適時“留白”，讓學生展示精彩

☉山東省沂源縣實驗中學 崔春近

適時“留白”，讓學生展示精彩

☉山東省沂源縣實驗中學 崔春近

想到了國畫和書法應該是疏密有致，疏處可以走馬，密處不使透風，在課堂教學中適時“留白”，讓學生展示精彩，同樣會收到不一樣的效果.在課堂中，教師讓學生充分展示自己的才華，通過學生的自主探究、小組交流，學生學會了如何在已知與未知之間架起一座“橋梁”，實現了學習方式由被動接收式向主動探究式的根本轉變.教師以問題為背景依托，充分拓展學生思維的空間，讓學生在探究中學習，在不知不覺中鍛煉提升了自己的思維.下面，筆者結合自身的教學和教學活動中的所見、所感、所想，談自己的粗淺認識.

一、引而不發，在方法拓展時“留白”

題目1：（2013·呼和浩特·16）在平面直角坐標系中，已知點A（4，0）、B（-6，0），點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，點C的坐標為__________.

圖1

分析：本題在十字坐標系中給出了A、B兩點的坐標，讓我們在y軸上尋找一點，使得∠BCA=45°，解題的關鍵在于怎樣利用∠BCA=45°這一條件，如何將∠BCA=45°這一條件進行轉化.本想根據筆者自己的教學預設給學生講解，在課堂中自己把問題放手給學生，聽一聽學生的分析思路，卻收到了意外的驚喜.生1：我是利用面積相等法來求解的.具體過程如下.當C點在y軸的正半軸時，如圖1，作AD⊥BC于點D，設OC=h，則為∠BCA= 45°，所以據BC·AD=BA·OC得到解得h2=144或h2=4（不符合題意，舍去），所以h=12，所以C點的坐標是（0，12）.

同理，當C點在y軸的負半軸時，可以得到C點的坐標是（0，-12）.

（主要是考慮到∠BCA=45°，然后過點A作AD⊥BC于點D，這樣就構造出了等腰直角三角形ACD，然后利用面積相等列出了等式，這一種方法比較好理解，但是計算上比較麻煩，方程中出現了四次方，對于學生們的計算能力是一個挑戰）

生2：我是構造等腰直角三角形，利用面積分割來求解此題.如圖2，過B作BD⊥BC與CA的延長線相交于一點D，然后作DD′⊥x軸于D′.因為∠BCA=45°，所以三角形BCD是等腰直角三角形，BD=BC.易證Rt△BDD′≌Rt△CBO，所以DD′=6.

圖2

（還是考慮到∠BCA=45°，構造等腰直角三角形BCD，同時還構造出了一對全等三角形，然后利用面積分割列出了等式，這一種方法省去了學生1計算4次方的麻煩，但是構造上有一定的技巧性）

生3：我也是構造等腰直角三角形，利用相似來求解此題.我的輔助線的作法與學生2的相同，過B作BD⊥BC與CA的延長線相交于一點D，然后作DD′⊥x軸于D′.因為∠BCA=45°，所以三角形BCD是等腰直角三角形，BD= BC.很容易證Rt△BDD′≌Rt△CBO，所以DD′=6.設OC= h，則AD′=h-10.根據Rt△AOC∽Rt△AD′D，得解得h=12或h=-2（舍去），所以C點的坐標是（0，12）.

（還是考慮到∠BCA=45°，構造等腰直角三角形BCD，同時還構造出了一對相似三角形，然后利用相似三角形的對應邊成比例列出了等式）

生4：我是利用軸對稱求解的.如圖3，作三角形BCA關于AC的對稱三角形ACD，連接BD與AC相交于點E，與y軸相交于點F，過D作DD′⊥y軸于點D′.很容易證Rt△BAE≌Rt△CFE，所以CF=10.又因為Rt△CDD′≌Rt△BCO，所以CD′=6，D′F=4，DD′=OC.設OC=h，由△DD′F∽△BOF，得h=12或h=-2（舍去），所以C點的坐標是（0，12）.

