對一個將軍飲馬模型問題的三個反思

☉甘肅省天水市第七中學 吳俊杰

對一個將軍飲馬模型問題的三個反思

☉甘肅省天水市第七中學 吳俊杰

題目（2013年蘇州數學中考）如圖1，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上.頂為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為_______.

圖1

圖2

參考答案：如圖2，作點A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于點P，連接AP，過點D作DN⊥OA于點N，則此時PA+PC的值最小.因為B（3，），所以AB=OA=3，∠B=60°，由勾股定理得OB=2，由三角形面積公式因為∠AMB=∠BAO=90°，∠B=60°，所以∠BAM=30°，∠OAM=60°.因為DN⊥OA，所以∠NDA=由勾股定理得Rt△DNC中，由勾

反思1：為何舍棄另一種思路？

此題屬于典型的“將軍飲馬”問題，在尺規作圖問題中有兩種解答思路：（1）作點A關于直線OB的對稱點D，連接CD與直線OB相交于點P；（2）作點C關于直線OB的對稱點E，連接AE與直線OB相交于點P.兩種方法的本質是相同的，思路也是相同的，只是選擇的點不同罷了，而且兩種作圖方法最終確定的點P的位置是重合的，PA+ PC的最小值即線段CD或線段AE的長也被唯一確定.因此，在日常教學中沒有引起學生和教師的足夠注意，思路（1）或思路（2）的選擇隨意性很大，沒有任何甄選的過程.

那么，在具體問題解答中，應該選擇作點A還是選擇作點C的對稱點呢？還是兩種選擇都是一樣的呢？

圖3

本題參考答案選擇“作點A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于點P”，如圖2，給出了解答，通過網絡搜索發現許多文獻也直接借鑒了這一解法.那么為什么選擇思路（1），而不選擇思路（2），是因為思路（2）復雜嗎？還是因為兩種思路本質相同選擇哪一個對于問題的解決沒有影響？下面先給出基于思路（2）的證明：如圖3，作點C關于直線OB的對稱點E，連接AE與直線OB相交于點P.過點E作EN⊥OA，垂足為N.因為

對比兩種方法，可以發現思路（2）較參考答案更簡捷，涉及的知識點和要求更少，推理難度更低.分析解題方案選擇中厚此薄彼的原因，可能在于解題者受“將軍飲馬”問題尺規作圖方法的影響，認為兩種思路的效果是一樣的，因而在問題被遷移到本題中的時候，也武斷地認為選擇哪種思路解答都沒有區別，就選擇了作點A的對稱點.討論中另有教師指出，或許因為點A距離OB較遠，且點A是直角三角形的頂點位置較為特殊，作出的圖形更顯大氣，不似圖3中各圖形元素聚集在小范圍內顯的擁擠繁雜，而有時候繁雜的圖形會影響解題人的思路，且不利于分析相互間的關系.此言也并非沒有道理，但筆者認為，此解中“厚此薄彼”暴露出解題人在問題解答中缺少對各種解題思路的一種“先行預判”和“甄選”，即在選擇作點A和點C的對稱點兩種思路之間缺乏對解答中可能用的知識點、方法，以及難易程度、可行性等缺乏比較分析，以至于解題分析中方案的選擇更多的表現為一種隨意性.

反思2：問題可否推廣到一般情況？

事實上，也可以同時作出點A和點C關于OB的對稱點，如圖4，根據軸對稱性可以發現，在原題已知條件下可以發現O、D、E三點在同一條直線上，△OAD是等邊三角形，并且△DOC≌△AOE，其中OD=OA，OE=OC，∠DOA=∠EOC=2∠BOA=60°，可以得到四邊形ADEC是等腰梯形等結論，對角線CD和AE的長度都等于PA+PC的最短距離.基于這一認識，我們可以繼續考慮問題的一般形式.

