法則引入與注重算理：運算教學的用力點

☉江蘇省連云港市贛榆區歡墩中學 彭忠榮

法則引入與注重算理：運算教學的用力點

☉江蘇省連云港市贛榆區歡墩中學 彭忠榮

我們注意到，《中學數學》（下）2015年以來刊載了多篇研究專家教師李庾南老師課例的文章，筆者十分贊賞這種研究取向，因為通過觀摩、研究專家教師的課例設計、教學藝術，分析之后得到的就是研習者自身的專業成長，也即是從默會知識到“悠然神會，妙處與君說”的顯性傳遞.于是，筆者找來李庾南老師前幾年的教學錄像——七年級“去括號”，反復觀摩研習，現將該課的教學流程梳理出來，并跟進賞析，與同行分享.

一、“去括號”教學過程

（一）開課階段：回顧學生已有的去括號經驗

1.根據相反數的意義和表示方法去括號

（1）“相反數”的有關知識.

只有符號不同的兩個數互為相反數，其中一個數叫做另一個數的相反數，正數的“+”可省略不寫.在任意一個數前面添上“-”，新的數就表示原數的相反數.

（2）練、議.

根據相反數的意義化簡下列各數：

（3）概括練習中化簡符號、去括號的方法.

括號前面是“+”時，由“正數的正號可省略不寫”，將“+”和括號都去掉，括號內的數的符號不改變；

括號前面是“-”時，由相反數的意義，把括號和它前面的“-”去掉，括號里面的數改變符號.

2.根據有理數的乘法法則和乘法分配律去括號

（1）有理數乘法法則.

兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，任何數同0相乘，都得0.

（2）乘法分配律.

一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加，即a（b+c）=ab+ac.

（3）練、議.

題1：計算5b+（-3b-2a）.

解：5b+（-3b-2a）……看作（+1）（-3b-2a）

＝5b-3b-2a……乘法分配律和乘法法則

＝2b-2a.

題2：13-（a-5）.

解：13-（a-5）……看作（-1）（a-5）

＝13-a+5……乘法分配律和乘法法則

＝18-a.

筆者說明：這里的運算并不是重點，多數學生都能順利完成，重要的是教師在每一步后面都追問學生的變形依據，并注明算理.

教師解說：括號外的因數是正數，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號相同；括號外面的因數是負數，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號相反.

進一步反思講評：根據加法的結合律和減法的運算性質去括號.

題1：5b+（-3b-2a）＝5b-3b-2a……加法結合律.

題2：13-（a-5）＝13-a+5……減法運算性質.

對于題2，也可以這樣理解：一個數減去幾個數的和，等于從這個數連續減去各個數.

（二）師生共同概括去括號法則

1.去括號法則

符號表示：a+（b-c）=a+b-c.

文字表示：括號前面是“+”，把括號和它前面的“+”去掉，括號里各項都不變號.

符號表示：a-（b-c）=a-b+c.

文字表示：括號前面是“-”，把括號和它前面的“-”去掉，括號里各項都改變符號.

2.練、議

合并下列各式的同類項：（教師要求學生注明第一步的依據）

（1）8a+2b+（5a-b）；（2）（5a-3b）-3（a2-2b）；

（3）3x-（4y-2x+1）；（4）-（x-y）+（-x-y）.

（三）由等式的對稱性質“若a=b，則b=a”，概括添括號法則

1.去括號法則反過來為添括號法則

去括號法則添括號法則

2.添括號法則

添括號后，括號前面是“+”的，括到括號里的各項都不變號；

添括號后，括號前面是“-”的，括到括號里的各項都改變符號.

3.去、添括號符號法則的一致性

括號前面是“+”，去、添括號都不變號；

括號前面是“-”，去、添括號都要變號.

4.練、議，進一步理解添括號法則

例1在等號右邊的括號內，填上適當的項：

（1）a+b+c-d=a+（）；……添帶有“+”的括號

（2）a-b+c-d=a-（）；……添帶有“-”的括號

（3）a-b-c-d=a-b+（）；……添帶有“+”的括號

（4）a+b+c+d=a+b-（）；……添帶有“-”的括號

（5）（a+b-c-d）（a-b+c-d）=［（a____）+（b______）］·［（a______）-（b_______）］.……添括號，學生們按題的特征自主選擇填的項

例2（1）在多項式m4-2m2n2-2m2+2n2+n4中添括號.

要求：把四次項相結合，放在前面帶有“+”的括號里；把二次項相結合，放在前面帶有“-”的括號里.

解：m4-2m2n2-2m2+2n2+n4=（m4-2m2n2+n4）-（2m2-2n2）.

（2）把3x3-2x2-6x+4寫成兩個二項式的和.

教學記錄：由于這是一個開放式問題，所以學生有不同的解答，如下所示.

解：3x3-2x2-6x+4=（3x3-2x2）-（6x-4）=（3x3-2x2）+（-6x+4）=（3x3-6x）+（-2x2+4）.

（四）去、添括號法則的應用練習

（1）計算（8xy-3x2）-5xy-2（3xy-2x2）.

