挖掘知識本質，探索通性通法
——對因式分解法解一元二次方程的思考

☉南京航空航天大學附屬初級中學 葉智超

挖掘知識本質，探索通性通法
——對因式分解法解一元二次方程的思考

☉南京航空航天大學附屬初級中學 葉智超

方程可謂是初中數學“數與代數”的核心內容，解方程又是其重要內容之一.它是刻畫現實世界的一種重要模型，蘊含著化歸和模型的思想.它們對學習和應用數學知識具有普遍價值.一元二次方程是方程中的一種重要模型，對一元二次方程的解法的研究，也是筆者一直思考的問題.

一、問題提出

筆者拜讀了《數學通報》2011年第5期中的《對談課堂教學中“邏輯鏈”與“思維鏈”的契合》及《中學數學教學參考》2012年第10期中的《因式分解的教育價值》兩篇文章之后，受益匪淺.但是文1在問題2預設4中提出：“學生掌握分解因式法解方程的基礎上，逼出‘配方法’.這是一個真切的問題情境，在分解因式法無效后，相信學生必欲解決而后快.為了克服含x的項無法合并的困難，通過配方，化歸為‘開平方法’勢所必然.教學中，要讓學生體會到‘配方法’是在分解因式法無效后，‘技術革新’的產物.”文2中指出：“……而解一元二次方程時，配方法、公式法是通法，直接開平方法、因式分解法都是基本方法……”

筆者在市區教研活動中開設一節關于一元二次方程的解法的復習課后，有不少老師也提出類似的問題，認為因式分解法解一元二次方程只適用于一些特殊的方程，如可運用十字相乘法、提公因式、乘法公式的一元二次方程.基于此，筆者認為上面兩文及一些老師的觀點有值得商榷之處，談點兒個人看法，不到之處還請各位同行批評指正.

根據筆者對各個版本教材中關于對一元二次方程解法課程內容設置的研究，各版本的教材基本都是按照直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法的順序編排.全篇分為兩條主線.一是先以直接開平方法為主線貫穿配方法、公式法.首先讓學生感知用直接開平方法解形如x2＝n（n≥0）的一元二次方程；再研究如何解x2-10x+ 16＝0，從而引出配方法，轉化為用直接開平方法求解形如（x+m）2＝n（n≥0）的一元二次方程；最后將方程一般化，思考ax2+bx+c＝0（a≠0）的解法而得到公式法.配方法和公式法都是為了轉化為可用直接開平方法解的一元二次方程，配方法和公式法是手段，目標是通過開平方達到降次的目的.二是再用因式分解法解一些一元二次方程.看似兩條主線自成體系毫無聯系，所以文1中重新編排授課順序，試圖找出這兩條主線之間的聯系，先講授因式分解法，在因式分解法無效后，通過配方，化歸為“開平方法”勢所必然.很多老師過分關注了直接開平方法、配方法和公式法三者之間的關系，卻忽視了因式分解法所蘊含的巨大價值.

以上兩文中的觀點未從知識本身出發，深入地研究、高位地理解數學和教材，解方程（組）的智慧價值未得到應有的彰顯.欲要體現出本節課的思想價值，必須深刻理解解方程的本質，即轉化思想.目標是將不熟悉的方程轉化為熟悉的方程，最終轉化為一元一次方程去解.解方程（組）的一般步驟主要為：復雜的、不熟悉的方程轉化為整式方程（組）（包含多元方程（組）和高次方程兩大類），再通過消元和降次轉化為一元一次方程.而一元二次方程解法的核心思想必然是如何通過降次達到轉化為一元一次方程的目的.降次的方法在教材中只有兩種，分別是利用平方根的性質和因式分解.筆者認為直接開平方是降次的有效方法，可轉化為兩個一元一次方程，配方法和公式法由此衍生，那么因式分解法不也可以達到降次的目的嗎？難道它只能解“一些特殊方程”嗎？配方法和公式法能否由因式分解法去推導呢？若能，顯然兩文中的觀點就值得商榷.為此，筆者做了如下設計.

