿誤差與各組成連桿的運動變量和結構參數誤差之間存在著函數關系，因此，研究串聯機器人的位姿誤差也就可歸結為其函數誤差的研究。

針對實際情況，式(1)中θi、di、ai、αi均為隨機變量，利用微小位移合成法［9］，首先確定機器人在某一姿態下的誤差陣，即ΔT 為:

其中，?T/?θi、?T/?di、?T/?ai、?T/?αi為連桿轉角θi、連桿距離di、連桿長度ai、連桿扭轉角αi的誤差傳遞矩陣，假定Vij(j =1，2，3，4)相應地代表機器人各組成連桿的關節變量和結構參數di、θi、ai和αi，則機器人末端執行器的位置廣義坐標對于各組成連桿的關節變量和結構參數的偏導數為:

當姿態廣義坐標取為X-Y-Z 固定坐標系(α，β，γ)時，末端執行器姿態對于各組成連桿的關節變量和結構參數di、θi、ai和αi求偏導數，即:

2 應用蒙特卡洛法分析串聯機器人靜態位姿精度可靠性

蒙特卡洛方法［10］又稱隨機抽樣方法，利用隨機數進行統計實驗，以求得的統計特征值 (如均值、方差、概率等)作為待解問題的數值解。隨著現代計算技術的飛速發展，蒙特卡洛方法越來越廣泛地應用到各種科學研究中。誤差的蒙特卡洛模擬方法，就是對具有不同的分布特性的原始誤差隨機量進行抽樣，按照誤差模型計算和統計誤差值分布的一種方法。文中主要對引起串聯機器人靜態位姿誤差的幾何參數誤差進行模擬和分析。串聯機器人各幾何參數誤差具有隨機性，故其引起的末端執行器位姿誤差亦具有隨機性。

將誤差的抽樣值代入末端執行器的位姿誤差數學模型，獲得末端執行器位姿誤差的抽樣值，采用末端執行器的位置誤差落在半徑為R 的誤差球體內的概率和姿態誤差小于給定誤差T 的概率，來量化分析手部位姿誤差，用精度可靠度表示。其中，位置與姿態誤差分別按如下公式計算:

Pi是在同一位姿對關節變量和結構參數di、θi、ai和αi抽樣計算第i 次時所得點位置值，αi、βi和γi是在同一位姿對關節變量和結構參數di、θi、ai和αi抽樣計算第i 次時所得的姿態角。Pc、αc、βc和γc為機器人末端執行器理想位姿坐標值。

設位置誤差ΔPi和姿態誤差Δφi= (Δαi，Δβi，Δγi)T小于給定誤差R 和T= (Tα，Tβ，Tγ)T的樣本數分別為λP、λφ= (λα，λβ，λγ)T，那么機器人位置誤差和姿態誤差小于給定誤差R 和T 的概率近似等于位姿小于給定誤差的樣本數除以樣本總數λ，即機器人精度可靠度為:

2.1 關節參數對靜態位姿精度可靠性影響分析

以五自由度串聯機器人進行分析，其連桿參數如表1 所示。

表1 五自由度串聯機器人連桿及關節參數

計算時做如下假設:關節轉角θi和關節參數di、ai、αi均服從正態分布，其中，關節參數di、ai、αi均值如表1 所示，標準差分別為0.05 mm、0.05 mm、0.5°;關節轉角θi標準差為0.5°，現計算各關節從零位轉動45°時，機器人末端執行器位姿準確度的可靠度。

應用串聯機器人末端執行器坐標系相對于基坐標系的轉換矩陣公式，再對5-DOF 串聯機器人的4 種隨機變量進行105次抽樣，代入公式中，就可得機器人末端執行器在θ1=45°，θ2=45°，θ3=105°，θ4=45°，θ5=45°所達點C 處的0T5，分別計算機器人末端執行器位置和姿態誤差值。表2 所示為位姿理想值和抽樣計算所得樣本的數字特征。

各參數誤差對歐拉角Δα 均值影響最大。位置誤差、姿態誤差經χ2擬合優度檢驗在顯著性水平α =0.05 下服從正態分布，各正態分布參數如表2 所示。

表2 機器人末端執行器位姿誤差理想值和樣本的數字特征

對給定的末端執行器的位置誤差球體半徑R =3 mm和姿態給定誤差T =0.02°，機器人末端執行器的可靠度為:

