由質疑，到提升，直達問題本質

☉江蘇省如皋市吳窯初級中學 張素慧

由質疑，到提升，直達問題本質

☉江蘇省如皋市吳窯初級中學 張素慧

“科學研究是撥開事物表象，獲得其本質的過程”，數學教學也應如此，應注重引導學生經歷質疑、探究的過程，逐步培養探求問題本質的意識.

在聽課調研中發現，解題教學多滿足于問題解答，解題總結的重點多為解題思路探尋、解題過程中需注意要點細節，以及對所用知識點、方法的歸納，常見變式訓練又多側重于問題變形，卻常常忽略了對問題本質的深層次探究和思考.筆者認為，解題反思環節應適當、適度著手引導學生學會質疑，提出問題，經歷一定探究問題本質的探究活動，這將有助于幫助學生高屋建瓴、深刻理解數學問題，理解數學學習方法，更有助于培養學生良好的思維品質和學習習慣.下面略舉二例，探索在解題教學反思中質疑、探究問題本質的方法.

圖1

例1如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，點A、C在x軸上，點B坐標為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂點的拋物線過點B、D.

（1）求點A的坐標（用m表示）；

（2）求拋物線的解析式；

（3）設點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連接PQ并延長交BC于點E，連接BQ并延長交AC于點F，試證明：FC（AC+EC）為定值.

解析：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m.又△ABC為等腰直角三角形，所以AC=BC=m，OA=m-3，所以點A的坐標是（3-m，0）.

（2）因為∠ODA=∠OAD=45°，所以OD=OA=m-3，則點D的坐標是（0，m-3）.

又拋物線頂點為P（1，0），且過點B、D，所以可設拋物線的解析式為y=a（x-1）2，

（3）如圖2，過點Q作QM⊥AC于點M，過點Q作QN⊥BC于點N，設點Q的坐標是（x，x2-2x+1），則QM=CN=（x-1）2，MC=QN=3-x.因為QM∥CE，所以△PQM∽

圖2

質疑1：此題證明了FC（AC+EC）為定值8，那么這一結論是僅僅對拋物線y=x2-2x+1成立，還是適用于所有的二次函數，這一結論中的定值8是由哪些因素決定的？

由于平移二次函數y=x2-2x+1的圖像到y=x2，并不影響題中FC、BC、EC等線段的長度，當然也不會影響到FC·（BC+EC）的值，因此，原問題的本質相當于研究下面的問題：

如圖3，P為拋物線y=ax2的頂點，點B為拋物線y=ax2上的定點，坐標為（m，am2），BC⊥x軸于點C，點Q為拋物線上點P至點B之間的一個動點，連接PQ并延長交BC于點E，連接BQ并延長交AC于點F，試證明：FC·（BC+EC）為定值am3.

證明：因為點B坐標為（m，am2），所以PC=m，BC=am2.過點Q作QM⊥AC于點M，設點Q的坐標是（k，ak2），則QM=ak2，PM=k，MC=m-k.

圖3

因為FM=FC-MC=FC-（PC-PM）=FC-（m-k）=k-m-

所以FC（BC+EC）為定值am3.

不難發現，問題可以推廣到更一般的形式：若設二次函數的解析式為y=a（x-h）2+k，B為拋物線上的定點（m，n），過頂點P作對稱軸的垂線，過點B作對稱軸的平行線與過頂點P的對稱軸的垂線相交于點C，則FC（BC+ EC）的值與二次函數的二次項系數a和定點B的橫坐標有關，恒為am3，與二次函數解析式中h、k的值無關.

證明從略.下文質疑探究立足于研究拋物線y=x2展開.

利用幾何畫板進行探索，當點Q在拋物線上移動的時候，分析圖形形狀，不難發現，原題證明中的基本圖形依然存在，因此，上述結論的證明方法與前面相同，可以發現有下面的結論，證明從略.

（1）若動點Q在B點的右邊時，如圖4，結論FC（BC+ EC）為定值依然成立，定值為am3.

圖4

圖5

（2）若動點Q在P點的左邊時，如圖5，結論FC（BC+ EC）為定值不成立，B點關于對稱軸的對稱點記做點H，有：

①則當動點Q在拋物線上點P與點H之間的時候，FC（BC-EC）為定值，定值為-am3.

②當動點Q在拋物線上H點的左邊的時候，FC（ECBC）為定值，定值為am3.

這一結論可以統一成：點B、Q在對稱軸的同側，則FC·（BC+EC）為定值，如果B、Q在對稱軸的異側，則FC· |BC-EC|為定值，定值都為|am3|.

質疑3：和其他常見的定值問題相比，FC（BC+EC）這個式子比較復雜，意義不明顯，那么問題FC（BC+EC）的幾何意義是什么？

這種是傳統電子商務轉型社交電子商務的常用方法。采用該模式的商家本身就是做電子商務的，在自己原有的網站平臺上開辟社區，引導商家與客戶，客戶與客戶之間的溝通交流，從而增加客戶粘性，提高購買率。比較典型的有淘寶里面的微淘、淘直播、淘達人等。

注意到FC（BC+EC）=FC·BC+FC·EC，而BC⊥AC，從而聯想到直角三角形的面積.如圖6，作點E關于直線AC的對稱點N，有CE=CN，BN=BC+CN=BC+CE，則FC（BC+ EC）=2S△BFN，而這就是問題的本質所在，“FC（BC+EC）為定值”只是“S△BFN為定值”的另一種表示.

利用幾何畫板進一步探究，可以發現“當點Q在拋物線上移動時，S△BPF=S△FEC恒成立”.下面僅僅證明點Q在拋物線y=ax2上點P與點B之間的情況.