（利用軸對稱構造了三個等腰直角△BCD、△BCE、△CDE，然后通過兩次全等、一次相似來求解，在求解過程中體現了構造的思想，并充分利用全等、相似的相關知識求出結果）

圖3

圖4

生5：利用輔助圓來求解.如圖4，作△ABC的外接圓，圓心為D，因為∠BCA=45°，所以∠BDA=90°.易求得AD= BD=作DE⊥y軸，垂足為E，因為DE=1，CD=所以CE=7.又因為OE=5，所以C點的坐標是（0，12）.

（利用輔助圓中圓周角和圓心角的關系，將∠BCA= 45°這一條件轉化，輕松地將問題轉化）

生6：我是利用相似、全等來求解的.具體過程如下.

如圖5，作AD⊥BC于點D，與y軸相交于點E.因為CD=AD，所以Rt△DBA≌Rt△DEC，所以CE=10.設OE=x，因為Rt△AOE∽Rt△COB，x2+10x-24= 0，解得x=2或x=-12（不符合題意，舍去），所以x=2，所以C點的坐標是（0，12）.

圖5

圖6

生7：通過翻閱高中課本，我是利用直線到直線的角來求解的.設C點的坐標為（0，a），理得a2-10a-24=0.解得a=12或a=-2（舍去），所以C點的坐標是（0，12）.

（直接根據直線BC到直線AC的角是45°，利用夾角公示就可以直接求出結果.但是公式的內容超出了初中教材，需要自己課下提前學習才行）

生8：利用軸對稱構造正方形，運用勾股定理求解.如圖7，作三角形BCO關于BC的對稱三角形DCB，同理，作三角形AOC關于AC的對稱三角形ACE.易證∠DCE=90°.又因為∠D=∠E=90°，所以延長DE與EA相交于點F，則四邊形CDFE是正方形.設OC=h，則BF=h-6，AF=h-4.在Rt△ABF中，由勾股定理可得（h-6）2+（h-4）2=100，解得h=12或h=-2（舍去），所以C點的坐標是（0，12）.

（利用軸對稱構造出了正方形，當然，這里面運用了矩形、正方形的判定，然后運用勾股定理求出答案，方法十分巧妙）

圖7

二、觀而不理，在思維沖突前“留白”

題目2：如圖8，△ABC中，CD⊥AB于點D，下列條件中，一定能確定△ABC是直角三角形的是：①∠A+∠B=90°，②AC2+BC2= AB2，③AB·CD=AC·BC，….

學生對于①、②沒有什么疑問，但對于③卻展開了激烈的爭論.

圖8

生1：此條件不能確定△ABC是直角三角形，由AB· CD=AC·BC，得△ABC與△BCD的公共角是∠B，這是兩邊成比例，其中一邊的對角相等，不能夠證明△ABC∽△BCD，所以不能確定△ABC是直角三角形.

（大部分同學認為學生1的分析有道理，教師也點頭認可，學生2的分析卻讓課堂再現“波瀾”）

生2：此條件可以判定∠ACB=90°.

（同學們都投入了異樣的目光）

（師生都為生2的精彩講解喝彩，不約而同地為學生2的表現鼓掌）

生3：學生2的分析不正確，我們可以設AB=6，CD=2，AC=3，BC=4，此時，AC2+BC2≠AB2，那么，△ABC不是直角三角形.

（生3通過這一舉例，讓生2的分析陷入了尷尬，高潮過后的“平靜”又起“風波”.這時，老師只有在一旁靜靜地等待，課堂是學生的課堂，學生的頭腦也并非容器，而是等待被點燃的火種！教師要給機會，留出時間，給學生更大的空間，特別是思維的空間，使課堂正真成為學生學習的舞臺.要讓學生戰勝知識的抽象，享受到成功的快樂）

生4：學生3的舉例不可以，若AC=3，CD=2，則AD=，若BC=4，CD=2，則BD=所以AB=所以對于AB、CD、AC、BC不能夠隨便賦值.