圖4

圖5

對于一般情況有：點A、C是直線m同側的兩個點，設直線AC（記作直線n）與直線m相交于點O，且夾角記作θ，如圖5，作出點A、C關于直線m的對稱點D、E，根據對稱性可以確定O、D、E三點依然在同一條直線上，且∠DOA=2∠BOA=2θ，記OC=OE=b，OA=OD=a，在△AOE中，由余弦定理可知AE2=OE2+OA2-2OE·OA·cos∠DOC= OC2+OA2-2OC·OA·cos2∠BOA=b2+a2-2abcos2θ.所以PA+

如果要回避余弦定理，利用三角函數和勾股定理也可求得AE的長.根據圖3也可以得到上述結論，但是參考答案（如圖2）的方法就顯得無能為力了，因為它沒有把將軍飲馬問題中的三個決定因素有效聚集在一起，尤其沒有有效聚集在同一個三角形中，從這個角度分析，可以再一次發現參考答案舍棄思路（2）的遺憾.

至于它的應用不再舉例，因為分析上面一般形式，不是為了總結什么公式或者新定理以求直接在解答問題的時候套用，而是希望通過探究，使得將軍飲馬模型問題中決定最短距離的三個參數a、b、θ（即OC、OA、直線m和直線n的夾角）在確定最短距離中的作用，進一步說明參考答案舍棄思路（2）的不智.再者，利用這一結論可以將幾何問題化歸為代數問題求解，體現了化歸思想，且在實際生產、工程問題中代數方法應用更為廣泛和更有應用價值.

反思3：在實際生活中，將軍飲馬模型問題還有哪種參數系統？

在前面分析中，指出線段OC、線段OA、直線m和直線n的夾角是決定PA+PC的最短距離的三個參數，那么在實際生活中，還有沒有其他的決定最短距離的參數系統？

略作分析，可以發現在實際生活中，還可以確定另外一種確定最短距離的參數系統，即點C到直線m的距離CM，記作h1，點A到直線m的距離AN，記作h2，以及點A和點C之間的距離，記作d，這三個參數都是實際生活中比較容易測量的.如圖6，前面已經分析過，四邊形ACED是等腰梯形，最短距離為對角線AE或CD，過點C、D分別向AD作垂線，垂足為F、G，根據等腰梯形的性質可得AF= h2-h1，DF=2h2-（h2-h1）=h2+h1，由勾股定理可得CD2=CF2+ DF2，AC2=CF2+AF2，消去CF2可得CD2=AC2-AF2+DF2=d2-（h2-h1）2-（h2+h1）2，所以PA+PC的最短距離為

圖6

下面這道源自百度百科的問題，可以很好地說明第二種參數系統在生活中的應用價值.如圖7，有A、B兩個村莊，他們想在河流m的岸邊建立一個水泵站，已知每米的管道費用是100元，測量得到A到河流的距離AD是1km，B到河流的距離BE是3km，DE長3km.請問這個水泵站應該建立在哪里使得費用最少？為多少？

分析：問題中告知村莊A、B到河流岸邊的距離，在實際生活中這也是比較容易測量的量.在第二套參數系統中，可以很容易由AD、BE、AB確定DE.如圖7所作，C點為水泵站的位置，所鋪設的水管長度就是AC+BC=A′C+ BC=A′B.因為EF=A′D=AD=1km，所以BF=BE+EF=4km.又A′F=DE=3km，在Rt△A′BF中，A′B2=A′F2+BF2，解得A′B=5km.所以總費用為500000元.

至此，我們得到了將軍飲馬模型問題的兩種參數系統，雖然涉及參數系統不同時表達式不同，但其本質是相同的.從圖5、圖6的分析也暴露出原試題參考答案貿然舍棄“過點C作關于直線OB的對稱點”的不妥.這就啟發我們，在選擇解題思路的時候，一定要有問一問“為什么要這樣，而不能那樣”，要有一個“先行預判”和“甄選”的過程.H

圖7