二、教材整合

建構活動1：認識因式分解法解一元二次方程

（1）復習回顧二元一次方程組解法的核心思想和主要方法——轉化、消元.

（2）若ab＝0，則a＝0或b＝0，這是因式分解法降次的知識基礎.

問題1：x（x-2）＝0和（x+3）（x-2）＝0各是什么樣的方程？你能嘗試求出這兩個方程的解嗎？

問題2：借助上述兩題的解決經驗，你認為要解一元二次方程的核心思想是什么？

問題3：你認為要解一元二次方程的一般步驟是什么？

（3）嘗試解下列3個方程：①x2-4x=0；②x2-4=0；③x2-4x+4=0.

設計意圖：引導學生類比二元一次方程組的解法，進而得出一元二次方程的解法的一般步驟：（1）將一元二次方程右邊化為0；（2）將一元二次方程左邊因式分解化為兩個一次式的積；（3）根據“若ab=0，則a=0或b=0”，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程去解.再通過3個實例進一步讓學生體會因式分解法所蘊含的想想方法.

建構活動2：探索通過因式分解法推導一元二次方程的其他解法——配方法和公式法

配方法的推導如下所示.

（1）用因式分解法解方程：

①x2-4=0；②（x-2）2-16=0；③（x-5）2-3=0.

（2）①在上題的基礎上，思考如何解方程：x2-4x+4-16=0和x2-10x+25-3=0.

②方程（x-3）2-16=0與x2-4x-12=0有什么關系？

③嘗試將方程x2-4x-12=0轉化為（x+m）2-n=0（n≥0）的形式.

設計意圖：讓學生初步感受通過配方后，再利用平方差公式化為兩個一次式的積，從而解一元二次方程.

（3）想一想，如何用因式分解法解x2-4x-5=0呢？

解：方程左邊配方，得x2-2·x·2+22-5-22=0.

即（x-2）2-9=0.

所以（x-2+3）（x-2-3）=0.

即（x+1）（x-5）=0.

所以x+1=0或x-5=0.

原方程的解是x1=-1，x2=5.

故配方法解一元二次方程自然不是在分解因式法無效后“技術革新”的產物.

（4）x2-4x+2=0和x2-6x-16=0你還會解嗎？

（5）解方程：x2-2x+2=0.

解：方程左邊配方，得x2-2·x·1+12+2-12=0.

即（x-1）2+1=0.

由（x-1）2≥0，得（x-1）2+1＞0.

則x2-2x+2=0無解.

顯然不是所有的一元二次方程都是有解的，那么一元二次方程滿足什么條件才會有解呢？我們繼續往下探索.

公式法的推導如下所示.

你能解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）嗎？

當b2-4ac≥0時，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，并且方程的解與每項的系數有關，可以直接通過x1=根.

三、結束語

筆者始終在因式分解法這個大前提下，產生解一元二次方程的配方法、求根公式法.即將因式分解法作為解一元二次方程的通性通法，從另一個視角一線穿成了整個一元二次方程的三種重要解法.繼續拓展，可讓學生進一步認識到：解高次方程，就是要通過因式分解法，將高次方程降為低次方程（降次）來解（與解多元方程組需消元遙相呼應），此時再讓學生解方程（x-2）（x+3）（x-5）=0或讓學生探索不等式（組）的解法就不是什么難事了.因式分解法也是解一元二次方程的通性通法，只不過教材中只是用開平方法這條主線去編寫而已.運用上述思想方法，去整體把握方向，去整體構造解法，讓學生尋求解方程（組）、解不等式（組）的路徑和方法，使學生終生受益！

只有我們在教學中，高位理解數學、理解數學教學，高度把握數學本質，學生的數學思維才可能在理性中得到張揚.

1.連春興、魏韌.對談課堂教學中“邏輯鏈”與“思維鏈”的契合［J］.數學通報，2011（5）.

2.三石.因式分解的教育價值——揚州卷第19題（2）［J］.中學數學教學參考（中），2012（10）.

3.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

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