（問題在不斷地討論中落下帷幕，肖川語：“教育的過程就是一個不完美的人引領著另一個不完美的人追求完美的過程，我們永遠走在‘趨于完美’的路上，而達到‘知行合一’需要一個過程.”所以教學的過程是不斷探究的過程，是突破思維定勢、大膽創新的過程.探索的過程充滿艱辛與苦惱，發現問題的根源所在可謂是歷盡“磨難”，方成正果.整個問題的探究，學生自由發言，師生共同營造了一個“平等、民主、親密、寬松”的教學氛圍，學生積極動腦，大膽發言，當問題出現時，教師期待的目光激發了學生學習的熱情，探究的愿望油然而生.學生身臨其境的探究活動，使學生更清晰地明白了前因后果）

三、導而不為，在“困難”面前“留白”

題目3：在如圖9所示的直角坐標系中，點A的坐標是（3，4），點A繞著原點O逆時針旋轉90°得到點B，點B再繞著原點O逆時針旋轉45°得到點C，求點C的坐標.

分析：題目設置在直角坐標系中，點A繞著原點O逆時針旋轉兩次，然后求兩次旋轉后點C的坐標，題干“精煉”，但細細分析又感覺無從下手，不知如何去利用已知條件，怎樣找到解決問題的“突破口”呢？

備課組內教師也對此題進行了探究討論.

教師1：我們可以設A點的坐標為（5cosθ，5sinθ），則C點的坐標為（5cos（θ+135°），5sin（θ+135°））.因為cos（θ+

（盡管這一思路易于理解，計算量也不是很大，但教師們都對這一求解思路持否定意見，因為此法運用了高中三角函數的知識，已超出了學生的接受水平.對于初中生來說很難理解，必須另辟蹊徑）

圖9

圖10

教師2：如圖10，連接BC，過B點作BD⊥OC.設C點的坐標為（x，y），根據題意x2+y2=25①.又因為點B的坐標為

（這一思路很清晰，也易于理解，主要運用點C到原點的距離是5，還有B、C兩點間的距離就可以求出C點的坐標.但需要求解一個二元二次方程組，對于學生的計算能力是一個挑戰.教師們一致決定，把這一題目作為一個探究性問題與學生一塊分析探究，共同找到最佳的解決方案.數學教師的教學水平也只有在解題探究的過程中才能體現，“常在河邊走，哪能不濕鞋”，關鍵是如何去面對問題，每個學生都有無限的創造潛能，關鍵是老師的啟發、引導和鼓勵）

課堂上教師引導，師生共同探究，將問題一步步轉化，思路一步步清晰，方法也越來越簡單.

圖11

思路1：如圖11，反向延長CO到C′，使得OC′=OC，過點A作AF⊥x軸于F，交OC′于點E，過E作EG⊥OA，設GE=x.因為∠AOC′=45°，所以OG=x.在Rt△AGE坐標C點的坐標為

思路2：如圖12，過A點作AD⊥OA，與CO的延長線交于D，作AE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥AE于點F.因為∠OAD=∠AFD=90°，所以∠OAE=∠ADF.又因為AD= OA，所以△AOE≌△DAF，所以AF=3，FD=4，所以D點的坐標為（7，1）.又因為線段OD與線段OC關于原點位似，

圖12

圖13

思路3：如圖13，過A點作AD⊥OA，與CO的延長線交于D，連接AB.因為∠BOA=∠OAD=90°，∠AOD=∠OAB= 45°，所以BO∥AD，OD∥AB，所以四邊形ODAB是平行四邊形.因為OA的中點的坐標為（-4，3），所以D點的坐標為（7，1）.又因為線段OD與線段OC關于原

題海無邊，教師想在有限的時間內把題海中的無數條魚都“捕殺殆盡”，顯然是不可能的，唯有授人以漁，在問題探究中，根據實際為學生搭建探究和展示的舞臺，讓學生在探究中不斷改進，在不斷改進中提升自己的能力，才能把學生從題海中拉出，才能讓學生以不變應萬變，從容于數學學習之中.Z