芻議“解題能力”在初中數學中的培養與探索

☉江蘇省泰州市田河初級中學 徐玲

芻議“解題能力”在初中數學中的培養與探索

☉江蘇省泰州市田河初級中學 徐玲

“解題能力”的提高是人們認識世界、改造世界的關鍵，《中學數學新課程標準》中明確提出對學生“解題能力”的培養，學生在不斷解決問題的過程中，掌握方法、領悟思想，學習科學嚴謹的思維方法，以擴展學生思維的廣闊性、深刻性、敏捷性和批判性，以使學生形成良好的思維品質.

一、“隱含”條件在解題中的挖掘，整合信息提高思維意識

1.從已知條件中挖掘隱含條件，順向推理

順向推理是指學生從已知出發，逐步到達未知，這是解決問題的一般方法.

案例1：已知m、n都為質數，且滿足3m+5n=31，試求

隱含條件挖掘：由題意可知m、n是質數，31為奇數，學生聯想到3m與5n之中必然有一個為奇數、一個為偶數，從而找到解決問題的方法.

解析：對3m和5n進行討論.

（1）若3m為奇數，則5n一定為偶數，奇數和偶數相乘仍然為偶數，可以得出n=2，解方程得m=7，代入可得

（2）若5n為奇數，則3m為偶數，即m=2，解方程得n= 5，代入可

通過對已知條件的思考，挖掘出了其中的隱含條件，進行討論，順利實現了問題的解決.

2.從未知結論中挖掘隱含條件，逆向推理

逆向推理是指學生從問題出發，根據問題的需要選擇數學公式、定律和推論，從而實現問題的解決.

通過對結果的分析，使得學生想要將已知與結論進行對比，在推導中利用了平方差公式、裂項相消法，從而實現了問題的解決.

二、“轉化”思想在解題中的運用，簡化過程提高思維方式

1.一般到特殊的思想轉化

“任意”作為初中數學試題的關鍵詞，具有一定的開放性，用特殊值法解這樣的問題就非常高效和精確.

案例3：己知方程：（n+1）x4-（3n+3）x3-2nx2+18n=0，對于任意實數n，都會有一個相同的實數根，解這個方程.

分析：已知n為任意實數，就可以取較為簡單的數進行代入計算.

解析：取n=0，則有x4-3x3=0，可得方程的解為x=3.

問題具有“任意”性，學生可以設立相對簡單的數字進行分析，也可以讓n=-1，對方程進行簡化，簡便快捷地得到答案.

2.抽象到直觀的思想轉化

初中試題中往往有一些抽象的問題，學生不能直觀地看到問題之間的聯系，如果將其變為圖形試題，問題則會迎刃而解.

分析：學生對字母型的問題感到非常陌生，通過對問題的觀察和分析，學生覺得與勾股定理有一定的相似，順勢就可以將問題轉化為直角三角形問題.

圖1

解析：根據三角形的面積可得：S△ABC=

一道比較復雜的代數題，通過恰當的變形，轉化為了有關直角三角形的圖形問題，整個題顯得生動直觀了許多，問題的解決也就變得簡單明了了.

三、“變式”訓練在解題中的強化，靈活思考提高思維能力

“變式”訓練主要根據題目的目標、內容、結構和特征等幾個方面進行考慮，建立開放型的試題，主要包括一題多解、一題多變等幾方面，促進學生從不同角度、不同層次進行探索學習，以提升學生的思維能力.

1.在一題多解中，培養學生思維的廣闊性

一題多解幫助學生從多個方面進行分析，不僅夯實了基礎知識，還拓寬了學生的解題思路，促進了學生知識運用的靈活性，充分做到了舉一反三、融會貫通.

案例5：如圖2所示，在△ABC中，D是AC上一點，AD∶DC=1∶2，BD的中點為E，且直線AE的延長線與BC的交點為F.試求BF∶FC的值.

圖2

分析：題中讓求線段之間的比值，學生很容易就聯想到了相似三角形和平行線中的比例關系，從而可以從不同的角度解決問題.

解法1：利用平行線分線段成比例的性質進行求解.過D點作AF的平行線，與BC相交于點N.

由BD的中點為E，得BF=FN.可以推得CM∶FM=CD∶ AD=2∶1，則CN=2FN=2BF，則BF∶FC=1∶3.

圖3

解法2：利用相似三角形的性質進行求解.

如圖3，過A點作平行于直線BC的直線，與BD的延長線交于點G.易得△AGD∽△CBD，則AG∶BC=GD∶BD=AD∶DC=1∶2，則GD=DE=BE.易得△AGE∽△FBE，則AG∶BF=GE∶BE=2∶1.由AG∶BC=1∶2，AG∶BF=2∶1，得BF∶CB=1∶4，則BF∶FC=1∶3.

解法3：利用三角形的面積比進行求解.

如圖4，連接CE，過B點作AF的垂線于P，過C點作AF的垂線于AF的延長線上一點Q，從而得出△BFP∽△CFQ，則BF∶FC= BP∶CQ.由于AE既是△ABE的底又是△ACE的底，故S△ABE∶S△ACE=BP∶CQ= BF∶FC.因為△ABE與△ADE同底同高，故有S△ABE=S△ADE.則S△ADE∶S△ACE= BF∶FC.△ADE與△ACE同底，故有S△ADE∶S△ACE=AD∶AC=1∶3.因此BF∶FC=1∶3.

學生從不同的角度進行了分析，嘗試改變自己的思路進行求解，在對比中了解了解題的繁簡，長期的堅持有助于學生對最佳解法的掌握，很大程度上開闊了學生的思路，可促進學生解題能力的發展.

圖4

2.在一題多變中，培養學生思維的敏捷性

一題多變是對題目結構進行變式，通過一個本質實現了問題的發散，調動學生對已有知識的回顧，將知識、技能、方法和思想進行靈活融合，極大地提高了學生的綜合能力，提升了學生思維的敏捷性.

案例6：已知一次函數y=（3-k）x-2k+18，試求k的取值范圍.

分析：本題重在考查一次函數的定義，那么教師就可以以此為例對問題進行變形，使學生深刻透徹地對一次函數進行學習.

變式1：一次函數y=（3-k）x-2k+18，該函數的圖像必經過原點，試求k的值.

變式目的：考查圖像、原點坐標和函數解析式之間的關系，令x=0，y=0，就可得到-2k+18=0，則k=9.

變式2：一次函數y=（3-k）x-2k+18，該函數與y軸有交點且在x軸的上方.試求k的值.

變式目的：考查一次函數與x軸、y軸的交點問題，與y軸有交點則x=0，且在x軸上方，說明-2k+18＞0，即k＜9.

變式3：一次函數y=（3-k）x-2k+18，y隨x的增大而減小時，k為何值？

變式目的：考查一次函數的性質.3-k＜0，則k＞3.

變式4：一次函數y=（3-k）x-2k+18，其圖像與直線y=-x相平行，試求k的值.

變式目的：考查直線的位置關系.

變式不是盲目的，而是要具有一定的計劃性、針對性，使學生能夠全面細致地了解知識的每一個方面.加強了學生思維的訓練，切實做到了精講、精練.

1.王林全.中學數學思想方法概論［M］.廣州：暨南大學出版社，2003.

2.譚德勝.換個角度思考問題——也談中學數學解題中的化歸和轉化思想［J］.理科愛好者（教育教學版），2012（3）.Z