為便于比較，在其他參數相同的情況下，取關節轉角θi和關節參數di、ai、αi均值不變，標準差分別減小5 倍，即依次取表3 所列標準差組合形式，計算串聯機器人末端執行器位姿誤差可靠度。

表3 各參數均值不變，標準差分別減小5 倍時機器人末端執行器位姿誤差樣本的數字特征

以機構可靠度為評價指標，由表3 可知，當機器人關節轉角θi和關節參數di、ai、αi標準差都減小5倍的情況下，關節轉角θi誤差標準差的減小，使得機構位置精度可靠性顯著提高，其他參數連桿轉角αi、連桿長度ai、連桿偏距di誤差標準差的減小對機構位置精度可靠性的影響不明顯。各參數對末端執行器姿態精度可靠度的影響程度同機構位置精度可靠性。由此可以得出，關節轉角θi的誤差分布對機器人機構可靠度影響較大，為了提高機器人的可靠度，通過采用精度較高的驅動電機、減小動力傳動中的傳遞誤差等措施來控制末端位姿誤差。

2.2 各關節對靜態位姿精度可靠性影響程度

為分析各關節對串聯機器人末端執行器位姿精度可靠性的影響，方便觀察結果，在與關節參數對靜態位姿精度可靠性影響分析中相同的指令位姿，取對末端執行器位姿精度可靠性影響最大的關節轉角θi，改變其分散性，其他參數分布形式不變進行分析。即取各關節標準差σθ1～σθ5分別減小5 倍，研究其對機器人末端執行器位姿精度可靠性的影響，結果如表4所示。

表4 各關節轉角均值不變，標準差分別減小5 倍時機器人末端執行器位姿樣本的數字特征

由表4 可以看出，當其他3 個連桿參數誤差分布不變時，關節1 ～5 的關節轉角分別減小5 倍，經蒙特卡洛分析可知，對給定的末端執行器的位置誤差球體半徑R=3 mm，關節3 處的關節轉角誤差分布對末端執行器的位置可靠度影響最大，其他關節轉角誤差分布的改變對姿態可靠度影響不大。因此，可知在要求位置精度時，應特別減小關節3 的關節轉角誤差值。

3 結論

對由靜態誤差引起的串聯機器人末端位姿精度可靠性做了分析，建立了串聯機器人的靜態位姿精度誤差及精度可靠性模型，并以5 自由度串聯機器人為例，采用Monte Carlo 統計模擬方法，計算了串聯機器人末端執行器位姿精度誤差及可靠性，以精度可靠度為評價指標，關節轉角θi的誤差對串聯機器人末端位姿精度誤差的影響比較大，且關節3 處得關節轉角誤差值對串聯機器人末端位姿精度誤差尤其重要，因此在設計、安裝、使用時，應盡量減小串聯機器人各關節轉角的誤差，對關節3 的關節轉角誤差更應嚴格控制。

［1］WU C h．A Kinematic CAD Tool for the Design and Control of a Robot Manipulator ［J］．The International Journal of Robotics Research，1984．16(1):58－67．

［2］KUMAR A，P．S．Analysis of Mechanical Errors in Manipulators［C］//Proc．6thWorld Cong on TMM，1983:960－964．

［3］黃真．機器人手臂誤差分析及誤差傳遞函數［C］//15thISIR，1985:873－878．

［4］陳明哲，張啟先．工業機器人誤差分析［J］．北京航空學院學報，1984(2):11－22．

［5］熊有倫．機器人學［M］．北京:機械工業出版社，1993．

［6］ISO9787-1999．Manipulating Industrial Robots-Coordinate Systems and Motion Nomenclatures 1999［S］．

［7］John J Craig．機器人學導論［M］．3 版．贠，譯．北京:機械工業出版社，2011:161．

［8］BRUNO Siciliano，OUSSAMA Khatib．Springer Handbook of Robotics［M］．Springer，2007．

［9］徐衛良，張啟先．機器人機構誤差分析的微小位移合成法［J］．南京工學院學報，1987，1(6):45－54．

［10］謝里陽，王正，周金宇，等．機械可靠性基本理論與方法［M］．北京:科學出版社，2009:54－70．