（2）化簡2a-3b+［4a-（3a-b）］.

（4）三角形的第一邊是a+2b，第二邊比第一邊小（b-2），第三邊比第二邊小5，計算三角形的周長.

教學記錄：這4道習題教師都要求不僅會做，還要能講每一步的運算依據，即算理.其中第二題學生的不同解法如下所示.

解法1：2a-3b+［4a-（3a-b）］

＝2a-3b+4a-（3a-b）……先把（3a-b）看作一個整體，化去帶有“+”的中括號

＝2a-3b+4a-3a+b……化去帶有“-”的小括號

＝（2+4-3）a-（3-1）b……合并同類項時，添加括號

＝3a-2b.

解法2：2a-3b+［4a-（3a-b）］

＝2a-3b+（4a-3a+b）……先去小括號

＝2a-3b+（a+b）

＝2a-3b+a+b

＝3a-2b.

對于第四題，不少學生的解法中沒有文字表達，全是字母運算，教師在訂正時規范如下所示的解法步驟.

解：由題意知：—邊為a+2b；

第二邊為（a+2b）-（b-2）……添括號

＝a+2b-b+2……去括號

＝a+b+2；

第三邊為（a+b+2）-5……添括號

＝a+b+2-5……去括號

＝a+b-3.

所以該三角形的周長為（a+2b）+（a+b+2）+（a+b-3）……添括號

＝a+2b+a+b+2+a+b-3……去括號

＝3a+4b-1.

（五）師生小結，布置作業

（1）在化簡、計算等解決問題的過程中，有時需要添括號，有時需要去括號，必須掌握去、添括號法則.

（2）去、添括號法則中，括號與其前面的符號為一個整體，同時去、同時添，去、添括號的符號法則是一致的.

（3）去、添括號是兩個互逆過程，可相互檢驗變形過程的正誤.

二、課例賞析

以上梳理了李老師關于去括號教學的教學過程，其中有些來自課堂中的學生生成，有些是教師的點評或示范，并附有筆者的聽課隨感，以下再從整體上給出兩點賞析.

1.運算法則教學要引導學生感受法則的合理性、和諧性、一致性

從開課階段看似冗長的課堂引入來看，這節課是整式加減前的一個去括號法則，為什么不直接引入或介紹去括號法則，而要九曲十八彎地復習到上一章中有理數的諸多性質呢？這其實就是作為專家教師對數學知識前后一致、邏輯連貫的深刻理解，因為在學生有理數學習過程中，對于相反數、乘除法則等運算的學習，已經涉及去括號的思想或方法，這時教者通過復習這些舊知，目的是啟發學生類比、歸納、概括出新知——“去括號”法則，而且在此過程中，一個新法則（或新約定），它的合理性、和諧性、一致性就被前面的引入環節鋪墊得非常到位.這樣的教學比之“一個法則，三項注意、幾道例習題訓練”（章建躍語）式教學要高明得多，與那種貼標簽式的強調去括號具有合理、和諧、一致的點評相比，也有著更為高超的“無痕”教學藝術.此外，大家是否注意到，目前教材上在該節教學時并沒有添括號法則，然而上面的教學中，李老師卻基于“反過來”的思考，引導學生概括小結了添括號法則，教學過程非常自然，學生接受得也很好，這并不是增加學生的課業負擔，而是完善了知識體系，讓學生加深了知識之間的和諧共生、邏輯一致的認識，專家教師對教學內容的深刻理解值得深思.

2.運算教學應該在重視算理的基礎上追求運算速度

中科院李文林研究員曾指出，數學就是兩個字：算和證.就我們所見，當前教學中對運算的要求是高的，學生進行繁雜運算的能力是強的，一方面有應試的壓力，另一方面與我們過分拒絕使用計算器也不無關系.然而，對于算理的重視卻不夠到位.表現在運算教學中，我們過分重視了大量的運算演練，讓學生通過過度的機械訓練來達到“熟能生巧”的運算教學目標.而我們從李老師的教學中能發現，她的這節課并沒有安排大量的、形形色色的運算訓練，而是注意在有限的幾個練習中開展算理的追問、標注，并倡導學生在獨立運算之后的小組議論、全班交流，注意每一步運算的依據和算理的訓練.筆者以為，這即是一種高水平的數學教學.運算教學的新課期間，如果不能充分重視算理，就匆匆追求所謂的運算速度是本末倒置.

1.朱映紅.情境創設再認識：值得重視的“超經驗”——李庚南老師“二元一次方程組”起始課賞析［J］.中學數學（下），2015（4）.

2.吳燕飛.找準生長點，思辨特殊與一般——李庚南老師“直角三角形全等”課例賞析［J］.中學數學（下），2015（4）.

3.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.

5.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.

6.李庾南，陳育彬.中學數學新課程教學設計30例——學力是這樣發展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

7.劉東升.悠然神會，妙處與君說——李庾南老師“平方根”課例賞析［J］.中國數學教育，2014（5）.Z