圖6

例2如圖7，在平面直角坐標系中，△ABC的邊AB在x軸上，且OA＞OB，以AB為直徑的圓過點C.若點C的坐標為（0，2），AB=5，A、B兩點的橫坐標xA、xB是關于x的方程x2-（m+2）x+n-1=0的兩根.

（1）求m、n的值.

（2）若∠ACB的平分線所在的直線l交x軸于點D，試求直線l對應的一次函數解析式.

（3）過點D任作一直線l′分別交射線CA、CB（點C除外）于點M、N.是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

圖7

質疑：注意到第（3）問的解答過程既沒有用到第（1）問m、n的數值，也沒有用到第（2）問中所求的直線l′的解析式，更重要的是沒有用到直角坐標系相關知識，而這和一般的綜合題型“問題串”的設置很不一樣，為什么？那么是不是說第（3）問的答案與第（1）、（2）問無關，是否可以猜測第（3）問在本題中具有較大的獨立性？帶著這樣的疑惑再分析第（3）問的證明，發現整個證明過程并沒有涉及A、B的坐標，已知條件“△ABC的邊AB在x軸上，且OA＞OB，以AB為直徑的圓過點C”，即“∠ACB為直角”在第（3）問的解答中也沒有起到任何作用.條件“D點為∠ACB平分線上一點”才是問題最核心、最本質的東西.基于以上分析，去除與本題解答無關的條件，就可以發現問題（3）的本質為：

如圖8，D點為∠ACB平分線上一定點，過點D任作一直線l′分別交射線CA、CB（點C除外）于點

圖8

因為當D點和∠ACB給定時，CE、DE為定值，與直線MN的具體位置沒有關系，所定值.有了這一結論，再回頭解決問題（3）就不是難事了.

解題反思1：如何質疑？很多數學課堂上學生提不出問題，不會質疑，更多的是一種接受性的聽講、記憶、模仿，造成這種現象的原因是多方面的，有老師的，有學生的，有習慣的問題，也有能力的問題，但數學課堂上缺乏這方面的啟發、培養，卻是無法推卸的重要的原因之一.這就要求解題教學中，要求學生在理解、接受怎樣做的同時，還需要引導、啟發學生思考本題為什么要這樣做，解題思路是受什么啟發想到的，思考問題解決采用的解題方法是不是最好的，能不能進一步優化，問題中的條件是否必要，結論是否唯一，問題是否可以進一步變形、拓展，對于教師尤其是需要思考問題的原型、本質是什么，問題被充分解決了沒有，還有哪些值得做進一步研究和思考的等，從諸多方面、很多的角度都可以引導學生進一步思考.例1、2展示了一個視角，均是不滿足于問題解答，而是注重解題后的反思，思考結論的相關條件是否充分，是否必要，從而將問題的思考深入到了問題的本質，或者說，接觸到了問題構造的出發點，問題得到了較為完滿的解決.

解題反思2：如何探求問題的本質？本文只是對兩個例題做了一些嘗試，拋磚引玉.例1中從三個質疑出發做了進一步的探究，從三個方面思考、探究了問題的一些本質特性，這三個方面分別是：（1）函數從具體到一般，即從具體的函數關系猜想對于任意函數，思考函數中各常數（系數）與結論的關系；（2）動點位置取消范圍限制，從局部變化到整體變化，全面分析動點位置對結論的影響；（3）結論從表層到本質，從具體值到用字母表示的一般規律，揭示出了確定結論的相關量.它們都體現了從特殊到一般的數學思想，對此學生并不陌生，解題分析和解題反思如果能夠引導學生思考問題的一般形式，實現從特殊到一般的思考、探究解題思路，進一步體會特殊、一般的辯證關系，對培養學生的辯證思維是有益處的.

例2中，拋開了與第（3）問無關的因素，從而抽絲剝繭排除干擾信息，直接深入研究了問題的本質，可以說原問題是在圖8結論基礎上附著一些新的元素而發展得到的新問題.事實上，在中學數學學習中，常常可以見到一些問題，乍一看條件煩瑣圖形復雜，致使學生首先產生嚴重的畏縮心理，以至于有些學生連題目都無心去看完，更無從談起分析解答.即便部分學生勉強讀完題，卻因為無法從長段題干和紛雜圖形中排除無用條件、信息干擾，無法梳理主要信息之間的聯系，以致無從下手，或錯誤頻頻.這就需要在解題分析和教學反思中，引導學生抽絲剝繭、刪繁就簡，或緊扣定義和基本定理，或緊扣圖形、解答中的“核心、本質”條件和圖形、信息，摒棄無用條件和干擾因素，直達問題本質，從而達到增強學生探尋問題本質的習慣與能力的目的.

例如，在遇到三個圓兩兩相外切的問題，學生多因為無法作出符合題意的圖形而放棄問題，實質上圓外切的本質是“外切兩圓的圓心距等于半徑之和，而與具體的圓無關”，因此問題解答根本沒有必要做出“三個圓兩兩相外切”的圖形即圖9，只需要作出三個圓心構造的三角形，如圖10，緊扣圓外切的定義、性質直接得到圖10中三角形的三邊與三個相互外切的圓半徑之間關系就可以了.在這樣的分析中，由于緊扣問題的核心本質，摒棄相對較弱的無用信息圓，不僅表現在圖形簡單，易于作出，而且更加突出了核心信息之間的聯系.

圖9

圖10

顯然，通過問題解答后的深入反思，提出問題，探究解決，這種質疑、探究問題的本質的教學思路，對學生和教師有著較高的要求，但值得在教學中做適當適度的嘗試和努力，也具有很好的實際意義和價值，對于培養學生基本的科學素養、應有的探究意識和能力也是至關重要的，這也可以很好地回答“有沒有必要深入探求問題的本質”這樣的疑惑，這也是數學課程必須肩負的責任，不容逃避、忽視.H